傅里叶变换和系统的频域分析.ppt

,Chapter4,第四章 傅里叶变换与系统的频域分析,本章要点,信号表示为正交函数集,周期信号的频谱,傅立叶变换的性质,周期信号的傅里叶变换,F,F,F,F,F,F,F,F,连续时间系统的频域分析,非周期信号的傅里叶变换,取样定理,周期信号的傅里叶级数,能量谱与功率谱,F,引言,时域分析：1）以冲激函数为基本信号。2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。3）yzs(t)=h(t)*f(t)。频域分析：1）正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号。2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。,信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。,一、矢量的分量和矢量的分解,4.1 信号分解为正交函数,平面矢量分解图,和 是一组模为1的正交矢量,空间中的矢量分解图,是一组模为1的正交矢量。,矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交：,例：矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)是否为正交矢量集？,例：三维空间的矢量A=(2，5，8)，表示为一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合。A=2vx+5 vy+8vz 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,其内积为0,4.1 信号分解为正交函数,二、信号正交与正交函数集,1.定义：,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。,2.正交函数集：,若n个函数 1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,3.完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,(i=1，2，n),这有两层意思：,1.如果(t)在区间内与 i(t)正交，则(t)必属于这个正交集。,2.若(t)与 i(t)正交，但 i(t)中不包含(t)，则此集不完备。,例:三角函数集,例:复指数函数集,三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)，2(t)，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+C22+Cnn,如何选择各系数Cj。使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,代入，得最小均方误差,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。,帕斯瓦尔(Parseval)公式，表明：在区间(t1,t2)上 f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。,一、周期信号f(t)表示为付里叶级数,由数学分析知，当周期信号f(t)满足狄氏条件时，可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。,狄氏条件：,（1）在一周期内，间断点的数目有限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，,电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f(t)满足狄氏条件时，才存在。,4.2 傅里叶级数,设f(t)是周期为T,角频率1=2/T的函数,an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。,在均方误差最小的条件下,将上式同频率项合并，可写为,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。a0/2为直流分量；A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，频率与原周期信号相同；A2cos(2 1 t+2)称为二次谐波，频率是基波的2倍；Ancos(n 1t+n)称为n次谐波。,An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=Ansin n，n=1,2,二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。,F,F,解:,解:,解:,三、傅里叶级数的指数形式,由于 cosx=(ejx+ejx)/2,上式中第三项的n用n代换，A n=An，n=n，则,令复数,傅里叶系数,任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。,4.3 周期信号的频谱,一、信号频谱的概念,周期信号的频谱：周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。单边谱：双边谱：|Fn|和n的关系。若Fn为实数，可直接画Fn。,频谱图：信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重。,周期信号f(t)可用付里叶级数来表示:,或,例：周期信号 f(t)=试求基波周期T，基波角频率，画出单边频谱图。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1=8,的周期T2=6,所以f(t)的周期T=24，基波角频率=2/T=/12,是f(t)的/4/12=3次谐波分量；,是f(t)的/3/12=4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,二、周期信号频谱的特点,例：一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(t)=sin(t)/t(取样函数）,n=0,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。