【教学课件】第四章电路定理.ppt

第四章 电路定理,本章主要以线性电阻电路为例来讨论线性网络定理和线性电路的分析方法,4.1 叠加定理4.2 替代定理4.3 戴维宁定理和诺顿定理4.4最大功率传输定理4.4 特勒根定理4.5 互易定理4.6 Review作业,科学家推荐,欧姆（Georg Simon Ohm）（1787-1854）德国物理学家，1826年由实验得出最基本的表述电压、电流、电阻三者之间关系的欧姆定律。欧姆出生于德国巴伐利亚州的埃尔兰根，有艰辛的童年。欧姆一生从事电学研究，建立了著名的欧姆定律。1841年，伦敦皇家学院授予他Copley Medal奖。1849年，慕尼黑大学授予他物理学首席教授职位。电阻的单位以欧姆命名。,1.叠加定理,在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。,4.1 叠加定理(Superposition Theorem),2.定理的证明,用结点法：,(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1,或表示为：,支路电流为：,结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。,结论,3.几点说明,1.叠加定理只适用于线性电路。,2.一个电源作用，其余电源为零,电压源为零短路。,电流源为零开路。,三个电源共同作用,is1单独作用,=,+,us2单独作用,us3单独作用,+,3.功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。,4.u,i叠加时要注意各分量的参考方向。,5.含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。,4.叠加定理的应用,例,求电压U.,12V电源作用：,3A电源作用：,解,例,求电流源的电压和发出的功率,为两个简单电路,10V电源作用：,2A电源作用：,例,计算电压u。,说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。,3A电流源作用：,其余电源作用：,例,计算电压u电流i。,受控源始终保留,10V电源作用：,5A电源作用：,例,封装好的电路如图，已知下列实验数据：,解,根据叠加定理，有：,代入实验数据，得：,研究激励和响应关系的实验方法,例.,采用倒推法：设i=1A。,则,求电流 i。,RL=2 R1=1 R2=1 us=51V,解,5.齐次性原理（homogeneity property),齐次性原理,线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。,当激励只有一个时，则响应与激励成正比。,4.2 替代定理(Substitution Theorem),对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源，或用一R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。,1.替代定理,证毕!,2.定理的证明,注意：,(1)替代定理不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路；,(2)被替代的支路或二端网络，可以是有源的，也可以为无源的；,(3)受控源的控制支路和受控支路不能一个在被替代的局部二端网络中，而另一个在外电路中。换句话说，受控源的控制量不能因替代而从电路中消失。,例.已知Uy=2 V，试用替代定理求电压Ux。,解：,例,求图示电路的支路电压和电流。,解,替代以后有：,替代后各支路电压和电流完全不变。,替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。,原因,注：,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。,3.替代后其余支路及参数不能改变。,2.替代后电路必须有唯一解,无电压源回路；,无电流源节点(含广义节点)。,？,？,例1,若要使,试求Rx。,3.替代定理的应用,解,用替代：,=,+,U=U+U=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix,Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2,例,试求i1。,解,用替代：,例,已知:uab=0,求电阻R。,解,用替代：,用结点法：,例,2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。,解,应求电流I，先化简电路。,应用结点法得：,例,已知:uab=0,求电阻R。,解,用断路替代，得：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。,1.戴维宁定理,任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。,例,(1)求开路电压Uoc,(2)求等效电阻Req,2.定理的证明,+,则,A中独立源置零,3.定理的应用,(1)开路电压Uoc 的计算,等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：,（2）等效电阻的计算,戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。,(1)外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。,(2)当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。,注：,例.,计算Rx分别为1.2、5.2时的I；,解,保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：,(1)求开路电压,Uoc=U1+U2=-104/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V,(2)求等效电阻Req,Req=4/6+6/4=4.8,(3)Rx=1.2时，,I=Uoc/(Req+Rx)=0.333A,Rx=5.2时，,I=Uoc/(Req+Rx)=0.2A,求U0。