毕业设计论文基于脊波变换的图像去噪研究.doc

毕 业 设 计题 目：基于脊波变换的图像去噪研究 所在专业： 电子信息科学与技术 学生签字: _导师签字: _摘 要图像中的噪声影响图像的输入、采集、处理的各个环节以及输出的全过程，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响处理全过程以至最终结果，因此在图像预处理中必须减少图像中的噪声。 本文以脊波变换为研究对象，论述了脊波变换在图像处理中的应用。分别论述了小波变换和脊波变换基本理论，基于脊波变换的图像去噪以及图像融合。首先，在分析小波变换理论的基础上，结合小波变换的优缺点，为了克服小波变换在图像处理中的不足，介绍了脊波变换的基本理论。其次，针对图像去噪中常用阈值方法的缺点和不足，提出了一种基于脊波变换的改进的图像去噪算法，该算法采用指数型阈值函数，利用sureshrink自适应阈值。最后，将脊波变换的思想应用于图像融合，采用区域方差的融合规则，得到了一种基于有限脊波变换的图像融合算法。实验结果表明，基于脊波变换的图像去噪和融合方法具有比小波变换更好的效果。关键词：脊波变换 小波变换 图像去噪 图像融合ABSTRACTThe image of the noise impact of the input, collecting, processing, output of the whole process, especially the image of the input, sources of noise is dealt with and influence the whole process and ultimate in image preprocessing, so we must reduce the noises in the image This paper deals with Ridelet Transform in processing, which involves the basic theory of Wavelet Transform and Ridelet Transform, finite Ridelet transform in image denoising and in image fusion. Firstly, depending on transform, for basic theory of Ridelet transform. Secondly, a improvement of image denoising algorithm based Ridelet transform is presented to overcome the disadvantage and deficiency of the common threshold method at image denoising. The exponential threshold function and the adaptive SureShrink threshold value are applied into this approach. Thirdly, Ridelet transform is applied in image fusion, adopted the fusion rule of regional variance, an image fusion algorithm based on finite Ridelet transform has appeared. The results of experiment indicate based on Ridelet gain better effects than wavelet transform.Key words：Ridelet transform wavelet transform Image Denoising Image FusionIII目 录摘 要IABSTRACTII第1章 绪 论11.1 图像中的噪声及去噪方法概述11.1.1 图像中的噪声11.1.2 图像去噪方法概述21.2 小波的发展现状及应用前景31.3 脊波的发展现状及应用前景31.4 论文的研究内容与组织结构4第2章 图像去噪及其发展52.1 传统去噪方法52.2 小波变换图像去噪方法62.2.1 小波去噪发展历程62.2.2 小波去噪方法72.3 本章小结9第3章 小波分析基本理论93.1 小波变换基本理论93.1.1 连续小波变换103.1.2 离散小波变换103.1.3 二进小波变换113.1.4 多分辨分析113.1.5 Mallat算法113.1.6 图像的小波变换133.2 本章小结17第4章 