2014竞赛第二讲一般物体的平衡答案.docx

2014竞赛第二讲-一般物体的平 衡答案2014第二讲一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力 臂。（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。 记为M=FL，单位“牛米”。一般规定逆时针方向转 动为正方向，顺时针方向转动为负方向。（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即SM=0,或ZM =SM。（四）重心：计壹重心&置的方法：|三1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合 力矩为零，则合力作用点为重心。2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的 物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反 向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：_ 5 + m2gx2 +，当坐标原点移到重心 上，则两边的重力矩平衡。I三二、常用方法 巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求 解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简 化得多； 复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体 分析，常常转化为力矩平衡问题求解；无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通 过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或 者助物体重心公式计算。三、巩固练习1.如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B 质量为m、长度为1。求它的重心。【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒” 两部分，然后用同向平行力合成的方法找优 出重心口 C在AB连线上，且AC M=BC m；第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃” 和一个质量为-M的球人， 的合成，用反向平行力 合成的方法找出重心。，l=Jm、l=JwC在AB连线上，且BC(2M+m)顼。A C2 C(2M+m)A R+l(M+m不难看出两种方法的结果都是BC_BC 2.将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如 图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的高点斜面倾角为37o.求：绳子的张力.（2）斜面对球的摩擦力和弹力.答案:（1）10N；（2）10N，30N解：（1）取球与斜面的接触点为转轴:，得T=10N;mgRsin37。-T（R + Rcos372） = 0（2）取球心为转轴得，f=T=10N;取C点为转轴：5烬70）"370 = 0，得N=30N.3. 一个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面 和水平地面间的静摩擦因数都为u ,如果在 日* 球上加一个竖直向下的力F,如图所示.问； 力F离球心的水平的距离s为多大，才能使 球做逆时针转动？解当球开始转动时达到最大静摩擦<分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡 方程.Fs =因"将以上方程联立可得：F + G = N + f 12大静摩擦:N = ff =旦N 11f =旦N22(F + G 川(1+H) s =rF (1+四 2)时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉由时?木 块对杆的弹力是多少？（答案：11.25N）解:木块静止时弹力为10N,可得杆重G=20Ncosa,或4. 如图所示，均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕入点 自由转动，杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与 地之间的摩擦力，木块不受其它力作用时, 木块对AB杆的弹力为10N,将木块向左拉出向左拉时 cosa+pLsinauG N psina= x Gcosa-N cosal cosa,或2向右五 时：N2Lcosa=pN2Lsina+G N psina=N cosa- x Gcosa 两式相比得9 10-9，得N=11.25NN 2N 2 - 102B固T _ 3Gr(1* 1 + 2sin0L 1 - cos 0cos 05. 有一轻质木板AB长为L, A端用铰链固 定在竖直墙壁上，另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r, 重均为G.木板与墙的夹角为0（如图所示）.一切摩擦均 不计，求BC绳的张力.答案： 3Gr , 11 + 2sin 0）解:此题的解法很多，同学们可体会到取不同的研究对 象问题的难易程度不同.解法1:对圆柱体一个一个分析，分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析，有力矩平衡求出BC绳的张 力.比较麻烦.