,例.,解,(1)求开路电压Uoc,Uoc=6I+3I,I=9/9=1A,Uoc=9V,(2)求等效电阻Req,方法1：加压求流,U0=6I+3I=9I,I=I06/(6+3)=(2/3)I0,U0=9(2/3)I0=6I0,Req=U0/I0=6,方法2：开路电压、短路电流,(Uoc=9V),6 I1+3I=9,I=-6I/3=-2I,I=0,Isc=I1=9/6=1.5A,Req=Uoc/Isc=9/1.5=6,独立源置零,独立源保留,(3)等效电路,计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。,求负载RL消耗的功率。,例.,解,(1)求开路电压Uoc,(2)求等效电阻Req,用开路电压、短路电流法,已知开关S,例.,求开关S打向3，电压U等于多少,解,任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。,4.诺顿定理,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。,例,求电流I。,(1)求短路电流Isc,I1=12/2=6A,I2=(24+12)/10=3.6A,Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A,解,(2)求等效电阻Req,Req=10/2=1.67,(3)诺顿等效电路:,应用分流公式,I=2.83A,例,求电压U。,(1)求短路电流Isc,解,本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。,(2)求等效电阻Req,(3)诺顿等效电路:,4.4 最大功率传输定理,一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。,最大功率匹配条件,对P求导：,例,RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。,(1)求开路电压Uoc,(2)求等效电阻Req,(3)由最大功率传输定理得:,时其上可获得最大功率,注,最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;,一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%;,计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.,4.5 特勒根（Tellegen)定理,Tellegen 定理是荷兰科学家Tellegen在1952年建立的，它是集中参数电路的拓朴规律之一，获得了广泛的应用。一、Tellegen定理：,集中参数网络含（B-2）条支路,ib1(t),ibB(t),b1,_,ub1(t),+,UbB(t),_,+,bB,1、定理1,若集中参数网络具有N个节点，B条支路，设其支路电压矢量ub(t)和支路电流矢量ib(t)为：ub(t)=ub1(t)，ub2(t)ubB(t)T ib(t)=ib1(t)，ib2(t)ibB(t)T只要ub(t)与ib(t)取关联一致参考方向，则不论网络中支路元件的性质如何，恒有：ub1(t)ib1(t)+ub2(t)ib2(t)+ubB(t)ibB(t)=0即 或,2、物理意义：瞬时功率守恒,独立电源向网络供给的电能量的速率恒等于耗能元件及储能元件吸收电能量的速率，即瞬时功率守恒。3、使用条件：（1）只适用于集中参数网络（2）要求电网络中的支路电压Ub必须受KVL约束，支路电流ib必须受KCL约束，即网络结构给定，ub、ib数值不限。（3）KVL、KCL和Tellegen定理中，只有两个是独立的，即只要使用其中任意二个定律就可以表征电路的结构规律。,二、广义Tellegen定理,1、同构网络定义：若两网络和结构相同（即拓标图相同），即：（1）节点数相等；（2）支路数相等；（3）节点1节点，支路1支路一一对应，则称和1为同构网络。例2、广义Tellegen定理,定理2：若任意两个由集中参数元件构成的同构网络和1，用Ub(t),ib(t)和 分别表示和1，其相应支路电压矢量和支路电流矢量，则对所有时刻t，恒定有ibk(t)：,或等价表示为,3、定理2 解释：似功率守恒、（即是一种数学恒等关系，不是物理恒等关系）4.推广：广义Tellegen定理也可用于同一集中参数电路在不同时刻的支路电压与支路电流的乘积，即：,三、应用1、计算网络灵敏度2、机辅设计的优化技术中应用广泛3、证明互易定理4、电路计算,例：已知网络N：,试证明（1）ab端口输入电阻Ri不大于N中B个电阻串联值R串（2）ab端口输入电导Gi不大于N中B个电阻并联电导G并,证明：（1）根据Tellegen定理有：,i0(t),+U0(t)-,对上式两端同除以 得：,（2）对（*）式两端同除以磁率（t），则同理可证,4.6 互易定理(Reciprocity Theorem),互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。,1.互易定理,对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。,情况1,当 uS1=uS2 时，i2=i1,则两个支路中电压电流有如下关系：,证明:,由特勒根定理：,即：,两式相减，得,将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即:,即：,证毕！,情况2,则两个支路中电压电流有如下关系：,当 iS1=iS2 时，u2=u1,情况3,则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：,当 iS1=uS2 时，i2=u1,(3)互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。,(1)互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；,(2)互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联)；,(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理分析电路时应注意：,例,求(a)图电流I，(b)图电压U。,解,利用互易定理,例,求电流I。,解,利用互易定理,I1=I2/(4+2)=2/3A,I2=I2/(1+2)=4/3A,I=I1-I2=-2/3A,例,测得a图中U110V，U25V，求b图中的电流I。