脊波变换184.1 脊波变换基本理论184.1.1 连续脊波变换184.1.2 离散脊波变换194.2 脊波变换的实现194.3 Ridgelet变换与Wavelet变换的联系204.4 有限Radon变换224.5 数字脊波变换244.5.1 脊波变换的数字实现254.6 本章小结25第5章 脊波图像去噪265.1 基于软硬折中的多阈值脊波图像去噪265.1.1 脊波变换图像去噪机理265.1.2 图像奇异性265.1.3 常用的阈值处理方法275.1.4 改进的阈值处理方法一软硬阈值折中法275.1.5 多阈值的确定285.1.6 基于软硬折中的多阈值脊波去噪算法295.2 实验结果与分析295.3 本章小结34结 论35参考文献36致 谢38附 录39第1章 绪 论1.1 图像中的噪声及去噪方法概述1.1.1 图像中的噪声噪声是图象干扰的重要原因。一幅图象在实际应用中可能存在各种各样的噪声,这些噪声可能在传输中产生,也可能在量化等处理中产生。噪声对人的影响噪声可以理解为“ 妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”。对灰度图像来说，可看做是二维亮度分布，则噪声可看做是对亮度的干扰，用n（x，y）来表示。噪声是随机性的，因而需用随机过程来描述，即要求知道其分布好书或密度函数。但在很多情况下，这样描述方法是很复杂，甚至不可能的，而实际应用往往也不必要，通常使用其数值特征，即均值方差、相关函数等。因为这些数值特征都可以从某些方面反映出噪声的特征。目前大多数数字图像系统中，输入光图像都是采用先冻结再扫描方式将多维图像变成一维电信号，在对其进行处理、存储、传输等加工变换，最后往往还要再组成多维图像信号。而图像噪声也同样受到这样的分解和合成，在这些过程中电气系统和外界影响将使得图像噪声的精确分析变得十分复杂。另一方面图像只是传输视觉信息的媒介，对图像信息的认识理解是由人的视觉系统所决定的。不同的图像噪声，人的感觉程度是不同的，这就是所谓的人的噪声视觉特性课题1。这方面虽早已进行研究，但终因人的视觉系统本身未搞清楚而未获得解决。所以现在还不能规定出确切的图像噪声干扰的客观指标，而只能进行一些主观评价研究。尽管如此，图像噪声在数字图像处理技术中的重要性己愈加明显，。一般图像处理中常见的噪声有：1. 加性噪声加性噪声和图像信号强度是不相关的，如图像在传输过程中引进的“信道噪声”、电视摄像机扫描图像的噪声的。这类带有噪声的图像可看成为理想无嗓声图像与嗓声之和，即 (1.1)2. 乘性嗓声乘性嗓声和图像信号是相关的，往往随图像信号的变化而变化，如扫描图像中的嗓声、电视扫描光栅、胶片颗粒造成等，这类噪声和图像的关系是 (1.2)3. 量化嗓声量化嗓声是数字图像的主要噪声源，其大小显示出数字图像和原始图像的差异，减少这种嗓声的最好办法就是采用按灰度级概率密度函数2选择最优化措施。4. 椒盐嗓声此类嗓声如图像切割引起的即黑图像上的白点，白图像上的黑点噪声，在变换域引入的误差，使图像反变换后造成的变换噪声等。1.1.2 图像去噪方法概述 图像去噪的目的就是为了减少图像噪声。图像空间域去噪方法很多。邻域平均法是一种局部空间域处理的算法。图像经过邻域平均法处理后会变得相对模糊，这是因为平均本来就是以图像的模糊为代价来换取噪声的减少的。空间域低通滤波方法也可以平滑图像的噪声，它实际上是通过一个低通卷积模板在图像空间域进行二维卷积来达到去除图像噪声的目的。多幅图像平均法是利用对同一景物的多幅图像取平均来消除噪声的。中值滤波是一种空间域非线性滤波方法，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所以比较方便。在一定的条件下，它可以克服线性滤波器所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像噪声最为有效。 图像变换域去噪方法是对图像进行某种变换，将图像从空间域转换到变换域，再对变换域中的变换系数进行处理，再进行反变换将图像从变换域转换到空间域来达到去除图像噪声的目的。将图像从空间转换到变换域的变换方法很多。如傅立叶变换、小波变换以及在本论文第四章将介绍到的Ridgelet变换。每种变换它的变换域得到的系数都有不同的特点，合理地处理变换系数再通过反变换将图像还原到空间域可以有效地达到去除噪声的目的。1.2 小波的发展现状及应用前景小波分析(wavelet)是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展。作为一种新的时频分析工具的小波分析3，目前已成为国际上极为活跃的研究领域。