86空间直线、平面的垂直 .docx

精英同步卷：8.6空间直线、平面的垂直1、 已知m, n为异面直线，m ±平面a, n ±平面p .直线l满足l ± m, l ± n, l Qa, l p，则（）A. a/p 且 l/aB. alp 且 l ipC.a与p相交，且交线垂直于lD. a与p相交，且交线平行于l2、 已知m , n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（）A.若 m /a, n /a，则 m / / nB.若 m la, n ua，则 m l nC.若 m la, m l n，则 n / /aD.若 m/ /a , m l n，则 n la3、已知a,p是两个不同平面，m,n是两不同直线，下列命题中的假命题是（）A. 若m/ /n,m la，则n laB. 若 m /a ,ac。= n,则 m/ nC. 若m la,m l p，则a/pD. 若m la,m u p，则alp4、三棱柱ABC - ABC底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB = 2, AA = 1，则点A到平5、如图，在正方体ABCD - ABCD中，直线AB和平面AB所成的角为（）111111A. 30。B. 45。C. 60。D. 90。6、如图，正方体ABCD - A1 BC D的棱AB和A1 D的中点分别为E, F ,则直线EF与平面AADD所成角的正弦值为（）11r 、6C,6D.27、已知长方体ABCD-ABCD的底面为正方形，DB与平面ABCD所成角的余弦值为、， 3iiii则BC与DBi所成角的余弦值为（A豆B '还A.B. 328、如图所示，四边形ABCD中，c.3d.3AD/BC，AD = AB, ABCD = 45。，ABAD = 90。.将ADB沿BD折起，使平面ABD ±平面BCD，构成三棱锥A,平面ABD ±平面ABCB.平面ADC±平面BDCA - BCD，则在三棱锥A - BCD中，下列结论正确的是（）C,平面ABC ±平面BDCD,平面ADC ±平面ABC9、如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A,B的任意一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是（）CA. MN /ABB.平面 VAC ± 平面 VBCC. MN与BC所成的角为45。D. OC ±平面VACI0、把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A -BD- C，则下列四个结论: AC ± BD ； ACD是等边三角形； AB与平面CBD成60。角； AB与DC所成角的大小为45。.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图所示，二面角侦T-P为60。，60。是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面a、p内，且 AC ± l,BD ± l, AB = 4, AC = 6,BD = 8，则 CD 的长12、已知正方体ABCD - ABCDx的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA的中点.下 列结论中，正确结论的序号是.过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形;B? 平面EFG； Bq上平面ACB； 异面直线EF与BR所成角的正切值为重；12 四面体ACB?的体积等于2a313、如图,PA ± e O所在的平面,AB是e O的直径,C是e O上的一点,AE± PB于E, AF ± PC于F,下列四个命题中： BC ± 面 PAC； AF ± 面 PBC； EF ± PB ； AE ± 面 PBC.其中正确命题的 请写出所有正确命题的序号：14、如图，四棱锥P - ABCD中，PA 1底面ABCD,底面ABCD为正方形，则下列结论: AD/平面PBC ； 平面PAC 1平面PBD ； 平面PAB1平面PAC ； 平面PAD 1平面PDC.其中正确的结论序号是.15.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE, AF及EF以把这个正方形折成一个空间图形，使B, C, D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是 （将符合题意的序号填到横线上）AG1 EFH所在平面AH1 EFH所在平面HF1 AEF所在平面HG1 AEF所在平面16、如图 1,在直角梯形 ABCD 中，ZADC = 90。