,解1,(1)利用互易定理知c 图的,(2)结合a图，知c 图的等效电阻：,戴维宁等效电路,解2,应用特勒根定理：,例,问图示电路与取何关系时电路具有互易性。,解,在a-b端口加电流源，解得：,在c-d端口加电流源，解得：,如要电路具有互易性，则：,一般有受控源的电路不具有互易性。,4.6 Review,To find the contribution due to an individual independent source,zero out the other independent sources in the circuit.Voltage source short circuit.Current source open circuit.Solve the resulting circuit using your favorite technique(s).,Problem,2kW,1kW,2kW,12V,I0,2mA,4mA,+,2mA Source Contribution,2kW,1kW,2kW,I0,2mA,I0=-4/3 mA,4mA Source Contribution,2kW,1kW,2kW,I0,4mA,I0=0,12V Source Contribution,2kW,1kW,2kW,12V,I0,+,I0=-4 mA,Final Result,I0=-4/3 mAI0=0I0=-4 mAI0=I0+I0+I0=-16/3 mA,齐次性：将电路中所有激励均乘以常数k，则所有响应也应乘以同一常数k。,激励e1(t)，e2(t)响应为r1(t)，r2(t),激励ke1(t)，ke2(t)响应为kr1(t)，kr2(t),例,解得,当所有激励乘以常数k后，方程变为,则其解为,可加性：,例 采用叠加原理求电压Ux和各独立源、受控源发出的功率。,解：1.求电压Ux,1)独立电流源单独作用,2)独立电压源单独作用,3)两个独立源共同作用,通过独立电压源的电流,2.独立电流源发出的功率,3.独立电压源发出的功率,4.受控电流源发出的功率,!注意：,线性电路中的一个激励（或一组独立源）单独作用时，其余的激励应全部等于零。令 us=0,即电压源代之以短路 令 is=0,即电流源代之以开路所有元件的参数和联接方式均不能更动。,2.在含受控源的电路中，受控源的处理与电阻元件相同，均须保留，但其控制变量将随激励不同而改变；,3.叠加原理适用于电流和电压，而不适用于功率。,4.叠加的结果为代数和，因此应注意电压与电流的参考方向；,！强调,不同激励作用时对应不同的电路图，应分别画出，并且在图中标出式子中用到的符号,例 下图所示网络N是由电阻和受控源组成的线性网络，当Is=2A，Us=3V时，测得Uo=16V;当Is=-2A，Us=1V时，测得Uo=0V。试求当Is=8A，Us=-8V时，Uo=?,解：根据叠加原理，设 Uo=mUs+nIs,带入两次测量结果 16=3m+2n0=m-2n,解得m=4，n=2，则,Uo=4(-8)+28=-16V,课堂练习：,采用叠加原理计算图1电流I、图2电压U。,图1,图2,1)独立电压源单独作用,2)独立电流源单独作用,3)两个独立源共同作用,戴维宁定理的应用,例.求电流I,解：,1.求开路电压,2.求等效电阻,3.作戴维宁等效电路，求电流I,例.求电压U12,解：,1.求开路电压,2.求等效电阻,3.作出戴维宁模型，求出待求量,例.求电流I,解：1）求Uoc,2）求Req,3）作戴维宁等效电路，求I,注意：,1）求开路电压Uoc、等效电阻Req的工作条件、工作状态不同，对应的电路图不同，应分别画出对应求解电路图。,2）画戴维宁等效电路时应注意等效电压源的极性。,3）若有源二端网络中含有受控源，求Req时应采用求输出电阻的方法，即在对应的无独立源二端网络输出端外接电源，按定义计算:Req端口电压/端口电流,4）在含有受控源的网络中，受控源的控制支路和受控支路不能一个在含源二端网络内部，而另一个在外电路中。,诺顿定理的应用,例.求电流I,解：,1.求短路电流,2.求等效电阻,3.作诺顿等效电路，求电流I,例.求电压U12,解：,1.求短路电流,2.求等效电阻,3.作出诺顿模型，求出待求量,特勒根似功率定理,设有两个由不同性质的二端元件组成的电路N和,二者的有向图完全相同。,，,将以上结论推广到任意两个具有nt=n+1个节点、b条支路的电路N,和,，当它们所含二端元件的性质各异，但有向图完全相同时，,则有,这就是特勒根似功率定理(Tellegens quasi-power theorem)的数学表达式。该定理表明，在有向图相同的任意两个电路中，在任何瞬时t，任一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的乘积的代数和恒等于零。,（3）特勒根定理既可用于两个具有相同有向图的不同网络，也可用于同一网络的两种不同的工作状态。,当电路在两种不同状态下工作时，可用特勒根似功率定理计算某些支路的电压和电流。,（2）每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。,注意：,（1）该定理要求u(或,)和i(或,)应分别满足KVL和KCL。,例,网络N由线性电阻元件组成，在图（a）所示电路中，已知,源的端电压,；在图（b）中已知电流,阻R吸收的功率P。,(a),(b),解：,设网络N中有b条支路，图(a)和(b)是同一电路的两种不同的工作状态，根据特勒根似功率定理，对图(a)和(b)分别有,由于网络N由线性电阻元件组成，故,因此，有,代入数据有,电阻吸收的功率为,满足互易定理的网络称为互易网络(reciprocal network)。,例,图示线性无源网络N具有一个输入端口和一个输出端口。当输入端口施加一个5 A电流源激励而输出端口短路时见图（a），输入端口的电压U1=10 V，输出端口的短路电流I2=1 A；当输出端口联接一个5 V电压源而输出端口联接一个4 电阻时见图（b），此电阻上的电压降应为何值？若将图（b）中输出端口的5 V电压源换为15 V的电压源，则输入端口所接4 电阻上的电压降又应为何值？,(a),(b),解：,代入数据得,由此解出,由于图（a）、（b）中的网络N相同，故,若将图（b）的5 V电压源换为15 V电压源，则根据线性电路的齐次性，可得此时的电压,作业：4-2，4-4，4-7，4-10(a)，4-12(a)，4-13(a)，4-16,4-19,4-21,4-22,