解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的 弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的 力臂比较难求.解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N =3Gcot9. 再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整林受到墙壁 的弹力N, BC绳的拉力T,重力3G, A点的作用力N（N对 A点的力矩为零）.TAC = N 1AD + 3G(r + 2r sin 9)对A点,有力矩平衡' I I AD = r / tan °, AC = L cos911 + 2sin 9、.+)L (1-cos9cos9有上述四式可行3GrT =6. 如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面 上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤 压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为u ,柱体与 柱体之间的动摩擦因数为u。若系统处于平衡状态， u和u必须满足什么条件?0分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A、 B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下 处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此 类问题。设每个圆柱的重力均为G，首先隔离C球，受力分 析如图1 一 7所示，由LFc= 0可得J*，受力分析如图1 一 8所示，由LF =0Ay再隔留 得y豆 N + - f - N + G = 0由LF =0 得1 2Axf + 技 N - - N = 0由LE=0得AfR = fR由以上四式可得f=f =上=q gi 2 2+寸32N1 = 2 G，N2 = 3 Gf FH Z ' > 2 一寸 303BB1B2B3i=jw7. （第六届预赛）有6个完全相同的刚 性长条薄片AB（i=1，2），其两端 下方各有一不水突起，薄片及突起的质 量均不计，现将此6个薄片架在一只水 平的碗口上，使每个薄片一端的小突起 B.恰在碗口上，另一端小突起A.位于其下方薄片的正 中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的质点放 在薄片AB上一点，这一点与此薄片中点的距离等于 它与小矣追A的距离，则薄片AB中点所受的（由另 一薄片的小美起A所施的）压力6。6答案：mg/42解析：本题共肴六个物体，通过观察会发现，A1B1. AB、AB的受力情况完全相同，因此将AB、2 25 511liiJAB、AB作为一类，对其中一个进行受力分析，找 由规律，装出通式即可求解.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示， 第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力N.、碗边向 上的支持力和后一个薄片向下的压力N 选碗边B点 为轴，根据力矩平衡有1+1N - L = N - L，得N = 土所以 n = -N = - x-N = = （1）5Nii+i 2 i 212 2 2 2 32 6再以AB为研究对象，受力情况如图乙所示，AB 受到薄片6B向上的支持力N、碗向上的支持力和后 一个薄片A5B5向下的压力N、质点向下的压力mg选B6点为轴，根据力矩平衡有n . L + mg . 3L = N L 61246由、联立，解得N1=mg/42所以，AB 1薄片对A6B68. (第十届全国决赛)用20块质量均匀分布的相同的 光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥， 已知每一积木块的长度为L，横截面为，L的正方形， h =4 -、一 求此桥具有的最大跨度(即桥孔底宽)，试画出该桥 的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。解设1号右端面到2号右端面的距离为x， L ,1 x =1, 12 r2号右端面到3号右端面到HS的距离为x，以第2号木块的左端为转轴力矩平一2一 一、衡妃2G(L ,)，可以得出x -L , GL 十 G一2G ( L x )x 2224同理:第3号右与第4号右端的距离为x3号木块的左端为转轴力矩平衡以第3WL + G | = 3G(L - x3)求得第k号的右端面的距离为x，则第k号由力k矩平衡知:(k 1)GL+GL kG(L x )解得x -上2 kx 求得:则桥拱长的一半为2 +x十x 十橱L 橱L + x = J=J k2kkK=1k =1由图1可知h =(.小=1( n - 1)L一八 44尸1。将n=10代入可得.n 1K=1q= 1.258H9.有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆 与地面间静摩擦因数札o，杆的上端固定在地面上的= 0.3绳索拉住，绳与杆的夹角9 % ,如图所示，(1) 若以水平力F作用在杆上，*h_ 2L/5(L为杆长)，要使杆不滑倒，h 2L / 5(L多少？(2) 若将作用点移到h _4L/5处时，h 4 L / 5如何？