11几何光学基础.docx

第一讲几何光学§ 1.1几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。3、光的反射定律： 反射光线在入射光线和法线所决定平面内； 反射光线和入射光线分居法线两侧； 反射角等于入射角。4、光的折射定律： 折射光线在入射光线和法线所决定平面内； 折射光线和入射光线分居法线两侧；ip n sin i = n sin i . /入射角与折射角2 7两足1122 ； 当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为ni的光密介质对折射率为n2的光疏介质的临界角sin C = Kni)§ 1.2光的反射1.2.1、组合平面镜成像:1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成 的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜 的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因 而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的S2i S3现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S （图1-2-1）, S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了*、S三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和*、S和、*和S、和S之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着 对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。两面平面镜AO和BO成60°角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：以O为圆心、OS为半径作圆；过S做AO和BO的垂线与圆交于*和S2 ；过*和S2作S31212图 1-2-2BO和AO的垂线与圆交于53和S4 ；过S3和S4作AO和BO的垂线与圆交于55，£ 55便是S在两平面镜中的5个像。双镜面反射。如图1-2-3,两镜面间夹角a =15在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射°,OA=10cm，A点发出的垂直于匕的光线射向L后出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少?如图1-2-4所示，光线经匕第一次反射的反射 线为BC，根据平面反射的对称性，况'=BC，且/ BOC'=。上述4B，C，D'均在同一直线上，因此 光线在Li、L2之间的反复反射就跟光线沿ABC'直 线传播等效。设N'是光线第n次反射的入射点，且 该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足900 n <= 6的关系是 na <90° （n +1）。， a 。取 n=5, / N OA = 750，总路程AN ' = OAtg 5a = 37.3cmo2、全反射图 1-2-5全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2,当入射角大于临界角a = sin-1 n21时，光线发生全反射。全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的 重要组成部分一一光导纤维，就是利用光的全反射 现象。图1-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率 ni =1-3，外层材料的折射率n2 =1-2，试问入射角在什么范围内才能确保光在光 导纤维内传播？图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，B表示光第二次的入射角，只 要B大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤 维内芯里传播。p = sin-1 n21r = P = 90 o 67.4 o = 22.6 o2.n .1.2=sin 1 = = sin 1 =67.4n 1.3sin i /sin r = 1.3/1只要 sin i < 0.50,i < 30。即可。例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平M_a面镜，P1P2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的图 1-2-6ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S （其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板 作图求出可看到的部位，并在P1 P2上把这部分涂以标志。分析： 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺 刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人 的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像S'。连接Sa并延长交平面镜于 点C，连接S'与点C并延长交米尺PP2于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的 最左端；连接sb并延长交米尺PiP2于点F，且S'b与平面镜交于D，连接S与 点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人 眼可看到部分，如图1-2-7所示。解法二：根据平面镜成像的对 称性，作米尺PP2及屏MN的像， 分别是P1 P2及MN，a、b的像分 别为a'，bf，如图1-2-8所示。连接 Sa交AB于点C，延长并交P P2于 点E'，过点E'作P1 P2（AB）的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接Sb'交AB于点D，延长并交P P 于占F' 过点F'作PP（AB）的垂线PP 交于占F 占F就是人眼看 T 12，121 2，羽LZEU、口IX匀到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中， 利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。例2、两个平面 镜之间的夹角为45 °、60°、120°。而物 体总是放在平面镜 的角等分线上。试分 别求出像的个数。(c)(d)图 1-2-9分析：由第一面 镜生成的像，构成第 二面镜的物，这个物 由第二面镜所成的 像，又成为第一面镜 的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合， 像的数目不再增多，就有确定的像的个数。解:设两平面镜A和B的夹角为2。，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9 (a)所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都 在此圆周上。由平面镜A成的像用PP3 A表示，由平面镜B成的像用P2,P4 A表 示。由图不难得出：P1，P3A在圆弧上的角位置为Qk + 1)e，P2，P4 A在圆弧上的角位置为2兀(2k-1)6。其中k的取值为k=1，2,若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，则(2k +1)6 = 2s (2k -1)6k =-即26一丸26 = 45 o =当4时,k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示；冗26 = 60o 当3时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；26 120o 当3时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像 在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以 有两个像。