可分离变量的微分方程.ppt

第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,分离变量，得：,设 y=(x)是方程的解,则有恒等式：,两边积分,得,即：,设函数 G(y)和 F(x)是 g(y)和 f(x)的一个原函数,则有,当 G(y)与F(x)可微且 G(y)=g(y)0时,说明由确定的隐函数 y=(x)是的解.,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x=(y)也是的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,求解步骤：(变量分离法),1、分离变量,得,2、两边积分,得,3、求出通解,隐函数确定的微分方程的解,微分方程的隐式通解,例1 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,二、典型例题,解得,例2 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,解 根据牛顿第二定律,得,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,解,分离变量,解得,然后积分:,可分离变量的微分方程初值问题:,的解也可直接用变上限积分来确定：,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分隐式通解.,三、小结,若是求特解，还需根据初值条件定常数.,(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.,(3)求通解,并根据初值条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,思考与练习,求方程的通解:,提示:,方程变形为,练 习 题,练习题答案,例 9 有高为 1 m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为 1 cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由 h 降至 h+dh,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,