2解析：杆不滑倒应从两方面考虑，力F最大不能越过情况又杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的-大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图57甲所示，由平衡条件得F T sin 9 f = 0N 一 T cos9 一 mg = 0F (L h) fL = 0，f相应 / 也增大，故当f增大到最大静摩擦力/ 时，杆刚要滑倒，此时满足：汽成 乙一i =n解得：尸mas (L h) tan 9 / 目一 hmgL tan 9就上有又可知，当(L h)tan9 / h *即"0.66L时对F（1）当h二2l</将有关数据代入F的表达式150max得F = 385N（2）当h_4L>h无论m为何值，都不可能使杆滑倒, h L A h ,250这种现象即称为自锁。£7777777777777777777777777/10. 用两个爬犁（雪橇）在水平雪地上运 送一根质量为m长为l的均匀横粱，横J 梁保持水平，简化示意示图，如图1-41 所示.每个爬犁的上端A与被运送的横 梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触而积很小. 一水平牵引力F作用于前爬犁.作用点到雪地的距离 用h表示.已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k .后 爬犁与雪地间的动摩擦因数为k.问要在前后两爬犁 都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移 动.h应满足什么条件?水平牵引力F应多大?设爬犁 的质量可忽略不计.分析正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条 件gF - 0是求解平衡问题的基本出发点，准确地领会£ M 0题中隐含信息，则是求解的关键所在，本题体现了这一 解题思路.解整个装置的受力如解图1-24所示，其中"与N分平衡条件有，Fh + N l = mgl根据力与正压力的关系有:mg = N + N1匕=ki Nif = kNh越大以爬犁与地的前接触点为辄2F的力矩越 大故N越小h最大时对应N =0的情况.将N=0代入 以上各夫可以解得：2l- 1 l (k + k )F =12 mg2 l - (k - k )hI三h =2k故:h应满足的条件是：h v上2k11. 半径为r,质量为m的三个刚程球放在 光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱 形刚性圆筒（上、下均无盖）将此三球套在 筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间 以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作叫I=J用力.现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放 在三个球的上方正中四个球和圆筒之间的静摩擦系 数均为质15 （约等于0.775）.问R取何值时，用手轻轻 竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？答案: （乎-1）， R v （乎-"解：当上面一个小球放上去后，下面三个小球有向 外挤的趋势,互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以 通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来 进行受力分析，受力图如图所示.对上面小球，根据竖直方向受力平衡有3N sin0-3f soc0=mg（或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，力矩平衡 N rsin0+mgr=f r（1+cos0）再对四个小球为整体，在竖直方向3f1=4mg下面的小球，对球心为为转轴，有力矩平衡条件 奇下面，小诚，取f和f作用线的交点为转轴，有力 矩平衡得N>N，故大球与小球接触处先滑动（这是确 定何处先滑劫的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R最大时：f2=pN216有上述四式得:128soc20+24cos0-77=O,解得：cos0= 11，因质=5 =旦，所以R =（芝一 1）r但上面的小球不能太小，否则上球要从下面三个小球 之间掉下去，必须使".R > （丁 - 1）r故得忐-1）r < R V A-1）r.333四、自主招生试题1. （2009清华大学）质量为m、长为L的三根相同的 匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底 端A、B、C的间距均为L，如图所示。（1）求OA棒顶端所受的作用力F的大小。（2 ）若有一质量也为m的人（视为质点）i=j坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不 动，这时OA棒顶端所受的作用力F的大 小又为多大？ （3）在（2）的情况下，地面与棒之间 的静摩擦因数u至少为多大？ 析"1） Fh = mg - 2a =（-心-2 =豆 l23h =、'l2 -a2 = -13F = mg . 1.W 1/（顷 1）=卫mg（2）在OC审点虫一人，6 气（2010北大） 如图，一个质量M、棱边长为L的 立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体 向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求 向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。设3/F -31 = F . 1 + mg 13 口 ；36 /2mg - 1 = 2F -31 + F . 1F =合s气363F - = mg -3-厂1厂2F = mg, F = mg想立方体开始翻转后，施加的外力F大小和方向会改 变，以维持F始终为最小值。解：先考虑向前翻倒的情况，设AC才水平而夹世角，能然这时加垂直AC连线料向上的力F时满足要求，如也听示蜜？