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平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行的充要条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,一、向量的相关概念:1)定义,（1）零向量：,（2）单位向量：,（3）平行向量：,（4）相等向量：,（5）相反向量：,2)重要概念：,3)向量的表示,4)向量的模（长度）,二、向量的运算,1）加法：两个法则 坐标表示 减法:法则 坐标表示 运算律,2)实数与向量 a 的积,3)平面向量的数量积：,(1)两向量的交角定义,(2)平面向量数量积的定义,(4)平面向量数量积的几何意义,(3)a在b上的投影,(5)平面向量数量积的运算律,(6)平面向量数量积的性质,求距离,垂直的充要条件,求夹角,三、平面向量之间关系,向量平行(共线)充要条件的两种形式:,向量垂直充要条件的两种形式:,（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.,四、平面向量的基本定理,注:满足什么条件的向量可作为基底?,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,几何表示,:有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,:(x，y),若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=,(x2 x1,y2 y1),向量的模（长度）,1.设 a=(x,y),则,2.若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则,平 面 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a+b=,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),(x1+x2,y1+y2),AC,OC,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B,OAOB=,2）坐标运算:,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=,3.加法减法运算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2,y1 y2),平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度|a|=,|a|；,它的方向,(1)当0时,a 的方向,与a方向相同；,(2)当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a=(x,y),则a=,(x,y),=(x,y),1、平面向量的数量积（1）a与b的夹角：,（2）向量夹角的范围：,（3）向量垂直：,00，1800,共同的起点,（4）两个非零向量的数量积：,规定：零向量与任一向量的数量积为0,a b=|a|b|cos,几何意义：,数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积。,5、数量积的运算律：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,平面向量数量积的重要性质,（1）e a=a e=|a|cos（2）a b的充要条件是 a b=0(3)当 a与b同向时，a b=|a|b|;当 a 与b 反向时，a b=-|a|b|特别地：a a=|a|2 或|a|=（4）cos=（5）|ab|a|b|,ab为非零向量，e为单位向量,向量垂直充要条件的两种形式:,二、平面向量之间关系,向量平行(共线)充要条件的两种形式:,三、平面向量的基本定理,如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 使,练习1：判断正误，并简述理由。,(）,(）,(）,(）,(）,(）,平 面 向 量 复 习,2.,设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。,分析,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB与BD有公共点B,A、B、D 三点共线,AB BD,例3,3、若向量=（-3，4），则按向量=（2，-1）平移后的坐标为,例 已知直线 l 经过点 和，用向量方法求 l 的方程。,解 设P（x，y）是直线l上任意一点，则,因为 三点都在直线 l 上，,所以,这就是直线 l 的方程,思考,1、已知两点，试用向量的方法证明以AB为直径的圆的方程为,