3-2 静定平面桁架.docx

§3-2静定平面桁架1. 教学内容和要求本节主要学习静定平面桁架结构的受力特点和结构特点以及桁架结构的内 力计算方法结点法、截面法、联合法。通过学习，熟练掌握桁架结构计算的方法，能够判断零杆、计算桁架的轴 力。2. 主要内容1. 桁架的结构特点2. 结点法(1)3. 结点法(2)4. 结点法(3)5. 结点法(4)6. 截面法7. 截面法8. 联合法3. 学习指导桁架内力计算中主要是应用平面力系的平衡方程，因此，应正确理解平衡 方程的特点和结构的受力特点，最关键的是利用力系的可解条件，从而使问题 可解。学习中应注重理解方法特点，多做练习、分析，从而达到灵活应用。4. 参考资料结构力学教程(I)P39P493.2.1静定平面桁架的特点1. 静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差 别，主要进行了以下简化：(1) 所有结点都是无摩擦的理想铰；(2) 各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；(3) 荷载和支座反力都作用在结点上。2. 桁架的受力特点桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。3. 桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不 变体。（图3-11a）联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不 变体。（图3-11b）复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图3-11c）图 311a图 311b图 311c4. 桁架内力计算的方法结点法、截面法、联合法。3.2.2结点法结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力 系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。结点平衡的特殊情，常见的以下几种情况可使计算简化：图 312a 1图 312 a 2图 312b1. 零杆的判定：（1）不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零（图3-12a1）,N1=N2=0。（2）两杆结点受荷载作用，且荷载与其中一杆共线，则不共线杆的轴力为 零，而共线的杆的轴力与荷载相平衡。（图3-12a2）（3）由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时（图3-12b），则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同,N1=N3，N2=0O2. 等力杆的情况：图 3 12,（1）两结点无荷载作用，且两杆共线时，则两杆轴力大小相等性质相同（2）由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线（图3-12'b），在 无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同，nN2, nN4。（3）由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧 且夹角相同（图3-12, c图d e也属于这种情况），在无荷载作用时，则 不共线的两杆内力相等，符号相反，N1二-N2。（4）四杆结点无荷载作用，其中两杆在一直线上，而另两斜杆在此直线一 侧且与该直线所成的夹角相等，则两斜杆的轴力大小相等，性质相同。（见图 2 12,f图g,h也属于此类情况）例1判断图3.2a和b桁架中的零杆。©9)图3.2解：图3.2a：考察结点C、D、E、I、K、L，这些结点均为T型结点，且没 有荷载作用，故杆件CG、DJ、EH、IJ、KH、LF均为零杆。考察结点G和H，这两个结点上的两竖向链杆已判断为零杆，故这两个结点 的受力也已成为T型结点的情形.由于没有荷载作用，故杆件AG、BH也为零 杆。整个结构共有8根零杆.如图3.2c虚线所示。图3.2b：考察结点D，为“K ”型结点且无荷载作用，故褊=土 ；对称 结构对称荷载（A支座处的水平反力为零），有呛=喝，故杆件DE和DF必 为零杆。考察结点E和F，由于DE、DF已判断为零杆.故杆件AE、BF也是零杆。整个结构共有四根零杆。如图3.2d虚线所示。3.2.3结点法（2）利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两 根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。由于静定桁架的自由度为零，即W = 2j - b = 0于是：b = 2j。因此，利用j个结点的2j个独立的平衡方程，便可求出全部 b个杆件或支杆的未知力。在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力F分解为水平分力Fx和竖向分 力F。此三个力与杆长l及其水平投影lx和竖向投影ly存在以下关系（图 3-13）：F*Fx ftZly图 3-133.2.4结点法（3）实例分析分析时，各个杆件的内力一般先假设为受拉，当计算结果为正时，说明杆件受 拉;为负时，杆件受压。利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。例：求出图（3-14a）所示桁架所有杆件的轴力。图 3-14a图 3-14d图 3-14e解：由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称 的，故计算半个桁架的内力即可。（1）计算支座反力V =V =10KN18（2）计算各杆内力由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依 次进行，计算结果如下：结点1（图3-14b）所示，列平衡方程27广0顼由+ 10二。顶皿=-IkT由比例关系可得:此h =质叩=-2质氏晃=右马口 = 22.4kN（压力）平=4% +F心=Q, % =兀拉力）结点2 （图3-14c）所示，列平衡方程卒二 OWUkN2>#=饥土=知=2°冗前力）结点3 （图3-14d）所示，列平衡方程£ 此二20+喝+虬*二0再利用比例关系，可求：F = -20kN?马并=-10kN?+= -22.4kN（H 力）电=OkN 晶二 OlcN，虬= OkN孔=° （为什么、可考虑结点4）校核：利用结点5 （图3-14e）£F广 10+10-20 =0£气=20 -20 =0讨论：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零？