,零点为,频带宽度的定义,对于一般频谱，常以0频率到振幅过第一个零点的频率之间的频带定义为信号的频带宽度,讨论频谱结构与、T的关系,1.当 不变，T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减小,振幅为0的谐波频率,3.周期信号的频谱特点,(3)收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小。,(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。,(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数倍。,三、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n0时，|Fn|=An/2。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,1.频谱密度函数 以周期矩形信号为例，当周期（周期信号变为非周期信号），（离散频谱变成连续频谱），即谱线长度趋于零（无穷小）。,本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。,此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个新的量称为“频谱密度函数”。,设周期信号,F(j)频谱密度函数,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,从上式可以看出：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，三角函数振幅，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,1、矩形单脉冲信号（门函数）,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,6.常数1,有些函数不满足绝对可积条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。,(t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,7.符号函数,8.阶跃函数(t),4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,归纳记忆：,1.F 变换对,2.常用函数 F 变换对：,(t),(t),e-t(t),g(t),sgn(t),e|t|,1,1,2(),4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)then,Proof:F a f1(t)+b f2(t),=a F1(j)+b F2(j),a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j),1）叠加性相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。2）齐次性信号增大a倍，频谱增大a倍。,4.5 傅里叶变换的性质,For example F(j)=?,Ans:f(t)=f1(t)g2(t),f1(t)=1 2(),g2(t)2Sa(),F(j)=2()-2Sa(),-,4.5 傅里叶变换的性质,二、奇偶性(Parity),4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,三、对称性质(Symmetrical Property),If f(t)F(j)then,Proof:,（1）,in(1)t，t then,（2）,in(2)-then,F(j t)2f()end,F(jt)2f(),4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,For example,F(j)=?,Ans:,if=1,4.5 傅里叶变换的性质,For example,f(t)=F(j)=?,Ans:,由对称性,a=-1,so that,4.5 傅里叶变换的性质,四、尺度变换性质(Scaling Transform Property),If f(t)F(j)then,Proof:,F f(a t)=,For a 0,F f(a t),for a 0,F f(a t),f(a t),a=-1,f(-t)F(-j),4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,五、时移性质(Timeshifting Property),If f(t)F(j)then,Proof:F f(t t0),4.5 傅里叶变换的性质,For example F(j)=?,Ans:f1(t)=g6(t-5)f2(t)=g2(t-5),g6(t-5),g2(t-5),F(j)=,+,4.5 傅里叶变换的性质,For example,Given that f(t)F(j),find f(at b)?,Ans:f(t b),e-jb F(j),f(at b),or,f(at),f(at b)=,4.5 傅里叶变换的性质,解：,由尺度变换,已知,4.5 傅里叶变换的性质,六、频移性质(Frequency Shifting Property),If f(t)F(j)then,Proof:,where“0”is real constant.,F e j0t f(t),=F j(-0)end,4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,f(t)=ej3t F(j)=?,Ans:1 2()ej3t 1 2(-3),For example 2,f(t)=cos0t F(j)=?,Ans:,F(j)=(-0)+(+0),For example 3,Given that f(t)F(j),The modulated signal