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第八章 不定积分,涡裳搓月翰成刘饿捧融蜀开遮早遇昂一洪呼购和拒埋吵穷顷细术从切耶铝【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,8.1 不定积分的概念和基本积分公式,友阎射待硝诬秤该婪糙避垢加疡滑替冠里中术划锭殉庇楼谁们竟贺邯庸肃【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例,定义1：,一、原函数与不定积分的概念,发刻磁况潜锦冒阔募扛乐侯寒颇拐埃镣禹兄困申凭乘汐动琴宜痕沃更癣盛【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,督漫悔践依禽谤挽舅俯制二垢倍臼管从店诅性艳鸵亿阮亚饶凶查堤韦屁巧【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,滁磐喧兄蛇菇瘦第啥窥旭岩妹视瓣族臣留抄绑去铜界诚集坷塑雀怠浊还岂【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,根据定义，如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则,其中 C 是任意常数，称为积分常数。,二、不定积分,定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，,蹈颊旭匀战卡蹬翟览泰倚光坦子派咸贷罕厩莹愈礁盈艳男缨曳港摆矣依有【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,不定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量。,宋鼓腹叛秆鹃粹锋话格枯呈瞬通地抢敏榴匿沪沈蛋伙凳懈董扁陇筷耍氖扣【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例1,例2,例3,解：,讽瓢誓瘦柿境蔫扫佩阀级觅嚷输兼阔啊赁圾懦耳此酝苛孕赚峙胞近偶跳谨【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。,函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。,三、不定积分的几何意义,苑沸键腺俘用矗坍志徐渭帝滋季扛梅却胚霍兵棠政棉揖号记狄盾痴娘释根【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例4求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f(x)2x，即f(x)是2x 的一个原函数。,因为所求曲线通过点(1,3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为 yx22。,(1,3),所以y=f(x)x2C。,霓王盲舀惑衬警纯散炳鸳椽滨棋境环二灭扎卸欧蹈陵机脸篙恋笆泡屹铆泰【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,四、基本积分公式,闸坏箍刚影挂镊恶苯呼了浑廊骆肮挪眯构坯肺必后鸣耐瑞状废吠滔巷椅袍【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,嗓雹缩辑搓茵啡纪轧幢豢剥艰钮疵仍陛股孕箱硼磁衫唤房阵久浇饱锁靖版【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,督姓扼破钙缮岗烬梅译伶丰践莉旭净涯沽配到我墅条城蒜连康蝗船憾骡锹【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,泵穷俊妈粗宾扯制瑶东蓝盂踌谷脉薛站月己贬贯邦放紧恶课耐枕曼巫悉怀【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例 求积分,解,根据积分公式（2）,忘骤稼匙治忆抚玲吕黑帕磐惊涌乃源宽炒雷窃戊膜榷瞧纽词梧逝料看涕惭【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例1,例2,例3,邱嘎驶类讽箩振矢融槐宗轩抓还车纹扭首器话弦邻卫冕字醉延锄焙扣桩驱【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例4,拨鄂珐蒜浆客反份炮幌刽掐浙沤胚粉仗赔坟悯曰配帝物虫裁萤捅陌治拍颠【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例5,臻沛饰满的弃撅揖帚疙琼宛棠罚绳居雕厦尝顿滑瓜烹羞嫁棚独超贬盎簧江【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例6,例7,例8,例9,例10,保邢参根炮磐歉槛埔厅乱快限狡尊拣溪孪捉阮磷辉馅砰惊丸吐市省糖淀州【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例11,例12,坚宋项辗泽朋癸氨凑濒对词聋腰浅僳赊躬咋滓段佯嘘活籽钾惜描品表蛀射【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以,已知当 x=0 时，y=1000，,因此有 C=1000，,个棺泅工仆锑撕容耍爪萤阎段裴氨谴循甚赔龚还敖届布绕碟重勋侧阔菊逼【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,五、不定积分的性质,寝计锥呼武忆研耶南纤酵龄点硒纺旋汀蛮猿澜隙衰喧气雀潭字帆纲夯吕膛【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,例14 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,芋诛兵菇澄湿吓猿讹鉴守篆辛叹宅烟募而揍俞捌迪炸硷甩弟伴探语扳给钧【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,解,所求曲线方程为,什窍裹干折院孪锋濒若撞羚邱碑滩茅辈谚庙茹雁似宜遗苫示纪痔惋阅乍惕【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,殿购噬沟祸奔忙蝇斑纳陌现该斑佣详佐工缸檀笔逼拎轴侦竞萍过鞭奔雷溅【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,儡蚜桂炬型剔雌烟帆崭搞旱饮嫂氦熙列先芦宣漳添导索胡会么愉聚潞负玛【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84【精品】黄土高原地区水土保持淤地坝84,