夜大《高数》D专升本第二部分常.ppt

习题 7 5(第 191 页),1.求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间:,习题 7 5(第 191 页),第八章 微分方程,一、微分方程的基本概念,(一)引例,解:,设曲线方程 y=y(x),由题意,且满足,由,例1.,已知一曲线通过点(1,2),且在该曲线上,任一点M(x,y)处的切线斜率为其横坐标的 2 倍,求这曲线方程.,例2.,只在重力下(不计空气阻力),一质量为 m 的,质点自由下落,求质点运动的规律,(位置与时间的,解:,设物体下落的铅垂线为 x 轴,向下为正,点 o 为质点运动的起点,由牛顿第二定律,F=ma,(a 加速度,F 作用力),质点只受重力作用,F=mg,关系).,x,o,则 x=x(t).,对 t 两次积分：,由初始时刻 t=0,质点的初始位置 x=0 及初,始速度为 0,即,(二)基本概念,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之,说明：,1.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,方程中可以不出现自变量 x 与未知函数 y,数或微分必须出现.,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程,如,但 y 的导,定义:,间关系的方程,称为微分方程.其一般形式：,2.方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数,称为微分方程的阶.,如:例1 为一阶,例2 为二阶.,3.能使方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解.特别地：,(1)带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立),n 阶方程的通解的一般形式：,的解称为微分方程的通解.,(2)确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解.,请同学们讨论：习题8-2(第206页)1,4.,由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条,件称为初始条件.,初始条件个数=通解中任意常数个数=方程阶数,如:,求微分方程满足初始条件的特解问题,称为微分方程的初值问题,形式为：,证：,代入方程左端:,=1,=右端,证毕,解:,消去了 C1,C2 的关系式就是所要求的微分方程.,即为所求微分方程.,一阶微分方程的一般形式:,二、一阶微分方程,一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式:,两种形式是等价的.,(一)变量可分离的微分方程,若一个一阶微分方程可化成,的形式,则称此方程为可分离变量的微分方程.,或,可分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,为方程的隐式通解.,解:,+C,即为所求微分方程的通解.,解:,所以所求特解：,3.,解:,其为所求微分方程的通解.,即,则称 f(x,y)为 k 次齐次函数.,则 f(x,y)为零次齐次函数,若方程可表为:,则称此方程为齐次微分方程.,的形式,(二)齐次微分方程,且有,例:,解法：,分离变量:,(积分,回代),齐次方程,齐次方程,解:,求下列微分方程的通解:,分离变量：,回代,即为所求通解.,分析:,计算比较繁琐,现把 x 与 y,的地位互换一下,从而有下列解法.,解:,分离变量:,所以所求通解:,2.求微分方程满足所给初值条件的特解:,解:,则方程通解为,所以方程特解为,原齐次方程可化为,两边积分得,(三)一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的一般形式:,其中 P(x),Q(x)为已知的连续函数.,说明：,一次,故称为线性方程.,2)P(x),Q(x)可为任意的连续函数.,1)方程中未知函数 y 及其导数 的次数均为,3)方程中 Q(x)称为自由项或干扰项,非齐次项.,称为一阶齐次线性方程.,称为一阶非齐次线性方程.,(1),(2),(1),变量可分离微分方程,(1)的通解,先求出对应的齐次线性方程(1)的通解：,以 C(x)代替C,即令,把所令 y 代入方程：,(C:任意常数),得非齐次线性方程(2)的通解：,求出 C(x):,(2),常数变易法,非齐次线性方程(2)的通解结构:,=I+II,非齐次通解,y,=,+,=非齐次特解,+对应齐次通解,例1：,解：,x,例2：,解:,例2：,所以,则所求的特解为,例2：,例3.,解:,课 外 作 业,习题8-3(第212页),1(3),2(2),4(2),5(1),二阶及二阶以上的微分方程统称为,高阶微分方程。,二阶微分方程的一般形式：,主要介绍：,(1)可降阶的二阶微分方程；,(2)二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。,三、可降阶的高阶微分方程,(一),所以,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例：,解：,+C1;,+C1 x+C2;,+C3.,方程中不出现未知函数 y.,解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,解此一阶微分方程，,特点：,最后得原方程通解：,1.,变量可分离方程,解：,P=C1 x,即,1.,解：,由初值条件得：,则所求特解为,2.,解：,一阶非齐次线性方程,课 外 作 业,习题5-6(3)(第135页),1(1,6),3,四、二阶线性微分方程解的性质与通解结构,未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称,n 阶线性微分方程的一般形式是：,称其为齐次线性微分方程；,称其为非齐次线性微分方程。