f(t)cos0t?,4.5 傅里叶变换的性质,4.5 傅里叶变换的性质,七、卷积性质(Convolution Property),时域卷积：,If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),频域卷积：,If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j),Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j),4.5 傅里叶变换的性质,Proof:,F f1(t)*f2(t),由时移特性,So that,F f1(t)*f2(t),=F1(j)F2(j),4.5 傅里叶变换的性质,For example,Ans:,Using symmetry,4.5 傅里叶变换的性质,八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain),If f(t)F(j)then,Proof:,f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)*f(t),Summary:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 Then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n,4.5 傅里叶变换的性质,f(t)=1/t2?,For example 1,Ans:,4.5 傅里叶变换的性质,For example 2,Given that f(t)F1(j)，Proof,f(t)F1(j)+f(-)+f()(),Proof,So,Summary:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 Then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n,4.5 傅里叶变换的性质,For example 3,Determine f(t)F(j),Ans:,f”(t)=(t+2)2(t)+(t 2),F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2,F(j)=,Notice:,d(t)/dt=(t)1,(t)1/(j),4.5 傅里叶变换的性质,九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain),If f(t)F(j)then,(jt)n f(t)F(n)(j),频域微分,频域积分,4.5 傅里叶变换的性质,For example 1,Determine f(t)=t(t)F(j)=?,Ans:,Notice:t(t)=(t)*(t),Its wrong.Because()()and(1/j)()is not defined.,4.5 傅里叶变换的性质,For example 2,Determine,Ans:,归一化的能量,1）信号能量与频谱函数的关系,若 0 E，f(t)为能量信号 如 gt(t),eate(t),4.6能量谱和功率谱,4.6能量谱和功率谱,例：求f(t)=Sa(t)的能量,4.6能量谱和功率谱,2）能量密度频谱函数e(w)（简称能量谱）,单位频带的信号能量,以上分析表明：信号的总能量等于能量谱e(w)曲线所覆盖面积。,4.7周期信号的傅里叶变换,1)周期信号fT(t)傅里叶级数（离散谱）,2)非周期信号f(t)傅里叶变换（连续谱）,讨论周期信号傅里叶变换的目的,把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来的应用。,4.7周期信号的傅里叶变换,一、正、余弦的傅里叶变换,12()由频移特性得 e j 0 t 2(0)e j 0 t 2(+0)cos(0t)=(e j 0 t+e j 0 t)(0)+(+0)sin(0t)=(e j 0 t-e j 0 t)/(2j)j(+0)(0),4.7周期信号的傅里叶变换,4.7周期信号的傅里叶变换,Fn是nW函数而不是t 的函数,Ff T(t),结论：Ff T(t)由无穷多个冲激函数组成。冲激函数位于周期信号各谐波处，其强度为2pFn,二、一般周期信号的傅里叶变换,4.7周期信号的傅里叶变换,w,FdT(t),4.7周期信号的傅里叶变换,任意周期信号 f T(t)均可表示成,fT(t)=f0(t)*dT(t)f0(t)为fT(t)在区间-T/2 t T/2的信号,Ff T(t)=Ff0(t)FdT(t),4.7周期信号的傅里叶变换,例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即,f(t)=T(t)*f0(t),F(j)=()F0(j),F(j)=,本题 f0(t)=g2(t),4.7周期信号的傅里叶变换,2)F0(jw)与Fn 的关系,三、傅里叶系数与傅里叶变换的关系,1)求Ff T(t)的两种方法,a)Ff T(t),b)Ff T(t),(由傅里叶系数求),(由Ff 0(t)求),4.7周期信号的傅里叶变换,解：,Ff 1(t),Ff 0(t)=Ff 1(tT/2)=,例3:把f T(t)展开成傅里叶级数,4.8 LTI系统的频域分析,即将 f(t)分解为无限个 之叠加。,即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加。,1.时域分析法,LTI系统的全响应零输入响应零状态响应本节只研究零状态响应。,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其基本信号为 ej t,2.频域分析法,说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而t=总可认为系统的状态为0。因此本节的响应指零状态响应，常写为y(t)。,4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,1、基本信号ej t作用于LTI系统的响应,LTI系统的冲激响应为h(t)，激励是角频率的基本信号ej t，其响应,h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，常称为系统的频率响应函数。