=匚，贝I式中口丘的七9质卜因此位=弱"时所需F最大也就址要施加的最小力，放这表明只要D点能够酒开地面，度后F即使斐小一些立方体也能麝林.在点将要高开地面时，F* 烦 】'N 一M耳-Fsin仃&以后为使为F始终最小，则F 直鱼宜_奴？斜向I匕 白图示情抚F，另职Mg S1F的交点为轴.有N cos tr - O-1- -sina)4J sin a根:y _ 血-海呀 _ 褊 #(xjs 口 iNE + uin岫2 ain2ff cos2ff tancf -|- mt «当rat n =再时，即a -35r 6"酎四“，一匕不过以大于等于如二故的前翻转立方体，动摩擦因数痫也/¥】向即可.而向后初的情况就方体以口点为射秋动*同祥一开妫最雅鼎动.施加的拉 力F垂直口A术平向在时对应的F最小，设吏方体边长为L则WJ2 = F L符i:Mj/'Z此时"=*岐后如果F始终垂宜A口边而且级慢翻转立方体，则f会变小,但V反而变 太,这表咧口处只要-升蛉不滑动就不可能再滑动了3. （2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的 直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与 圆环相切，系统静止在水平地面上， 杆与地面接触点为A，与环面接触点 为B。已知两个物体的质量线密度均 为p，直杆与地面夹角为/圆环半径为R，所有接触点的摩擦 力足够大。求：(1)地给圆环的摩擦力。(2)求A、B两点静摩擦系数的取值范围。解：球受力如图所示,水平方何合力为零得:以圆心。点为轴有L fgfB即代 5,对球以A点为轴有，W=aW+NJ,即Nz=m，g + N”再取球杵整体为研究 对象以凡点为仙有；?n;ffsincDS网 Reps &22(1 + cos。)J8姓静摩擦因数% m绪gin 81 十 g日=tan¥A处静摩擦因数> A A A 负成/2) comHN 3 也 ig+痕招一M7» | (1 On Seos &)2 cos 0五、备用 1.（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB长为L,重为G，其A端放在水平面上，而点C则靠在高h l的 h =B.2.（第十届全国预赛）半径为R质量为M的均匀光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角0=45° 求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数 的最小值。圆球与一质量为M的重物分别用细绳AD和 .一 2ACE悬挂于同一点A,并处于平衡,如图所示.和绳与球间的摩擦，求悬挂圆球的绳AD与竖已知悬点A到球心的距为L,不考虑绳的质量解:球受重力M g, AD绳受拉力为T：ACe!压力为N,直方向AB的夹角0.答案：0=arcsin m2r 因重力m g通过圆心Ln也通过圆心（但不是水平方向）, 所以T由通过圆（三力共点）,OA=L.取整体为研究对象 对 A 点的力矩平衡，MgO氏MgBC,或M gLsin0=M g （R-Lsin0）, 得0=arcsin12L（M + M ）3.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度 相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链 处的摩擦，当在0端加一个适当的外力（在纸面内）可 使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90。， 且。端正好在入端的正下方。1=1（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向 的范围内？说明道理（不要求推算）。l=jl=J（2）如果AB棒的质量为m，BC棒的质量为m，求此外力的大小和方向。12答案：（1）F的方向与AC夹角范围18。.24，-45。间；（2）F = gi：2m 2 + 10m 2 + 8mm '4解（12）设F的方向与AC夹角为&如果当m质量很 小时，AB对BC的作用力沿AB方向，贝UF的方向宓交于AB 的中点，6=45o-tan-11=18。24。如果当m质量很小时，则F的方向沿BC方向，0=45。2»所以F方向的范围是0=18。.24，-45。间。（2 ）以A为转轴，对两棒有：L-(m + m ) g x sin 450 = F x*2L sin 0为转轴，对BC有：mg x L.450 = F x L sin(45°-0)=sin45°cos0-Cso45°sin0t 1 m1 + m 3m + m有式得F的大小：F=1g、EET ； F的方向与竖直线的夹角0= 1 2 1 2可见，m=0时，0= 1 18。.24，；2 m1 =0时，0=45。.1tan"3 =2叽"114. 如图两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰 链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m, C端离水平地面4m,总重200 N, 一人重600 N,由B 端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数u=0.6,则人爬 到何处梯子就要滑动？c解：进行受力分析，如图所示，把人和梯 子看成一个整体，整个系统处 于平衡状态： AB=6m, CD=4m,AAC=BC=5m设人到铰链C的距离为'满足 A = 0， ZM = 0 所以 G + G + G = F + FAAC BC N1 N 2F = F f 1 f 2 一 八 _1G 八 cos 6+ G BD +日 F - CD = F - BD BC 2N1N1整理后：,；:F = F = 400N， l = 2.5m所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动Flll=5. 