无穷区间上的广义积分.ppt

4.4无穷区间上的广义积分,定积分的概念中,积分区间 是一个有限区间,但在科学技术中有时会遇到区间是无限区间,为此需要将定积分的概念加以扩展,得到下列无穷区间上的广义积分的概念.,定义 4.2设函数 f(x)在 a,+)上连续，,取实数 b a，,如果极限,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义 4.3设函数 f(x)在(-,b 上连续，,取实数 a b，,如果极限,则称此极限值为函数 f(x)在无穷区间(-,b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义4.43设函数 f(x)在(-,+)内连续，,且对任意实数 c，,如果反常积分,则称上面两个广义积分之和为 f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,都收敛，,否则称广义积分发散.,为了书写上的方便，借用“NL”公式的记法，,若 F(x)是 f(x)的一个原函数，并记,则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为,例 1计算,解用分部积分法，得,注：以上实际,即,补例 计算,解用分部积分法，得,例 2求,解,补例 判断,解,由于当 x+时，sin x 没有极限，所以原广义积分发散.,补例 判断,解,故该积分发散.,补例 证明反常积分,当 p 1 时，收敛；当 p 1 时，发散.,证 p=1 时，则,所以该广义积分发散.,*,当 p 1 时，,综合上述，,该反常积分收敛.,当 p 1 时，,该反常积分发散.,p 1 时，则,