最终只求几 根杆即可？3.2.5结点法（4）结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中，除结点单杆外，其 余杆件均共线。单杆结点主要有以下两种情况：1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。性质及应用：1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。2、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。（内力为零）3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点 法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。3.1.6截面法（1）截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离 体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。图 3-15b例题分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-15a）。图 3-15a解：1. 求支反力由于对称性可得：、=Frb = 30kN2. 将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替 （图3-15b），列平衡方程:问题：左半部分如何?一 p田恣4 卢皿又4 + lQx4=Q+ "用 乂匚弱新一20 10 = 0_耳1 -灼3 -卢印* sin着=03. 校核:= 20x4-30x4+ 10x4 = 0计算结果无误！例1、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。TT I3 1顷e4cB121 1 2%Ip P P6d4N N1zVB = 1.5 PbI 3z1.5 PVA = 1.5 PM = 02，N = P - V = -0.5P aA4，八N x 3 d -1.5P x 2d = 0Nb = 2.25 P(2) ncY = 1.5 P - P = 0.5 P cN = 4 Y = 0.625PZ M = 0k(N - P)2d+2d)+1.5P x 2d = 0N d = 0.25 P5“(BP 1.5 P2d<>2d<>Z M 4 = 0X =-2.25 P3.1.7截面法（2）截面单杆的概念:如果某一截面所截的内力为未知的各杆中，除某一根杆件 外，其余各杆都汇交于一点（或平行），此杆称为该截面的单杆.截面单杆在解决复杂桁架时，往往是解题的关键，要学会分析截面单杆。截面单杆主要在以下情况中：1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是 截面单杆（上一例题中的截面所示）。2、截面所截杆数大于3,除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平 行），则这根杆为截面单杆。性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。（平衡方程的选取：坐标轴与未知力平行、矩心选在未知力的交点处。）以下几种情况中就是几种截面单杆的例子图 316a图 316b图3-16a中的杆2,图3-16b中的杆1、2、3都是截面单杆。3.4.8联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的 内力，这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何 构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。图 3-17图3-17所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结 点可解，其余各个结点均包含 有三个未知杆件，不能利用结 点法进行求解，但是，m-m截 开后，由三根截面单杆，可利 用截面法直接求解，当求出这 三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。附加例题：1、试确定图（a）中所示桁架中的零杆。246?12 15 170-0469解：首先判断零杆：由11点开始，二杆结点无荷载类零杆：11-8、11-14、8-5、8-10、14-10、14-16、 10-7、 10-13其次，三杆交点，结点上无荷载类零杆：2-3、6-7、12-13、17-18、3-4、15-18最后对称结构对称轴结点无荷载类零杆：7-9、9-13最后剩下的如图（b）所示。2、图示体系能否承受荷载？如果能承受荷载，试求各杆内力。解：（1）组成分析：将大地和1-3、2-4分别看作三个刚片。大地与1-3之间两个直杆交于虚 铰1相连，大地与2-4用两个直杆交于虚铰4相连，1-3和2-4用两根平行的链杆相连，交 于无穷远处的瞬铰，三铰不共线组成几何不变且无多余约束的体系。所以能够承受荷载。（2）计算内力：N13 N12N 24从三杆结点单杆的零杆判定可以知道：F =F =F =0N 34 P3、试用简便的方法计算图中指定杆的内力。解：（1解法）7-6杆为三杆相交之单杆，结点无荷载，故内力为零。基于此，6-3、6-11为对 称轴结点对称荷载类零杆，因此防=0。取结点5，由ZF = 0可得：F=-10kNN 54载取结点4，由Z Fy= 0可得：F X 45 + Fn54 = 0由此可得：刖=12.5kN（2解法）：对称结构对称荷载故：F1 = F2 = 1QkN（向上）F1 = 0切断5-7、a、4-6杆取左半部分为研究对象，由Z F= 0得：F= 0在冲=0的条件下，用截面切断3-5、b、2-4,取左半部分，由Z= 0可得：Fn X 45 + F,=0，由此可得：FNb = 12.5kN4、试确定如图所示复杂桁架指定杆的内力。解：复杂桁架例题较少，可以利用联合法进行求解。由荷载对称性可得:F1X - 0F1 = F4 =(向上)(a)(b)(c)(d)用II截面截取图（b）所示隔离体：对12取矩可得：FF x d - F x 3d = 0得：F = p取结点6为研究对象：由Z F= 0得：F*=- Fn路，同理，由结点9可得：F=- F9-12用截面IIII截取隔离体如图（d）所示，由ZF = 0的方程：F - F +（F - F - F） COS a = 0P P NbN 63N 9-12利用结点分析可得：FNb= 0kN取结点12为隔离体，因为FNb = 0kN，由此由Z Fy= 0可得fNc = - Fp