GPS高程拟合中二次曲面的特征根和高斯曲率.docx

测绘通报画能麴昼gi匐 BULLETIN OF SURVEYING AND 敬与也期刊 DIQTIZE D PE RIDDICK L MAPPING1999 年第 7 期 No.7 1999GPS高程拟合中二次曲面的特征根和高斯曲率向虎雏摘 要 本文根据GPS高程拟合中二次曲面平行于非零向量弦的中点共 面等性质，推导出其特征根Tse /.jf二从而界定 使用的曲面分为且仅分为椭圆抛物面和双曲抛物面。阜新gps网试验表 明，简捷明快的特征根，是研究似大地水准面事半功倍的实用工具。同 时，从高斯曲率|K|<(4aa-a2 )0的分析中，发现二次曲面甚至一次平 面原则上满足GPS工程中高程拟合要求的现象。文章还具体介绍了特征 根的使用方法。一、概述GPS定位技术能够在3维空间有效地进行测量，如果离析出其中与 高程相关的成份，可供水准测量使用。不过GPS获得的是只有纯数学意 义的大地高H，而人们需要的是正常高h，两者之间存在如下关系：Z =H-h式中Z称高程异常，表示似大地水准面至参数椭球面的距离。它是由于 地下物质及其密度分布不均匀产生的重力异常导致的，具有鲜明的物理 特征。这样，GPS高程问题实质上是如何确定似大地水准面了。似大地 水准面是点位的函数Z(x,y)，由于已经延伸进大陆内部的缘故，却不 是“解析的面”。鉴于二次曲面的数学模型简单、几何形状规范，需要 的已知水准资料又比较少等优点，武测的GPSADJ和同济的TGPPS软件都 是用二次多项式模拟某种二次解析曲面来完成高程拟合:z=Z (x,y) =a+a x+a y+a x2+a y2+a xy = 0 12345a +a x+a y+Z *(x,y)(2)式中(x,y)为相对归算中心点的坐标差。气的量纲为长度单位;a1和 a2无量纲；气，a4，气的量纲为长度单位-1。其中二次型'Z (x,y)=a3x2+a4y2+"y=二、二次曲面的特征根与曲面分类给定曲面式(2),若该曲面平行于非零向量a =(l,m,n)的弦的两端 点为M (x ,y ,z )和M (x ,y ,z ),则弦的中点M(x,y,z)为(图1)11112222图1因为此弦与a平行，即令 x -x =kl,y -y =km,z -z =kn 式中k为比例因子。2 1又因为弦的端点M,M都在曲面上即1 2由上两式之差得(5)所以满足式(2)z =a +a x +a y +a x2 +a y2 +a x y1 01 12 131415 1 1z =a +a x +a y +a x2 +a y2 +a x y2 01 22 232425 2 2a (x2 -x2 )+a (y2 -y2 )+a (x y -x y ) +3 2 1 4 2 1 5 2 2 1 1a (x -x )+a (y -y )-(z -z )=012122121从式(4)、(5)知X2 -x2 =2klxy2 -y2 =2kmyx y -x y =* (x +x )(y -y ) + (x -x )(y +y ) =2 21121212121k(mx+ly)则式为上式表明曲面中所有平行于非零向量a的弦的中点共面，此平面平 行于z轴。如果该平面(7)又垂直于诸弦，则称为曲面的对称平面，曲面 被其划分的两侧互为镜像。若非零向量a (l,m,n)垂直平面，则n三0, 而l,m不全为零。即式中由于l,m不全为零， 则(6i; . )A' (、播部、 )=0(10)上式为曲面(3)的特征方程，不难得出其解(即比例因子入)为对应的特 征根：A| .) ± V ( « ：. C<:. ) " (11)因为式(8)中出现的A阵正是曲面中二次型部分式(3)Z *(x,y)的系数矩 阵，它是二阶实对称阵，总存在正交变换，将其化为标准型：Z * (x,y)二入 X2+入 y212若入，入同号，曲面为椭圆抛物面(图1)；反之，曲面为双曲抛物面(马 鞍状)'(图2)。二次多项式函数式(2)表征的曲面分为且仅分为这两种类 型。分析式(11)可得出决定曲面的因素是该多项式中二次型部分Z *(x,y )三个系数的结论。至于常数项a和线性项ax，a y,通过坐标变 0 12 一换都会吸收进平方项中去，它们不改变曲面的类型和形状。