,y(t)=H(j)ej t,H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位。,y(t)=h(t)*ej t,一、频率响应,2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应,ej t,H(j)ej t,F(j)ej t d,F(j)H(j)ej t d,齐次性,可加性,f(t),y(t)=F 1F(j)H(j),Y(j)=F(j)H(j),4.8 LTI系统的频域分析,频率响应H(j)系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即,H(j)称为幅频特性（或幅频响应），H(j)是的偶函数。()称为相频特性（或相频响应），()是的奇函数。,频域分析法步骤：,傅里叶变换法,4.8 LTI系统的频域分析,例1：某LTI系统的H(j)和()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。,解：用傅里叶变换,F(j)=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10),Y(j)=F(j)H(j)=4()H(0)+4(5)H(j5)+(+5)H(-j5)+4(10)H(j10)+(+10)H(-j10),H(j)=H(j)ej(),=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5),y(t)=F-1Y(j)=2+2sin(5t),4.8 LTI系统的频域分析,4.8 LTI系统的频域分析,3、频率响应H(j)的求法,1）H(j)=F h(t),2）H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。,例2：如图电路，R=1，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。,解：画电路频域模型,h(t)=e-t(t),4.8 LTI系统的频域分析,例3：某系统的微分方程为 y(t)+2y(t)=f(t)。求f(t)=e-t(t)时的响应y(t)。,解：微分方程两边取傅里叶变换,jY(j)+2Y(j)=F(j),f(t)=e-t(t),Y(j)=H(j)F(j),y(t)=(e-t e-2t)(t),4.8 LTI系统的频域分析,二、无失真传输,失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。,1.线性系统引起信号失真的原因,1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。,2）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。,4.8 LTI系统的频域分析,2.线性系统无失真条件,波形无改变则称为无失真,4.8 LTI系统的频域分析,例4.系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t),4.8 LTI系统的频域分析,三、理想低通滤波器的响应,为截止频率(Cut off frequency),相移特性是过原点直线,4.8 LTI系统的频域分析,2、理想低通滤波器的冲激响应,由图知t0时，而输入 在t=0时加入，这是反因果规律的，所以理想低通滤波器是无法实现的。,4.8 LTI系统的频域分析,3、理想低通滤波器的阶跃响应,设理想低通滤波器的阶跃响应为,4.8 LTI系统的频域分析,上式第一项积分,第二项积分是正弦积分函数,它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为,4.8 LTI系统的频域分析,x,1,O,p,(,),x,Si,x,O,式中,称为正弦积分函数,1,t,O,B,A,4.8 LTI系统的频域分析,3、物理可实现系统的条件,1）物理可实现的时域条件：,2）物理可实现的频域条件：,物理可实现的必要条件是：,其中,满足,这一条件称为佩利维纳准则,例如：理想低通滤波器,违反了佩利维纳准则，则系统不可实现。,4.9 抽样定理,抽样定理：连续信号与离散信号相互转换的理论根据,一、信号的时域抽样,当S(t)为周期信号时称均匀取样，TS为取样周期，wS为取样角频率,fs(t)：抽样信号,S(t)：抽样脉冲,=,当S(t)为周期冲激序列时称为理想抽样。,4.9 抽样定理,=,当S(t)为周期矩形脉冲时称为矩形脉冲抽样。,讨论的问题：,FfS(t)与Ff(t)的关系,在什么条件下从f S(t)中无失真地恢复原信号f(t),二、抽样信号的频谱,4.9 抽样定理,1.对f(t)进行理想取样设f(t)为带限信号(时宽无限，频宽有限),=,*,=,4.9 抽样定理,当wS 2wm(或TS 1/2fm)时，频移后的各相邻频谱不发生 重叠，利用低通滤波器从FS(jw)中能选出F(jw)。否则不能。,FS(jw)的幅度是F(jw)幅度的1/Ts.,FS(jw)由无穷多个F(jw)的频移项组成，即FS(jw)为F(jw)的 周期延拓，周期为wS。,4.9 抽样定理,2.对f(t)进行矩形脉冲取样,=,=,*,=,4.9 抽样定理,当wS 2wm(TS 1/2fm)时频移后的各相邻频谱不发生重叠，从FS(jw)中用低通滤波器能选出F(jw)。,通常用矩形脉冲取样，当t0(或t TS)时近似认为冲激取样,FS(jw)由无穷多个幅度按 规律变化的F(jw)的 频移项组成。,4.9 抽样定理,三、时域取样定理,4.9 抽样定理,最高频率fm的频带有限信号f(t)，在抽样频率fs 2fm的条件下，可由其等间隔上的样点值f(nTs)唯一 地确定（即可由样点值完全恢复原信号）。,必须满足条件：,奈奎斯特频率f s=2 fm 最低允许取样频率,奈奎斯特间隔Ts=1/2 fm 最大允许取样间隔,时域抽样定理:,4.9 抽样定理,=,=,*,四、连续信号f(t)的恢复,4.9 抽样定理,说明连续信号f(t)，由无穷多项正交抽样函数叠加而成，每一项的系数为f(t)在nTs点上的取样值 f(nTs)。,