架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在 竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数 分别为已、已。求梯子能平衡时与地面所成 的最小荚角。（答案：卜tan）2u解法1：设梯子能平衡时乌地面所成的，小夹角为a,则有f=MN, f=gN （同时 达到最大，与上题有度别b12 2 2水平方向：同二N,I竖直方向：p'n'+N二G,G叫N +n /已2 2 2 1厂G cos a LN sin a 卬 N cos a = 0解得2 ，即2 2 "。tan a = 12a = tan -1 12-解法地对梯和墙翔梯的二个全反力 与重力必交于一点（如图的D点） 贝U有：tang=已,tang=得 :取A点为转BC DH DE DH DE 1tan a = = 可解 :=_ cot 2 AH2 AH 2 EB 21a = tan 1上旺。|三6. 如图所示.梯子长为21，重量为G,梯子上的人的重 量为/人离梯子下端距离为h,梯子与地面夹角为,梯子下端与地面间的摩擦因数为，梯子上端与墙 的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h值.解杆的受力情况如图所示：由于杆静止，£f = 0,£m = 0，N = fN ' = G' + G5八，一八GL cos 0 + Gh cos 0 = N 2 L sin 0f =旦 N解方程可以得出：h _ 2 旦 l (G + G' )tan 0 Gl (原G'h = 答案有误）所以，只要 h < 2以（G + G，）tan 0- Gl , 梯子就不会滑动。7. 如图所示，方桌重G=100 N,前后腿斤 与地面的动摩擦因数. 020 ,桌的宽与高后 H = U.2U相等。求：JJL拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。设前、后腿与地面间的静摩擦因数._060。在方桌H 0.60的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前遍 倒？睇 据物体一缺平衡条件有JX=F-/ +乙）=。£玲 F.I + 叫-G-0= F * A jV； A G =0£t主1J ）产.联直以上四式可得出；F 20 N, 一叫=30 N, A', -70 N, /L =14 H, J -G N （?） H处禅Jj和摩擦力均恰好为零时，以A点;为轴： 由F'*G；=。得F金而同肘尸二=弓右=6。闰，否则方京会滑动）故如NVFW配乂B图8. 如图所示，一根细棒AB，A端用绞链与天 花板相连,B端用绞链与另一细棒BC相连，二 棒长度相等.限于在图示的竖直面内运动， 且不计绞链处的摩擦，当在C端加一个适当 的外力(与AB, BC在一个平面内)可使二棒静 止在图示位置，即二棒相互垂直.且C在A端的正下 方(1)不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方 向范围内?试说明理由|三如果AB棒的质量为m , BC棒质量为m求此外力 的大小和力向.12此时BC棒对AB棒的作用力的大小是多少 解外力的范围应在竖直线右且在BC棒以上.将两根棒看作整体，整体受的重力力矩为顺时针， 若整体保持平衡，力F的力矩须产生逆时针力矩。即 力F应指在AC线的右侧。以BC为研究对象，B点为轴,BC的重力有逆时针 力矩，外力F的力矩须产生顺时针力矩.即F应在BC以上。(2)以BC为研究对象,合力为0,合力 为0,角A?所示S 450。如解图fF cosy = G cos45o + N<21F sin y + N = G sin 45o由方程可得:F= 1 N 2m 2 + 8mm +10m 2 411 22求F的方向可以将AB和BC看作一个整体.以A点为轴力矩平衡(如解图1-17-2所示)：f、_ LAF .2L sin 9 = (G + G ) - sin45。12 2可以求出m + m(2m 2 + 8m m + 10m 2sin 9 =即v 2m 2 + 8mm + 10m 2BC杆对1 AB杆的力可以分解为N, N, 其反作用力为NN ,如解图1-17-3所示：以A点为轴力矩平衡。G-sin450 = N -1 21以C点为轴，BC力矩平衡：LG 4"一”=2 29 = arcsin % + *2G - sin 450 = N L 2 由可得：由于N，与N为相互作用力，所以 N 22BC对AB的作用力为N, N,的合力为:1 '2m gV2 N = 2g24N' = mg2aABN】2N2C22解 图笠4*'m 2 + m 222 29. 在竖直墙面L.有两根相距为2a'摩1¥1的水平木桩A和B,有一 细木棒置于A之上,B之下 时与竖直方向成 角静止，棒与A, B的摩擦因数为， 现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠.如图蒿 示，求此时棒的重心的位置离A桩的距离.解对棒受力分析.由棒静止,合力为0,（N + G sin 0 = Nf + f = G cos0'N - 2a = G - (2a + x)sin 0设童心到A的距离为x,分别以B点和A点为辄合 力矩为0可得：| N - 2a = G - x - sin 0:又有:"=叩f =四 N以上三组方程联立可得:，耙0 ° 廿-尤-a（_）JVi igi-36p解法2 “恰好”不下坠时，A、0B两处均达到最大运 动趋势，这时两处的全反力R、Rb和重力G必共点,mAC AO对AAOC，有cos（0 + 巾）sin0AOsin 2巾 cos 巾针对两式消解-即可（注意：。=arctan U）AO ACm答案：X - a（竺0 _ 1）。