如果z *(x,y) =0，则曲面退化为平面。图2阜新GPS高程拟合原理图三、特征根的使用方法简捷明快的特征根不仅宏观上界定了曲面的类型，还取代和简化了通 常坐标变换较繁琐的计算。这种具有良好操作性能的方法，莫过于用下列 算例来表述，由给定曲面* = 22十 5 /7丫十0 、/7'十 FXr' 了(12)得"E 履 入 =10, 入 =5当入=10时，根据方程组(9)得j (9-10)/ + 2=0(2Z-(6-1 0) = 0取l=2,m= 1作它们的非零解，得向量a 1= (2，1)。当入2 = 5时，同理可得另一向量a 2=(1，-2)。显然，分别对应于入，入2 的非零向量a ，a正交(因为a a =0)。按a , a确定新x，和坐 标轴的基底向量21212作第一次坐标变换(旋转)代入(12)原式，其中二次型部分Z *(x,y) =9x2+6y2+4xy=10x，2+5y，2二入 x，2+入 y，2而常数项和线性项部分1222 + 5 方10 /T3-1 = 22 + 5 C(- +/ ) +1.0 /5(则原式为- I 5v- I 22 -加 一 I 5 vf.卖一辛=5”+ 1)*3g 尸现作第二次坐标变换(平移)最后得标准型z"=10x"2+5y”2二入 x”2+入 y”2因为入与入同号；曲面(12)为椭圆抛物面。其特征根的使用决定了 无论是第一次旋转2变换时二次型部分Z *(x,y)的系数，还是第二次平移变 换后曲面的系数均为它的特征根。通过第二次变换还确定了曲面顶点的原 坐标值，这对讨论GPS工程中拟合的似大地水准面是有指导意义的。四、特征根在阜新GPS网的试验和高斯曲率分析3F辽宁阜新引水工程GPS网长80 km，由26个GPS控制点组成(图2), 其中9个有三等水准成果(表1)。测区为低丘地区，地势呈东北向西南倾斜 状。如表1所示，启用6个分布较均匀的约束点高程异常，其中3号点(北 哈拉火烧)为归算中心，根据式(2)构建似大地水准面： Z=74.658+1.46X1O-5X-4.71X1O-5Y+3.2X1O-10X2+2.2X1O-10Y2-11.8X1O-10XY(13)式中X, Y, Z的单位为m。由上式计算8、17、22号点的水准«,经与已知三等水准成果比对，互差平均值'-29 mm,最大值为40 mm(表2),表明高程拟合成功。表1阜新GPS网高程资料一览表m点号大地高(H)三等水准(h)高程异常(Z) (相对BJ-54系)BJ-54坐标差备注WGS-84BJ-54XY3188.37079.164153.822-74.6580.0000.000中心点6152.18242.983117.759-74.776-8 282.095-5 644.140约束点8149.412-13 547.142-10 188.866检核点11188.98979.794154.732-74.938-20 561.257-16 772.498约束点15196.30287.111162.027-74.916-28 582.120-22 571.485约束点17184.307-31 300.863-27 242.652检核点20228.809119.621194.692-75.071-33 822.743-35 809.234约束点22237.993-31 981.773-40 367.548检核点23169.15959.972135.212-75.240-34 069.856-43 095.478约束点表2检核点水准对比表m点号三等水准(h)拟合高程(hc)互差(h-hc)8149.412149.3720.04017184.307184.2910.01622237.993238.023-0.030由特征根计算公式(11)Aih£ = y(3, 2-1-2. 2)±(3. 2-2. Z)- + ll. 8£X 101Q得 气= 8.6211485x10-1。如-3.2211485小-1°因为气，入2异号，阜新拟合的似大地水准面为双曲抛物面。针对"，入2确定新坐 标系基底"=<. 736336939. T. G76393273?j= (C. 676593278,0. 73时泌9："1)描述i,j基底正交程度的量ij = 7x10-9，满足使用要求。