【教学课件】第三章平面问题的直角坐标解答.ppt
第三章 平面问题的直角坐标解答,要点,用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。,1.多项式解答,2.矩形梁的纯弯曲,3.简支梁受均布载荷,主 要 内 容,(1),逆解法,(1),假设满足相容方程的(x,y)的形式;,(2),主要适用于简单边界条件的问题。,求出应力分量(具有待定系数);,(3),利用边界条件和边界几何形状,考察应力函数(x,y)对应什么样的边界面力,得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,(1),根据问题的条件,(几何形状、受力特点、边界条件等),,假设部分应力分量 的某种函数形式;,(2),根据 与(x,y)的关系及,求出(x,y)的形式;,(3),求出,并让其满足边界条件和位移单值条件。,一.求解方法 逆解法与半逆解法,二.多项式解答,适用性:,由一些直线边界构成的弹性体。,目的:,考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y),能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中:a、b、c 为系数。,检验(x,y)是否满足相容方程:,显然(x,y)满足相容方程,因而可作为应力函数。,1.一次多项式,(1),(2),对应的应力分量:,(不计体力:X=Y=0),(3)应力边界条件,得,结论1:,(1),(2),一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态;,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。,2.二次多项式,其中:a、b、c 为系数。,(假定:X=Y=0),相容方程,(1),(可作为应力函数),(2),应力分量:,2c,2c,2a,2a,结论2:,二次多项式对应于均匀应力分布。,(3)边界条件,(a 0,b 0,c 0),试求图示板的应力函数。,例:,3.三次多项式,a 为系数,相容方程,(1),(可作为应力函数),(假定:X=Y=0),(2),应力分量,(3)边界条件,结论3:,对应于线性应力分布,矩形截面梁的纯弯曲。,(3)边界条件,(确定常数 a 与弯矩 M 的关系),三.矩形梁的纯弯曲(不计体力),相容方程,(1),设应力函数,满足,(2),应力分量,上下边界;,精确满足,左右边界;,满足,满足,说明:,(1),组成梁端力偶 M 的面力须线性分布,且中心处为零,结果才是精确的。,(2),若按其它形式分布,如:,则此结果不精确,有误差;,但按圣维南原理,仅在两端误差较大,离端部较远处误差较小。,(3),当 l 远大于 h 时,误差较小;反之误差较大。,可见:此结果与材力中结果相同,,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,四.位移分量的求出,以纯弯曲梁为例,说明如何由 求出应变分量、位移分量?,1.应变分量与位移分量,由前节可知,其应力分量为:,平面应力情况下的物理方程:,(1)应变分量,(a),将式(a)代入得:,(b),(2)位移分量,将式(b)代入几何方程得:,(c),将式(c)前两式积分,得:,(d),将式(d)代入(c)中第三式,得:,式中:,为待定函数。,整理得:,(仅为 x 的函数),(仅为 y 的函数),要使上式成立,须有,(e),式中:为常数。,积分上式,得,将上式代入式(d),得,(f),(1),(f),讨论:,式中:u0、v0、由位移边界条件确定。,当 x=x0=常数,u 关于铅垂方向的变化率,即铅垂方向线段的转角。,说明:同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面,材力中“平面保持平面”的假设成立。,(2),说明:在微小位移下,梁纵向纤维的曲率相同。即,材料力学中挠曲线微分方程,2.位移边界条件的利用,(1)两端简支,其边界条件:,将其代入(f)式,有,将其代回(f)式,有,梁的挠曲线方程:,与材力中结果相同,按应力求解的应力函数法基本方程:,(1)对多连体问题,还须满足位移单值条件。,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,(对常体力情形),说明:,(2)应力函数确定方法:逆解法、半逆解法。,五.简支梁受均布载荷,要点,用半逆解法求解梁、长板类平面问题。,1.应力函数的确定,(1),分析:,主要由弯矩引起;,主要由剪力引起;,由 q 引起(挤压应力)。,又 q=常数,不随 x 变化。,不随 x 变化。,假设:,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式:,积分得:,(a),(b),任意的待定函数,由 确定:,代入相容方程:,2.相容方程,方程的特点:,关于 x 的二次方程,且要求 l x l 内方程均成立,即有无穷多个根,须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。故:,对前两个方程积分:,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得:,积分得:,(d),(c),(d),将(c)(d)代入(b),有,(e),此处略去了f2(y)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,(e),3.应力分量的确定,(f),(g),(h),4.对称条件与边界条件的应用,(1)对称条件的应用:,由 q 对称、几何对称:,x 的偶函数,x 的奇函数,由此得:,要使上式对任意的 y 成立,须有:,(2)边界条件的应用:,(a)上下边界(主要边界):,由此解得:,代入应力公式,(i),(j),(k),(b)左右边界(次要边界):,(由于对称,只考虑右边界即可。),难以满足,需借助于圣维南原理。,静力等效条件:,轴力 N=0;,弯矩 M=0;,剪力 Fs=ql;,可见,这一条件自动满足。,(p),截面上的应力分布:,4.与材料力学结果比较,材力中几个参数:,截面宽:b=1,截面惯矩:,静矩:,弯矩:,剪力:,将其代入式(p),有,比较,得:,(1),第一项与材力结果相同,为主要项。,第二项为修正项。当 h/l1,该项误差很小,可略;当 h/l较大时,须修正。,(2),为梁各层纤维间的挤压应力,材力中不考虑。,(3),与材力中相同。,注意:,梁的左右边界存在水平面力:,说明此应力表达式在两端不适用。,解题步骤小结:,(1),(2),(3),根据问题的条件:几何特点、受力特点、约束特点(面力分布规律、对称性等),估计某个应力分量()的变化形式。,由 与应力函数 的关系式,求得应力函数 的具体形式(具有待定函数)。,(4),(5),将具有待定函数的应力函数 代入相容方程:确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式,求得应力分量。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤:,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平面,且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面,且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸(等厚度薄平板),z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸(等截面长柱体),二、平面问题的基本方程,(1)平衡微分方程,(假定:小变形、连续性、均匀性),(2)几何方程,(假定:小变形、连续性、均匀性),(3)物理方程,(平面应力),(平面应变),(假定:小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性),三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路:,(1)按位移求解,以位移u、v为基本未知量,在所有基本方程中消去其余6个量,得到以位移表示的基本方程,从中求出 u、v,再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程:,位移表示的平衡方程,位移表示的应力边界条件,位移边界条件,(2)按应力求解,思路:,以应力 为基本未知量,将基本方程用只有 的3个方程,从中求出,再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程:,平衡方程,相容方程,基本控制方程,(平面应力情形),位移边界条件,应力边界条件,边值条件,(3)两类平面问题物理方程的互相转换:,平面应力问题,平面应变问题,平面应变问题,平面应力问题,(4)边界条件,位移边界条件,应力边界条件,(5)按应力求解的应力函数法基本方程:,(1)对多连体问题,还须满足位移单值条件。,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,(对常体力情形),说明:,(2)应力函数确定方法:逆解法、半逆解法。,四、关于平面问题的变形协调方程(相容方程),(平面应力情形),(平面应变情形),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(基本形式),(常体力情形),适用情形:,小变形、任意弹塑性材料。,(常体力情形),五、边界条件与圣维南原理,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点:,(1)小部分边界(次要边界);,(2)静力等效;,(3)结果影响范围:,近处有影响,远处影响不大。,圣维南原理的应用:,(1)面力分布复杂的边界(次要边界)如:集中力,集中力偶等;,(2)位移边界(次要边界);,