从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看，小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近此年来在方法上的重大突破。由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学，应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面。小波的提出先是取得了应用成果(如Morlet在地震数据中的处理等)，再形成理论，最后在应用领域全面铺开，因而具有实用价值。它已经和将要被广泛应用于信号处理、图象处理、量子场论、地震勘探、话音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断以及数字电视等科技领域。随着小波应用的广度和深度的进一步拓展，某些方面已取得了传统方法无法达到的效果。1.3 脊波的发展现状及应用前景 在高维空间中具有线或面奇异的函数是非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点的奇异。实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等众多领域中一个非常核心的问题。 对于含“点奇异”的一维信号，小波能达到“最优”的非线性逼近阶。而在处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时，虽然由一维小波张成的高维小波基在逼近性能上要优于三角基，却也不能达到理想的最优逼近阶。这是由于一维小波张成的二维可分离小波基只具有有限方向，即水平、垂直和对角造成的，即多方向的缺乏是其不能“最优”表示具有线或者面奇异的高维函数的重要原因。 小波分析的不足，使人们开始从不同角度出发，试图寻找比小波更好的“稀疏”表示工具。脊波理论便是其中最有代表性、影响最深远的一种理论。1998年Emmanuel J Candes4在其博士论文给出了脊波变换的基本理论，该理论巧妙地将二维函数中的“直线奇异”转化为“点奇异”，再用小波进行处理，能获得对含“直线奇异”的二维或高维函数最优的非线性逼近阶。在这之后的同一年，Donoho就给出了一种正交脊波的构造方法。该正交脊波延续了脊波变换将“直线奇异”转化为“点奇异”进行处理的思想，并且构成一组上的标准正交基。1999年，Emmanuel J Candes又提出了单尺度脊波变换和Curvelet变换，它们都是由脊波变换发展而来，分别利用了函数局部化和频带剖分的思想，将脊波理论发展到了一个更高的阶段，这两种变换都能“近似最优”的表示直线和曲线奇异。到了2003年，侯彪、刘芳和焦李成给出了脊波变换的数字实现方法，2005年，由谭山等人又提出了脊波框架的理论。与正交脊波不同的是，脊波框架的构造条件更加宽松，不需要受小波基性质的约束，几乎各种小波基都能被用来构造此框架，而且脊波框架将正交脊波纳入其构架而又具更广外延。冗余性的存在，在某些实际工程应用中使得框架往往比正交基具有更好的性能，这也是脊波框架的优势之一。关于Emmanuel J Candes的脊波5。它是以稳定的和固定的方式用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类。同时，它也具有基于离散变换的“近于正交”的脊波函数的框架。在这些新的广泛的函数类上，利用各种特殊的高维空间的不均匀性来模拟现实的信号。它应用现代调和分析的概念和方法，并使用在小波分析理论中发展的技术，可用来处理神经网络的构造问题。同时脊波具有具体的和稳定的使用脊函数的叠加来表示一个多变量函数的形式，而且对于相应的脊波空间中的函数，我们可以使用脊波字典中的有限个元素的叠加来逼近函数，并使得这种逼近相对于Fourier变换、小波变换和神经网络来说能够获得较好的定量的逼近速率。脊波将神经网络、统计学和调和分析等多门学科的知识综合起来，并克服了这些学科涉及到的多变量函数逼近问题所遇到的难题。1.4 论文的研究内容与组织结构由于脊波对具有直线奇异的图像处理的优越性，因此在一些用小波处理图像的情况下，如果改用脊波来处理，势必取得类似或更佳的效果。基于此，本文围绕着脊波变换的实现和脊波域中的图像去噪进行了初步研究。 第一章介绍了图像的质量评价方法，小波产生的历史背景及发展现状和在此基础上产生的脊波理论。 第二章简要的介绍了图像去噪的发展历程及传统的去噪方法，尤其是小波去噪的发展。 第三章简要的介绍了脊波理论的基础之一小波分析的基本理论。着重阐述了二进小波变换的原理和快速算法。为后面脊波的实际应用打下了理论基础。第四章详细地介绍了由Candes提出的脊波变换的基本理论。包括连续脊波变换的定义及相关性质和脊波变换的几种数字实现形式。