首先，作旋转变换= 拓6356抨*'一。. 676：)93278v;ly= - 0. 57659技厂"'一0. 7都掠&9；"V则曲面为Z=74.658+4.26183544x10-5x'-2.48041497x10-5y'+气x'2+hy'2整理之，得Z=74.609=%(x'+24717.330)2+h(y'+38502.028)2然后，再作平移变换pT=.7f 21717. 330(14)代 = J'f-38502. 028 s = Z 对.最后双曲抛物面的标准式为l 2J，- 31057. 866" 557 786"其实，人们最熟悉的WGS-84、BJ-54等参考椭球也是二次曲面中的 一种。除了函数都具有连续平滑性之外，与GPS高程拟合中讨论的椭圆 抛物面、双曲抛物面(包括退化成的平面)不同的是：前者属有边界封闭 式的有心曲面，所以历来成为适用于全球范围的经典椭球。而后者没有 中心，但有顶点，是一种对于自变量x,y为单值的开放性的无界曲面。 由于其各细部的几何形状不同，通过已知高程异常的约束，使采用其中 某局部的曲面片模拟GPS测区内的似大地水准面已经成为可能。如图2所示，从以归算中心3号点为原点的O-XYZ测站坐标系与以 双曲抛物面顶点为原点，以其两对称平面对应的主向为轴的O-xyz坐标 系之间存在式(14)的平移量知，这个硕大马鞍的顶点位于测区东北方向， 距3号点45.753 km,方位为57°18'2.2"处。因此，不要以为只要用 了二次曲面，顶点就一定落在作业区内，模型(2)与某一切平面存在一个 切点，仅有一个凹面或凸面1。微分几何认为，这种切平面应有无穷多， 利用它们可以定量描述曲面上任何一处几何形状弯曲程度的量是高斯曲 率 K4参考文献1已经给出了 4个偏导的数学表达式，本文只需补充最后一 个二阶偏导： ”则K=4a a -a2 / 1+(2a x+a y+a ) 2+(2a y+a x+a )23 45351452因为分母含有x,y，K是点位的函数。但分母恒大于1，所以|K|<|4aa-a2 |。|K|愈大，表示曲面在该点弯曲程度愈大；反之，曲面、3 45 .一 -弯曲甚微。对于阜新使用的曲面式(13)4a a -a2 = (4X3.2X2.2-11.82)X 10-20= -1.1108X10-1803 4(15)可知高斯曲率|K|极小，它表明阜新低丘地区的似大地水准面相当平展， 也反演出其地下物质及其密度分布是比较均匀的。微分几何称任何曲面 上K<0的点为双曲点，形状如图2中顶点O处，其邻近的曲面在切平面 的两侧。式(15)说明双曲抛物面上处处都是双曲点；当然，椭圆抛物面 也有相似的结论。正是模型式(2)自身具备的这种调节功能，才实现了似 大地水准面的构建。阜新使用的曲面|K|<1.1108X10-18，反映局域似大地水准面起伏舒 缓的特征是否具有普遍性，尚需探讨，不过这种现象随着研究的局域范 围缩小愈趋明朗。长江水利委员会在三峡坝区高差为200 m仅2.6 km2 范围内，只用了3个国家一等水准点，采用退化了的平面模型，拟合高 程的精度达到了± 6.5 mm,与已知水准高程比较，最大差值为11.5 mm 的成果，应该具有一定代表性。总而言之，在GPS高程拟合时，使用的二次曲面蕴藏着简捷明快的 特征根，它深刻地说明了曲面的几何性质，是分析似大地水准面行之有 效的实用工具。通过阜新GPS网的高斯曲率研究，发现了二次曲面甚至 一次平面模型原则上可以满足工程中高程拟合的现象；如果产生异常， 无疑对地质找矿等带来有价值的信息。相对于5.11亿平方公里广袤地 球，GPS工程作业区总是微小的，在这微小的测区范围内，“以二次曲 面甚至平面描述一般曲面”模拟局域似大地水准面理论上是可能的。作者单位：向虎雏(武汉测绘科技大学GPS中心430079)参考文献1吉渊明，赵水泉.曲面拟合法求GPS网正常高的几点认识.测绘通报， 1998(7)2许以超.代数学引论.上海：上海科学技术出版社，19663李信明，向虎雏.辽宁阜新引水工程中的GPS三维控制网.测绘通报， 1997(5)4 B. H.斯米尔诺夫.高等数学教程(第二卷).北京：人民教育出版社， 19795张京生，朱丽如，姜本海GPS测量与高精度控制网成果的比较分析. 测绘通报，1998(9)