图 1-2-10A图 1-2-11例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和 几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO,使物体 和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆 圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此 人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽 子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角ZAOB=72°，设人头的中心恰好位于 角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。图 1-2-13上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽 子）。本题只要求画出示意图，但须力求准确。解： 本题的答案如图1-2-13所示。例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻 璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、。£两平面高度抛光后镀银。试证明：经图 1-2-14BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两 次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射 的光线，必与入射光线垂直。解： 如图1-2-15所示，以i表示入射角，表 示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线 自透明表面的a点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；入射角为1 = r + 22.5 o2 1反射角为' i = i = r + 22.5 o在四边形bEAC中， '_ a = 90o -1 = 90o - r - 22.5。= 67.5。- r而 p = 360o - 2 x 112.5 o - a = 135。- (67.5 o - r)丫4 图 1-2-15= 67.5 o + r1' 一一 阜 i = i = 90 o p = 22.5 o r于是，331在cdb中.'、.'、Zcdb=180° - (i + i)- (i + i)2233=180-2(r + 22.5o) - 2(22.5o - r= 900这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。由于棱镜的C角是直角，=360°-270O-Zdec=90°-Zdec= i1。设棱镜的折射 率为n,根据折射定律有sin i = n sin rsin r = n sin i0 r1 =匕，r4 = i1总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角'1的大小无关。只 要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有i1 =）二出射 光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角一一90图 1-2-16例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状， 一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光 全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。分析：如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界 面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角a最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚 好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中 都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。解：当最内侧光的入射角a大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。即要求.> 1sin a > n而.Rsin a =R + dR1所以> - R + d n即R1 >d n -1r r) i _故l d J . n -1点评 对全反射问题，掌寸上=2/hOId4-AB图 1-2-17而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。例7.普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A 和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由 一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次 全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚 进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴 的夹角为。0，如图1-2-18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射 端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直 径为，然后移动光屏D至距光纤出射端面« 处，再测出圆形光斑的直径%， 如图1-2-19所示。在光纤入射端面的中心0。经端面折射图 1-2-18（1）若已知A和B的折射率分别为气与七。求被测流体F的折射率保的 表达式。（2）若气、nB和。均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值？分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为a。若该光线折射后的折射角为。，则由几何关系和折射定可得i + a = 90°n sin a = n sin 0当i大于全反射临界角ic时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而V七的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之 前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于七，七的值由下式决定:n sin i - n与C对应的a值为图 1-2-20a = 900 - isin a > sin a = cos i =、1 sin2 i = 1 (2)2当 a 0 > %，即 0 C C ' C E % 时，或n sin a > .,、： n 2 n 2a < ai > iA 0 a b时J，由0发出的光束中，只有 C的光线才？两足C的条件下，才能射向端面，此时出射端面处a的最大值为a - a - 900 一 i共 a V a n sin a V、.：n 2 n 2i > i 白打若0 c，即A 0、A B时，则由U发出的光线都能两足 C的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处a的最大值为端面处入射角a最大时，折射角。也达最大值，设为0皿密，由式可知n sin 0- n sin a由、式可得，当a0 < aC时，n sin aF sin 0max由至式可得，当a0 > aC时，于是七的表达式应为(11).K d - d sin 以 1A2/(d2-叩G V以)20 c2T)乙一(d - d )+ (h - h )221(a >a )(12)（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h：、h2、dT、d2,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有当气气时，(kd，-d')/2 + (hh -hh)2（13）1 = nA sin a。一l21当a0 >ac 时_ :qkd' -d)/2l + (h' -h')2（14）=-nB2(d d )/2'一21将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得( d - d1 2d' - d，21 -I 2 12+ (七-h2n =1 卜1Fd2 -d Tkd' d')/2+(h' h')22 V 2121(15)此结果适用于a 0为任何值的情况。