第五章是根据二进小波变换冗余性的特点，在传统去噪算法基础上进行了改进，得到一种基于脊波变换的图像去噪算法，二者通过仿真实验结果的比较，证实了该算法的优越性。并在脊波变换的基础上，验证了自适应软硬折中阈值去噪算法相对于脊波模极大极小值去噪算法；脊波的软阈值去噪算法；脊波的硬阈值去噪算法的优越性。 第2章 图像去噪及其发展2.1 传统去噪方法对随时间变化的信号，通常采用两种最基本的描述形式，即时域或频域6。时域描述信号强度随时间的变化，频域描述在一定时间范围内信号的频率分布。对应的图像的去噪处理方法基本上可分为空间域法和变换域法两大类。前者即是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域法是在图像的变换域上进行处理，对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换达到图像去噪的目的。传统的去噪方法主要有：1 均值滤波2 中值滤波 3 维纳滤波4 多图像平均法5 频域低通滤波法2.2 小波变换图像去噪方法近年来，小波理论得了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多分辨率特性，小波理论成功地在许多领域得到了广泛的应用。现在小波分析已经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域。在图像去噪领域中，应用小波理论进行图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。具体来说，小波去噪方法的成功主要得益于小波具有如下特点：1. 低熵性，小波系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵降低；2. 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻画信号非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；3. 去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关性，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；4. 选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合，对不同的研究对象，可以选不同的小波母函数，以获得最佳的效果。2.2.1 小波去噪发展历程 1992年，Donoho和Johnstone提出了小波阈值收缩方法(Wavelet Shrinkage)7同时还给出了小波收缩阈值，并从渐近意义上证明了它是小波收缩最佳阈值的上限。以上小波收缩算法的一个严重的缺陷是：在去噪之前必须知道噪声的大小(方差)。而在实际应用中噪声大小是无法预先知道的，于是MaartenJasen等提出了GCV(generalized cross validation)8方法，这种方法无需知道噪声大小的先验知识，较好地解决了这一问题。另外，由于Donoho和Johnstone给出的阈值有很严重的“过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究，并提出了多种不同的阈值确定方法。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值，但是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的假设，并且这些方法大多是从Donoho和Johnstone给出的方法发展而来的，从而它们最后的去噪性能也依赖于用wavelet shrinkage确定阈值时，对噪声服从独立正态分布的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更重要的噪声情况下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式。 目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先验信息，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。另外，除了阈值收缩方法外，Kivanc.John和Xu等人还提出了不同去噪方法，例如利用Lipschitz指数的方法和基于最大后验概率MAP的比例收缩法等，这些都丰富了小波去噪的内容。2.2.2 小波去噪方法 目前应用小波进行图像去噪的方法很多。总的来说，小波去噪方法大体上可以分为：小波收缩法、投影法、相关法三类9。 