平面与直线方程.ppt

7.4 平面与直线方程,一 平面方程的各种形式二 直线方程的各种形式三 平面直线间的夹角及相互关系,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,已知平面的法向量为,设平面上的任一点为,必有,1 平面的点法式方程,且过点,一 平面方程的各种形式,平面的点法式方程,解,所求平面方程为,化简得,例1 求过三点,和,的平面方程.,由平面的点法式方程,2 平面的一般方程,法向量,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,坐标面；,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,例2 求过点,，且垂直于平面,和,的平面方程.,设平面为,所求平面方程为,解,例3 设平面过原点及点,且与平面,垂直，求此平面方程。,设平面为,将三点坐标代入得,解,例4 设平面与,三轴分别交于,（其中,求此平面方程.,代入所设方程得,平面的截距式方程,轴上截距,轴上截距,轴上截距,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,例5 求平行于平面,坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.,而与三个,所求平面方程为,则据题意有,解,例6 设,是平面,外一点，求,到平面的距离.,空间直线可看成不平行两平面的交线,1 空间直线的一般方程,二 直线方程的各种形式,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,2 空间直线的对称式方程,设直线过点,方向向量为,为直线上任意一点,直线的对称式方程,（点向式）,（标准式）,令,解,所求直线的方向向量为,所求直线方程为,3 空间直线的参数方程,，则有,例8 将直线,解,化为对称式与参数式方程。,直线的方向向量为,解得,因此得到直线上一点,直线的对称式方程为,参数方程为,解,所以交点为,所求直线方程为,例9 一直线过点,且和,轴垂直相交，,求其方程.,定义,（取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,1 两平面的夹角,三 平面直线间的夹角及相互关系,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,直线,直线,两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（取锐角）.,两直线的夹角公式,2 两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,3 直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,例10 设直线,平面,求直线与平面的夹角.,解,例11 求过点,且与直线,则,，又,，因此有,：,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,4 平面束方程,定义：通过定直线的所有平面的全体称为平面束。,(3),，但是方程(3)不包含平面(2)。,解,过已知直线的平面束方程为,所求平面过点,所求平面方程为,例12,求过直线,和点,的,平面方程。,即,所以,即,例13,求直线,在平面,上的投影直线方程。,解,过已知直线的平面束方程为,即,所以,所求投影直线方程为：,由于它和平面 垂直，,