【教学课件】第4章3泰勒级数.ppt

1,一个幂级数,3 泰勒级数,在其收敛圆内,反过来,在一个圆内,可以展开成,D,设函数,在区域D内,作正向圆周K:,z是K内任何一点,根据柯西积分公式,根据高阶积分公式,正向圆周K,可以增大,但整个圆周K,完全在D内,半径R,z0到D的边界的,最短距离,的和函数,解析,解析的函数,幂级数,解析,的半径R,及其内部,最好等于,2,定理4.12,设函数,在区域D内,R等于,z0到D的边界,的最短距离,则在圆内:,能够展开成,该公式,在z0的泰勒展开式,将函数,其方法有两种:,直接法、,但结果,的所有奇点中,若,离z0最近,则,解析,泰勒级数:,称为,展开成幂级数,间接法,只有一个.,的奇点为z1,3,几个重要函数的幂级数,4,例1,将下列函数,z的幂级数,(1),并指出它们,(1)解,(2),(2)解,展开成,的收敛半径,5,重要的幂级数,两边求导,再求导,6,重要的幂级数,积分,求导,7,例2(1),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,需要用公式,在,8,例2(2),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,在,9,60页,设,处解析,在,的,泰勒级数:,如果,则称,为,的m阶零点,例1,的零点,？阶,3,定理,为,的m阶零点,处,在,的泰勒级数为,其中,例2,是其,一阶零点,的零点,？阶,的零点,？阶,的零点,？阶,5,定理4.15,为,的m阶零点,其中,处解析,在,定义4.6,10,例3,求下列函数,的零点,及其阶数,1）,的零点,？阶,2）,的零点,？阶,3）,的零点,？阶,4）,的零点,？阶,11,例4,为,的几阶零点,为,的五阶零点,解,为,的几阶零点,例5,12,72页15.,求证,证明,如果,为,的m阶零点,那么,为,的(m 1)阶零点,根据条件得到,其中,处解析,在,其中,处解析,在,处解析,在,因此,为,的(m 1)阶零点,13,例3(1),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,在,需要用公式,两边求导数得到,14,例3(2),求函数,处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径,解,在,15,例4(1),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,16,例4(2),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,17,例4(3),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,18,例4(4),求函数,处的泰勒展开式,并指出其成立的范围,在,解,