小波收缩法是目前研究最为广泛的方法。小波收缩法又可分为一下两大类：一类是阈值收缩法。阈值收缩法主要基于一下事实，即比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的系数则很大程度上是噪声。这就是说，在小波系数中，低频分量中含有大量的信息，应该给予保留；同时在高频分量中，一些绝对值大的小波系数并不是噪声，而是边缘信息，也应保留。另外一种是比例收缩法，它通过判断系数被噪声污染的程度，并为这种程度引入各种度量方法，进而确定收缩的比例。小波阈值收缩的关键是小波收缩函数和收缩阈值的确定。小波收缩函数和收缩阈值的选取的好坏直接影响图像去噪的效果。目前，有很多确定小波收缩阈值和收缩函数的方法，具体如下：1. 收缩阈值的选取 当前使用的阈值总体来说可以分为全局阈值和局部自适应阈值两类。其中，全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的；而局部自适应阈值是根据当前系数周围的局部系数的分布情况来确定阈值。目前提出的全局阈值主要有以下几种： (1)Donoh和Johnstone提出的统一阈值，其中为噪声标准差，为图像大小。它是小波收缩最佳阈值的上限，但它不是最佳收缩阈值。它仅从图像的噪声特征来考虑，而没有考虑图像本身的特征。本文针对其不足提出了另一种阈值。(2)基于零均值正态分布的置信区间阈值。这个阈值是考虑到零均值正态分布变量落在之外的概率非常小，所以绝对值大于3的系数一般都被认为主要是信号系数。 (3)最小最大化阈值。这是Donoh和Johnston在最小最大化意义下得出的阈值，与上面的阈值不同，它是依赖于信号的，而且没有显式表达式，在求取时，需要预先知道原信号。 (5)理想阈值。理想阈值是在均方差准则下的最优阈值，同最大最小值一样，也没有显式的表达式，并且这个阈值的计算通常也需要预先知道信号本身。但是由于实际求取时，这是不可能的，所以人们通过对这一准则的估计信号，求出使估计最小的阈值，并以此为理想阈值的估计。目前使用比较多的主要有两种：一是SURE Shrink阈值，它是在SURE准则下得到的阈值，该SURE准则是均方差准则的无偏估计，它趋近于理想阈值。另一个是GVC准则，它虽然是有偏的，但是由于用这种准则得到的最优阈值也趋近于理想阈值，而且不需要对噪声偏差进行估计，所以常用它来确定合适的小波收缩阈值。以上所提阈值计算简单，故得到了广泛的应用，但它们对小波系数有“过扼杀”的趋势，从而会导致较大的重建误差。与全局阈值不同，局部阈值主要是通过考查在某一点或某一局部的特点，在根据灵活的判定原则来判定系数是噪声还是信号，以实现去噪和保留信号之间的平衡，而且这些判定原则有时并不一定是从系数的绝对值来考虑的，而是从别的方面。例如从概率和模糊度方面来考虑，Vidakovic等人利用信号系数和噪声系数在不同尺度中分布的不同特征，在Beyes框架下结合假设经验给出了一个阈值公式，并以此来对小波系数进行硬阈值处理。 时至今日，阈值选择方法的研究仍在进行当中，仍有新的阈值公式不断提出，但通常阈值是根据实际应用的需要，通过确定合适的准则，并通过对可能的阈值进行寻优来选择。2. 小波收缩函数的选取在收缩去噪中，阈值收缩函数是对系数的几种不同处理策略，以及不同的估计方法。阈值收缩函数总体上可以分为两种：一种为硬阈值函数；二为软阈值函数。硬阈值是将绝对值小于阈值的小波系数置为零，而将绝对值大于阈值的小波系数不加任何处理给予保留。硬阈值能取得较好的去噪效果，但由于其收缩函数是不连续的，所以在含有丰富图像中会产生许多“人为”噪声。软阈值算法是将绝对值大于阈值的小波系数不是完全保留而是作收缩处理。软阈值函数是一个连续函数，它能较好地克服硬阈值去噪带来的“人为”噪声。但这种算法减少了绝对值大的小波系数，造成一定的高频信息损失，从而导致了图像边缘的模糊。总的来说硬阈值方法可以很好的保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真；而软阈值方法处理结果则相对平滑的多，但是软阈值方法可能会造成边缘模糊等失真现象。 相对于阈值收缩法来说，比例收缩有更大的灵活性，从某种意义上说，可以认为阈值收缩法是比例收缩法的一种特例。比例收缩法的特点在于它具有对于信号的某一局部的适应能力。Shark等人针对小波阈值收缩中，统一阈值倾向于“过扼杀”，而SURE阈值倾向于“过保留”小波系数的特点，给出了一个隶属函数，然后将两个阈值之间的系数按照隶属度进行了收缩，并得到了好的效果。而Malfait等人则通过将图像一般不存在孤立边缘点的先验知识与小波图像Hoilder指数相结合，利用Bayes估计理论给出了小波系数“主信”的概率，并以此来进行比例收缩，从而消除了由噪声引起的伪边缘。 