,为线性微分方程。,二阶齐次线性微分方程：,二阶非齐次线性微分方程：,(1),(2),引进记号L：,则(1),(2),定理1：,设 y1,y2 是 L y=0(1)的两个解，,也是(1)的解，,其中C1,C2 为任意常数。,是否就是(1)的通解？,则,齐次线性微分方程解的叠加原理,如：,设 y1 是L y=0 的解，,则由定理1，,也是 L y=0 的解。,但不是 L y=0 的通解。,y1,y2 究竟满足什么条件，才能使其组合为,方程的通解？,则 y2=2y1也是其解，,定义：,n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数,使得当 x 在该区间内取值时，,成立，就称这,n 个函数在区间 I 内线性相关；否则，,称线性无关。,在任何区间a,b上都是线性无关的。,例：,这三个函数在整个数轴上,是线性相关的。,定理2：,(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理),设 y1与 y2 是(1)的两个线性无关的特解，,则,(C1,C2 为任意常数),就是二阶齐次线性微分方程(1)的通解。,例：对,都是方程解，,特解，,定理3：,(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理),是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个,是其所对应的齐次线性微分方程,的通解，则,方程(2)的通解。,(1),非齐次(2)通解=对应齐次(1)通解(2)特解,是非齐次线性微分,定理4：,(广义迭加原理),例：,易证,例：,又显然,习题 5 6(2)(第 132 页),1.求下列微分方程的通解:,可分离变量的微分方程,分离变量,得,两边积分,得,即为所求通解.,原方程可化为,齐次方程,可分离变量的微分方程,得,即为所求通解.,3.求下列微分方程的通解:,一阶非齐次线性微分方程,所以所求通解为,4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,所以通解为,4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,所以通解为,则所求特解为,习题 5 6(3)(第 135 页),1.求下列微分方程的通解:,则所求通解为,所求通解为,原方程可化为,五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法,二阶线性微分方程：,齐次：,非齐次：,(1),(2),称为二阶常系数线性微分方程。,(一)特征方程,求二阶常系数齐次线性微分方程,(1),由(1)的特点，,用指数函数,（其中 p,q 为常数）的通解。,进行尝试，r=?,是方程(1)的解。,代入方程：,(*)称为方程(1)的特征方程。,则,得：,特点：,(*)中 r 2,r,r 0 的系数就是(1),一元二次方程(*)的根,微分方程,(1),特征方程,是两个不相等的实根；,是两个相等的实根；,是一对共轭复根，,(二)特征方程的根与微分方程解的关系,是齐次线性微分方程(1)的解，,常数，,即 y1,y2 线性无关。由定理二，,(1)的通解：,(a)当,(b)当,y1,y2 线性相关，,另找 y2，使与 y1 线性无关。,(1)的通解：,把 y2 代入方程,得,(c)当,由欧拉公式：,再由解的叠加原理，,也是(1)的解，,(1)的通解：,通解的步骤：,写出对应的特征方程：,(1),(2),(3),求出特征根：,根据下表写出方程(1)的通解：,(1),(实数),例1：,求下列微分方程的通解：,解：,特征方程：,解：,特征方程：,为通解。,为通解。,3.,为通解。,为通解。,特征方程：,特征方程：,解：,解：,4.,例2：,解：,特征方程：,为通解。,为所求特解。,课 外 作 业,习题11-1(第304页),1(1,2,4),2(1,2),(六)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,一般形式：,（p,q 为常数）,对应齐次微分方程：,其特征方程：,(1),(*),由非齐次(2)的通解结构知：,如何求,?,对两种常见的 f(x),利用待定系数法求,分析：,如 y*与 f(x)属同一形式函数，就能,使方程成立。,f(x)是 m 次多项式与指数函数的乘积，,推测,其中 Q(x)是待定的 x 的多项式。,(),即为 Q(x)所需满足的条件。,分三种情况讨论：,不是特征方程,的根。,要使()成立，,必须 Q(x)与 Pm(x)同次，,(),是特征方程,的单根。,(),要使()成立，必须,(),(),是特征方程,的二重根。,要使()成立，必须,求其特解，,当 不是特征方程的根时，取,当 是特征方程的单根时，取,当 是特征方程的二重根时，取,k=0;,k=1;,k=2.,例1.求下列微分方程的一个特解：,解：,其对应的齐次方程的特征方程为,不是特征方程的根，,代入上式，得,即,例2：,求下列各方程的通解：,(1),解：,求出对应齐次微分方程的通解,求原方程的特解,不是特征方程的根，,代入原方程:,比较系数:,(2),解：,步骤：,求,求,求,得原方程通解:,特征方程：,对,不是特征方程的根，,m=0,对,是特征方程的单根，,m=0,由欧拉公式及类似前述分析，,的特解为：,当,不是特征方程的根时，,取 k=0;,当,是特征方程的根时，,取 k=1.,特征方程,例：,求下列微分方程的通解：,(1),解：,不是特征方程的根，,代入方程得,比较系数：,代入方程得,为通解。,(2),解：,代入,代入,(2),(2),课 外 作 业,习题11-2(第310页),1(1,2,6),2(1),