函数单调性与曲线的凹凸性.ppt

1,一、单调性的判别法,三、小结及作业,2,一、单调性的判别法,定理,3,证,应用拉氏定理,得,4,例2,解,5,例3,解,故单调区间为,6,注意(1)函数的单调性是一个区间上的性质要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的 点及导数不存在的点,7,8,（3）讨论函数单调性的步骤：）1 确定函数的定义域；2 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；3 这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论.,（4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,9,例4 确定函数,的单调区间.,解,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,10,例5,证,11,证明,因此,单调减少,单调减少,也就是,12,13,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,14,1.曲线的凹凸与拐点的定义,定义 1.设函数,在区间 上连续,(1)若恒有,则称 的图形,是凹的;,(2)若恒有,则称 的图形,函数图形上凹凸的分界点称为拐点.,是凸的.,15,2、曲线凹凸的判定,定理1,16,例1 判断曲线,的凹凸性.,解,时,故曲线,在,上是凹的.,17,例2,解,注意到,18,例3 求曲线,的拐点.,解,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,19,判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：（a）求出；（b）求出使 的点及 不存在的点；（c）检查在这些点左右两边的符号,从而决定曲线 的凹凸区间及拐点。,注意,20,例4 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解,1)求,2)求拐点,可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,点(0,1)及,均为拐点.,故该曲线在,是凸的,21,22,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,曲线的弯曲方向凹凸性;,凹凸性的判定.,改变弯曲方向的点拐点;,拐点的求法1,2.,23,24,思考题,25,思考题解答,例,26,练 习 题,27,28,练习题答案,29,30,思考题,31,思考题解答,不能断定.,例,但,32,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,33,练 习 题,34,35,练习题答案,36,