投影法的原理是将带噪信号以一种迭代的方式投影到逐步缩小的空间。由于最后的空间能更好地体现原信号的特点，所以投影法也能够有效地区分噪声和信号。投影法主要包括Matching Pursuits和MCD(Multiple Compact Domain)或POCS(Projection Onto Convex Set)法两类。其中Matching Pursuits10法通过指定一族小波函数，并将带噪声信号向此函数进行投影，接着对残差投影，并循环反复，直到残差最后达到一定条件。而MCD和POCS法同Matching Pursuits法很相似，也是基于投影原理，只不过信号的投影空间有所不同(如果利用小波，则一般为Besov空间的凸集)。Demoment指出，POCS法可以用来解决函数空间的凸集的逆问题，而Prakash和Moulin以带噪信号硬阈值收缩信号为迭代起点，并利用POCS法来求解由信号的两个小波变换所规定凸集的交集，最后完成去噪。类似的研究还有Choi等人的研究，需要指出的是POCS法并不局限于小波函数展成的空间。相关法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往具有很强的相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关性或不相关性的特点来进行去噪的。例如XU等人提出了一种SSNF(Spatially Selective Noise Filter)11方法，该方法是利用相邻尺度小波系数的相关程度来进行去噪，即通过将相邻尺度同一位置系数的相关量来构成相关图像，做适当的灰度伸缩后再同原来的小波图像进行比较，其中较大的相关量被视为边缘等图像特征，而被抽取出来，并作为原信号小波变换估计，然后经过反变换得到去噪后的图像。因为SSNF是一个迭代方法，迭代的终止规则是看剩余系数的能量是否接近于噪声能量，所以噪声方差的估计在这一方法中显得非常重要。于是Pan Quan等人作了一些改进，此处，John等人则将矢量编码和Bayer估计结合起来，利用全局非空间适应Bayer估计得到带噪声信号的粗糙去噪图像，然后利用矢量编码来获得更精细的信号估计。2.3 本章小结本章讨论了小波变换的噪声滤除问题。首先给出了噪声分类，并论述了传统信号噪声滤除的方法，如空域滤波，中值滤波，维纳滤波，低通滤波器等，并引出了小波滤噪的优势，由此给出了方法简便不依赖于傅里叶变换的第二代小波变换滤噪的特点，结合一定的图像滤波器算法，给出了更加有效的小波滤波方法。并用软件编程具体实现了对噪声图像的处理。利用小波变换和传统的方法分别对图像进行滤噪，两种滤噪后的图像比较结果是，小波变换滤噪后图像有较高的峰值信噪比和细节信噪比，较好地保存了图像的细节信息，取得了很好的视觉效果。对小波变换后小波系数进行适当运算，可实现图像的边缘增强或模糊处理。第3章 小波分析基本理论3.1 小波变换基本理论80年代，在应用数学调和分析领域出现了一种崭新的分析方法：小波分析(Wavelet)。同时，Grpscmann和J.Morlet在谐波分析领域独立地研究了这一方法，并将它成功地应用在地震信号分析中。然而，由于当时这一方法不够成熟，因此一直受到数学家的质疑。后来，I.Daubechies完美地构造了一系列平滑、紧支撑和正交的小波基。与此同时，S.Mallat在多分辨分析和塔式算法的基础上创建了著名的快速算法(Mallet算法)，并将其利用在子带编码中。至此，小波分析又重新引起数学家和工程人员的高度重视。接着，数学家们很快就建立起了完整的小波分析理论框架。另一方面，在工程领域利用小波分析方法也迅速建立起时频分析理论。如今，小波分析已经广泛地应用于数学理论、信号分析、图像处理和分析、模式识别及通信系统等领域。 小波变换是一种信号的时间-尺度(时间-频率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresolution Analysis)12的特点，而且时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。3.1.1 连续小波变换 设表示平方可积的实数空间，其傅里叶变换为。当满足以下允许条件： (3.1)时，我们称为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为： (3.2)式中分别为伸缩因子和平移因子。 