无穷小阶的比较.ppt

一.无穷小阶的比较,二.等价无穷小替换原理,2.6 无穷小阶的比较,一.无穷小阶的比较,虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量趋于零的速度却不一定相同.为了反映不同的无穷小趋于零的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较.,定义2.6.1 设，是在自变量同一变化过程中的两个无,穷小，且 0，则,(1)如果,则称 是 的高阶无穷小,记做,(2)如果,则称 是 的低阶无穷小.,(3)如果,则称 与 是同阶无穷小.,特别地,当c=1时,则称 是 的等价无穷小,记做,(4)如果 则称 是 的k阶无穷小.,例1,所以,当x0时,与 是同阶无穷小.,例2,所以当 x0时,是x的高阶无穷小；x是 的低阶无,穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.,所以当 x0时,ln(1+x)x.,又,所以当 x0时,例3,二.等价无穷小替换原理,证明 必要性,设,因此,充分性,定理 与 是等价无穷小的充分必要条件为,则,定理2.6.2(等价替换原理)设 为同一极限过,证明,根据极限运算法则,1.sin x x;2.tan x x;,5.arctan x x;,3.ln(1+x)x;4.arcsin x x;,请记住以下几个常用的等价无穷小量:,注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时,如果分子,来代换原来的分子和 分母,使得计算简化.,分母的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的等价无穷小量,例4 求,解,解,所以,例5 求,运用等价无穷小的代换,有,例6 求,解,例7 求,解,注 使用无穷小量的等价替换,是求解函数的极限的常用,方法.在求乘除运算的极限时,可以大胆使用;而在求和差,运算的极限时,则须慎用.,例8 求,