， CD/AB， AB = 4,AD = CD = 2， M 为 线段AB的中点将AADC沿AC折起，使平面ADC ±平面ABC，得到几何体D- ABC，如图2所示.求证:BC ±平面ACD ；（2）求二面角A - CD - M的余弦值.图1斟之17、如图,四边形 ABCD 为正方形,QA1 平面 ABCD, PD / /QA , QA=AB =证明:PQ 1平面DCQ ; 求棱锥Q - ABCD的体积与棱锥P - DCQ的体积的比值.PD .2C-=答案=-以及解析1- =答案=-及解析：-=答案=-：D解析：由于m, n为异面直线，m ±平面a, n ±平面月，则平面a与平面&必相交，但未必 垂直，且交线垂直于直线m， n，又直线l满足l ± m， l ± n，则交线平行于1.2- =答案=-及解析：-=答案=-：B解析：对于选项A, m与n还可以相交或异面；对于选项C,还可以是n ua ；对于选项D,还可以是n /a或n ua或n与a相交.【点拨】根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断 注意空间位置关系的各种可能情况.3- =答案=-及解析：-二答案=-：B解析：4- =答案。及解析：-=答案=-：B解析：5- =答案=-及解析：-=答案=-：A解析：6- =答案=-及解析：-=答案=-：C解析：以D为原点，DA为x轴，DC为j轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD - ABCD的棱长为2, 1111uuir则 E(20), F(10,2), EF = (-1,-1,2),r平面AA1D D的法向量n = (00),设直线EF与平面AADD所成角为。，11uuir rIEF-n I 16贝 U Sin 0 =r = =I EF I -1 n I v66.直线EF与平面AADD所成角的正弦值为史.1 16故选：C 7-=答案。及解析：-=答案=-：C解析：如图，在长方体ABCD - BCD中，连接AB, BD .设 AB = a，则 AD = a , BD =、3a 由于BB ±平面 ABCD ,1则ZB1DB为DB1与平面ABCD所成的角，则 cos /B DB = BD =，所以 DB = 3a .1DB1 31因为BC/AD，所以/BDA是AD与DB所成角，即为BC与DB1所成角.在RtADAB 中，cos/ADB = AD =a =1，11 DB 3a 3所以BC与DB1所成角的余弦值为3 .8-=答案=-及解析：-=答案=-：D解析：.在四边形 ABCD 中，AD / /BC , AD = AB , ZBCD = 45。，ZBAD = 90。，二BD ± CD.又平面ABD ±平面BCD,且平面ABD I平面BCD = BD ,故 CD ± 平面 ABD，则 CD ± AB.又 AD ± AB，AD I CD = D， AD u 平面 ADC，CD u 平面 ADC，故 AB ± 平面 ADC.又AB u平面ABC，.平面ADC ±平面ABC.9-=答案=-及解析：-二答案=_： B解析：由题意得BC ± AC，因为VA ±平面ABC，BC u平面ABC，所以VA ± BC. 因为ACc VA=A，所以BC ±平面VBC.因为BC u平面VBC，所以平面VAC ±平面 VBC.故选B.10-=答案=-及解析：-=答案=-：B解析：取BD的中点& 则AE ± BD，CE ± BD .二BD ±面AEC.:.BD ± AC，故正确.AD = DC = AB = BC = a，2取 AC 的中点 E，连接 DE，BE，DE = BE = a .V ABCD 是正万形，二 EB ± AC，ED ± AC， 2ABED为二面角B - AC - D的平面角，.ABED = 90。. BD = <DE 2 + BE 2 = a .所以ADC是正三角形，故正确;ZABD为AB与面BCD所成的角为45。，故错误.（ 亚）(.氏A(.氏.)0,0,a，B0,a,0，D0,a,0，Ca,0,02kJk 2 JkJ2 kJ以E为坐标原点，则AEC,ED,EA分别为x,j,z轴建立直角坐标系，uurAB =uuirDC =.uur uuir.1cos ： AB, DC = 2.umr umr.AB, DC： = 60°，故错误.