对于任意的函数ELZ(R)的连续小波变换(Continuous Wavcaet Transform)为： (3.3)其逆变换为： (3.4)3.1.2 离散小波变换 在实际运用时，需将连续小波变换离散化处理一是信号(时间序列)本身是离散情况，如，则式(3.3)的离散形式为： (3.5)另一种情况是将尺度参数和平移参数离散化，即取，其中，则的离散小波变换为： (3.6)当时，上式变为二进小波变换： (3.7) 3.1.3 二进小波变换为了使小波变换具有可变换的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变和的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即，每个网格点对应的尺度为，而平移为。由此得到的小波： (3.8)称为二进小波。 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大值。因此在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。 二进小波不同于连续小波的离散形式，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。3.1.4 多分辨分析Meycr于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制收缩与平移构成的规范正交基，由此使小波得到真正的发展。1988年S. Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析(Multi-Resolution Analysis)13的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将此之前的所有正交小波基的构造方法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换在经典傅里叶分析中的地位。3.1.5 Mallat算法设有多分辨率分析，尺度函数为的正交基础，为正交小波。由双尺度方程可以证明： (3.10)其中。该式表明，可以由分量通过冲激响应为的滤波器滤波后在抽样而得到的。同理： (3.11)其中。该式表明，分量可以有分量通过冲激响应为的滤波器滤波后在抽样而得到的。从而分辨率为的分量可以分解成分辨率为的离散逼近和细节分量，其分解方法如下图所示。 ，。， ，。，图3.2 Mallat算法分解示意图 (3.12)该式表明，分辨率为的离散信号近似表示可由低一级分辨率的分量和来重构。其实现框架如图3.3所示：Mallat小波分解算法每次对图像滤波完成后，都对得到图像(近似部分和细节部分)进行采样率为2的向下采样，因此这种小波变换也称为包含采样率变化过程的经典小波变换。另外，还存在一种对滤波后的图像不进行采样的小波变换，即不包含采样率变化的冗余小波变换，其实现算法是atrous算法14。用该算法来对图像进行分解和重构，均是在小波滤波器系数之间插入(为分解层数)个零，然后类似Mallat算法，用插入零值后的小波滤波器对图像进行分解和重构。图3.3 Mallat 算法重构示意图它也是针对Mallat算法存在的一定的缺陷被提出的。缺陷主要有：1. 不具有位移不变性(shift-invariance)15，即线性相位特征，容易引入虚假信息，如振铃(ringing)和混叠(aliasing)现象。产生原因主要是由变换中固有的抽取和插值操作引起的，抽取使得频率时间域的不确定性，即当对信号的频率成分很确定时，对信号发生的时间就不确定了，从而导致小波系数高度依赖于他们在子采样网格中的位置，一旦输入波形发生小的位移，就会引起小波系数较大的变化，在不同分辨率层的能量分布也会发生较大变化，使重构波形发生变形。针对某些具体应用例如在融合图像序列以及原图像未能精确配准的情况下对该特性的要求尤为关键。2. 由于在每个分解层数据量都减少，不可能逐层跟踪图像中重要的特征，所以按单个像素进行分析是不可能的。3. 二进分解使得融合受限于分辨率为2的倍数的源图像。3.1.6 图像的小波变换 图像是二维信号，二维多分辨分析与一维情况类似，但是空间变成了，一维中引入的尺度函数变成了。设是的一个多分辨率分析，则可以证明，张量空间 (3.13)构成的一个多分辨分析，并且二维多分辨率分析的二维尺度函数为： (3.14)式中是的尺度函数。 上式说明了二维尺度函数的可分离性。对于每一个，函数系构成的规范正交基，这里下标的含义是 (3.15)我们称称为的可分离多分辨率分析。因为都是低通的尺度函数，所以是平滑的低通空间。如果是一维多分辨率分析的正交小波基，则二维多分辨率分析的三个小波函数为 (3.16)对于每一个它们的整数平移系为： (3.17)它们构成了的规范正交基。因以上的三个正交基中都至少包含一个带通的或，所以他们都是带能的。也就是说，这三部分反映的都是细节信息。具体说来，函数系 (3.18)是的正交归一基，其中均为整数，分别对应水平、垂直和对角三个方向。对于任意一个二维图像信号，在分辨率下有：