【教学课件】第4章4洛朗级数.ppt

1,4 双边幂级数,如果函数,在圆域:,内解析,则,在该圆域内,的幂级数,其中,的所有指数,但是如果函数,在圆环域:,内解析,则,的展开式中,含有负幂项,例如,在,内解析,它的展开式为,含有负幂项,该级数是双边级数,双边级数,用双边级数,第三章无法计算的积分,(全部是正幂项,例如,能够展开成,都是非负整数.,或常数项),具有一些优秀性质,可以计算,2,双边级数:,正幂项,是前面讲过,可以求出,其和函数,内解析,负幂项部分:,是一个新型,令,该负幂项级数,其和函数,内解析,记,所以,因为,时收敛,其和函数,其收敛半径R,在该圆域内,解析,在收敛圆:,变成,正幂项级数:,(含常数项),部分,的幂级数,在收敛圆:,当,负幂项部分,的级数,3,例如,时,即,即,在圆环域,内收敛,其和函数,在该圆环域内,解析.,4,双边级数:,根据前面的讨论,时收敛,和函数,正幂项部分当,负幂项部分当,时收敛,和函数,如果,则双边级数,在圆环域:,都收敛,它的和函数,此时,在圆环域内,在圆,的外部,的两个部分,解析.,称双边级数,收敛,在该圆域内,解析.,解析.,5,定理4.19,如果,内解析,在圆环域,则,在该圆环域内,一定能够展开成,洛朗级数,即,其中,特别,则,6,取,如果,内解析,在圆环域,则,在该圆环域内,一定能够展开成,洛朗级数,即,其中,特别,则,7,例1(1),把函数,在该圆域,函数,在圆域,内解析,解,不含有负幂项,展开成洛朗级数.,8,例1(2),把,在该圆环域,函数,在圆环域,内解析,解,有无穷多个负幂项,有无穷多个正幂项,展开成洛朗级数.,9,例2(3),把,在该圆环域,函数,在圆环域,内解析,解,有无穷多个负幂项,没有正幂项,展开成洛朗级数.,10,例2,展开成洛朗级数.,求函数,在以,为中心的,各个圆环域内,解,（1）,（2）,（1）,在,内,（2）,在,内,11,71页10(2),内展开成洛朗级数.,把,在圆环域,和圆环域,解,在圆环域,内洛朗级数形如:,在圆环域,12,把,在圆环域,解,洛朗级数形如:,展开成洛朗级数.,71页10(5),13,71页10(3),内展开成洛朗级数.,把,在圆环域,和圆环域,解,在圆环域,内洛朗级数形如:,在圆环域,14,71页10(1),内展开成洛朗级数.,把函数,在圆环域,解,15,例3,的去心邻域内,求,在,的洛朗级数.,解,在,的去心邻域,内解析，,其洛朗级数为,并指出其收敛范围.,