所以B选项是正确的11- =答案=-及解析：-=答案=-：2而解析：12- =答案=-及解析：-=答案=-:解析：13- =答案=-及解析：-=答案=-:解析：,/ PA ± e O所在的平面,. PA ± BC,又AB是e O的直径.AC ± BC,由线面垂直的判定定理，可得BC ±面PAC,故正确；又由AF u平面PAC:.AF ± BC,结合 AF ± PC 于 F,由线面垂直的判定定理，可得AF ±面PBC,故正确；又AE± PB于E,结合的结论我们易得EF ±平面PAB由PB u平面PAB,可得PB ± EF,故正确；由的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直，故错误；故-=答案=-为：根据已知中,PA ± e O所在的平面，AB是e O的直径,C是e O上的一点,AE± PB于E, AF ± PC于F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得 到-=答案=-.本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,其中熟练掌握线面垂直的判定定理，是解答本题 的关键.14- =答案=-及解析：-二答案=-:解析： AD /BC可得：AD/平面PBC ； AC ± BD , AP1 BD则BD1平面PAC则平面PAC 1平面PBD PA1底面ABCD,底面ABCD为正方形若平面PAB1平面PAC则AB 1 AC这与已知：底面ABCD为正方形矛盾所以错误 AD 1 DC , AP1 DC 则 DC 1 平面 DC 1 PAD.所以正确.15- =答案=-及解析：-二答案=-：解析：根据折叠前AB 1 BE, AD 1DF可得折叠后AH 1 HE, AD 1DF，即 正确，因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直，所以不正确；因为AG1 EF, AH 1EF，所以EF1平面HAG，所以平面HAG 1平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，所以不正确；因为HG 不垂直AG，所以HG ±平面AEF不正确，不正确，综上，说法错误的序号是 .16-=答案=-及解析：-=答案解法一：（I）在图1中，可得aC = BC = 3从而AC2+ BC2 = AB2，故 AC ± BC.面 ADE ± 面 ABC，面 ADE c 面 ABC = AC，BC u 面 ABC，从而BC ±平面ACD（II）取AC的中点O，CD的中点N，连结OM，ON M是AB的中点OM是AABC的中位线,ON是AACD的中位线,. OM P BC，ON P AD又（I）可知BC ±平面ACD二 OM ± 平面 ACD CD u平面 ACD 二 OM ± CD又 AD ± CD 二 ON ± CD连结 MN， OM c ON = O 二 CD ± 平面 OMN又 MN u 平面 OMN，二 CD ± MN二ZONM是二面角A - CD - M的平面角在 RtAOMN 中，OM =1 AB = * 2，ON =1 AD = 1， MN =、云22 cos ZONM = ° =上=旦MN v33二面角A - CD - M的余弦值为上33解法二：（【）在图1中，可得AC = BC = 2还，从而AC2 + BC2 = AB2，故 AC ± BC取AC中点O连结DO，则DO ± AC，又面ADE ±面ABC，面 ADE c 面 ABC = AC，DO u 面 ACD，从而 OD ±平面 ABC，二 OD ± BC又 AC ± BC，AC c OD = O，BC ±平面ACD(II)建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,uuur _ - uur 则 M (0, t'2,0)，C (f'2,0,0)，D (0,0,t2) CM = 32q2,0)，CD = (W)设M(0;2,0)为面CDM的法向量,ur uuur .则 n -CM = 0 即"x+My = 0 解得 y = -x 则(ur uur即一，解得(n - CD = 0Ex +2z = 0z = -xur令 CDM，可得 n = (x, y, z)1.ur又n = (x, y, z)为面ACD的一个法向量1ur ur1=3=M.-ururn n-ur-HFnni2. . cos'n ,n.二面角A - CD - M的余弦值为23解析:17-=答案=-及解析：-=答案=-：(1)由条件知四边形PDAQ为直角梯形,因为QA1平面ABCD , QA u平面PDAQ,所以平面1平面ABCD，交线为AD,又四边形ABCD为正方形，DC 1 AD,所以DC 1平面PDAQ,又PQ u平面PDAQ,DCQ PDAQ所以 PQ 1 DC ,在直角梯形PDAQ中可得DQ = PQ = 3 PD，则 PQ1DQ，又 DC c QD = D ,所以PQ 1平面.(2)设AB = a，由题设知AQ为棱锥Q - ABCD的高，所以棱锥Q - ABCD的体积匕=3a3,由1知P、Q为棱锥P - DCQ的高，而PQ = 2a , ADCQ的面积为皂a2,2所以棱锥P - DCQ的体积匕=3 a3,故棱锥Q - ABCD的体积与棱锥P - DCQ的体积的比值为1:1 .解析：