二次函数自学导学案(全章).doc

二次函数自学导学案（全章）第一课一、 什么是二次函数？提出问题：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。设售价降低x元时的利润为y。请用含x的代数式表示y。并求出自变量x的取值范围。观察思考：以上解析式中含有几个自变量？它们都是几次多项式？二次函数定义：形如_的函数叫做x的二次函数，_叫做二次函数的系数，_叫做一次项的系数，_叫作常数项练习: 1.下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x1 (2)y=4x21 (3)y=2x33x2 (4)y=5x43x1二、二次函数的图像和性质：问题：画函数图像分为那几个步骤？（一） 二次函数y=ax2（a0）的图象和性质：做一做,画一画：在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?请观察所画图像回答：函数y=ax2（a0）的图象是一条_,它的对称轴是_,顶点坐标是_.当aO时，抛物线y=ax2开口向_，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当x0时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=0时，函数值yax2取得最_值，最_值是_.当aO时，抛物线y=ax2开口向_，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当x0时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=0时，函数值yax2取得最_值，最_值是_.练习：1、 分别说出函数y=4x2与y=-3x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。（二） 二次函数yax2k的图象特征和性质：画一画：同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2x21的图象；解：列表：x3210123yx2yx21根据图像回答以下问题：问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y2x21和y2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 问题4：你能由函数y2x2的性质，得到函数y2x21的一些性质吗?函数y2x21的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_画一画：在同一直角坐标系中画出函数y-2x22与函数y-2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?根据图像回答以下问题：问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y-2x22和y-2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 问题4：你能由函数y-2x2的性质，得到函数y-2x22的一些性质吗?函数y-2x22的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_1、函数yax2k的图象特征和性质：函数yax2k的图象是一条_,它的对称轴是_,顶点坐标是_.当aO时，抛物线yax2k开口向_，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当x0时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=0时，函数yax2k取得最_值，最_值是_.当aO时，抛物线yax2k开口向_，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当x0时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=0时，函数yax2k取得最_值，最_值是_.2、函数yax2k的图象可以由抛物线yax2向上或者是向下平移_个单位得到。练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象， yx2，yx22，yx22观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。第二课（三） 函数ya(xh)2的图象和性质：能在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2(x1)2的图象吗?试一试。解：列表:x3210123y2x2y2(x1)2问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y2(x1)2和y2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 问题4：你能由函数y2x2的性质，得到函数y2(x1)2的一些性质吗?函数y2(x1)2的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_探究二：问题7：在同一直角坐标系中画出函数y-2(x+1)2与函数y-2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y-2(x+1)2和y-2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 问题4：你能由函数y2x2的性质，得到函数y2(x+1)2的一些性质吗?函数y2(x+1)2的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_1、函数ya(xh)2的图象特征和性质：函数ya(xh)2的图象是一条_,它的对称轴是_,顶点坐标是_.当aO时，抛物线ya(xh)2开口向_，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当xh时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=h时，函数值ya(xh)2取得最_值，最_值是_.当aO时，抛物线ya(xh)2开口向_，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当xh时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=h时，函数值ya(xh)2取得最_值，最_值是_.2、函数ya(xh)2的图象可以由抛物线yax2向左或者是向右平移_个单位得到。练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，yx2，y(x1)2和y(x1)2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。（四）函数y=a(xh)2k的图象和性质：探究一：你能填写下表吗?y=2x2 向右平移1个单位y=2(x1)2向上平移1个单位y=2x21向右平移1个单位，再向上平移1个单位y=2(x1)21开口方向向上对称轴y轴顶 点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x1)21与函数y=2(x1)2、y=2x2图象的关系吗?问题3：通过把函数y=2x2向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y=2(x1)21观察图像，你能发现函数y=2(x1)21有哪些性质?函数y=2(x1)21的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_猜想函数y=-2(x+1)21的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_总结探究结果，归纳出：1、函数y=a(xh)2k的图象特征和性质：函数y=a(xh)2k的图象是一条_,它的对称轴是_,顶点坐标是_.当aO时，抛物线y=a(xh)2k开口向_，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当xh时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=h时，函数y=a(xh)2k取得最_值，最_值是_.当aO时，抛物线y=a(xh)2k开口向_，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当xh时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=h时，函数y=a(xh)2k取得最_值，最_值是_.2、函数y=a(xh)2k的图象可以由抛物线yax2向左或是向右平移_个单位再向上或是向下平移_个单位得到。列表归纳：开口方向对称轴顶点坐标性 质yax2y=ax2ky=a(xh)2y=a(xh)2k三、反馈练习：已知函数y2x2、y2(x3)23和y2(x3)23。(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y2x2得到抛物线y2(x3)23和抛物线y2(x3)23；(4)试讨沦函数y2(x3)23的性质；第三课一、 二次函数yax2bxc（a0）的图象和性质：问题：1你能说出函数y4(x2)21图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2函数y4(x2)21图象与函数y4x2的图象有什么关系? 3函数y4(x2)21具有哪些性质? 4不画出图象，你能求出函数yx2x的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 5你能画出函数yx2x的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?解：列表如下：x2101234y (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数yx2x的图象。说明：(1)列表时，应根据对称轴，以对称轴为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。观察函数图象，得到这个函数的性质： 函数yx2x的性质：开口方向是_，对称轴是_,顶点坐标是_;当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_思考：如何用配方法求函数yax2bxc（a0）的对称轴和顶点坐标。试一试。1、函数yax2bxc（a0）的图象特征和性质：函数yax2bxc（a0）的图象是一条_,它的对称轴是_,顶点坐标是_.当aO时，抛物线yax2bxc（a0）开口向_，在对称轴的左边(当x<_时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当x_时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=_时，函数y=a(xh)2k取得最_值，最_值是_.当aO时，抛物线yax2bxc（a0）开口向_，在对称轴的左边(当x<_时)，曲线自左向右_,函数值y随x的增大而_;在对称轴的右边(当x_时)，曲线自左向右_，函数值y随x的增大而_;当x=_时，函数yax2bxc（a0）取得最_值，最_值是_.2、函数yax2bxc（a0）的图象可以由抛物线yax2向左或是向右平移_个单位再向上或是向下平移_个单位得到。列表归纳：a0开口方向对称轴顶点坐标性质yax2y=ax2ky=a(xh)2y=a(xh)2kyax2bxc三、应用检测：1填空：(1)抛物线y2x24x8的开口_，顶点坐标是_；(2)抛物线yx22x4的对称轴是_；(3)二次函数yax24xa的最大值是3，则a_2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y2x28x8 (2)yx24x33求二次函数ymx22mx3(m0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。二、二次函数y=a(x-x1)(x-x2) （a0,且x1、x2是二次函数与x轴交点的横坐标），这种形式叫二次函数的交点式，它的对称轴是x=(x1+x2)/2,顶点坐标是（(x1+x2)/2， ）应用：求出函数y=-3(x+2)(x-4)的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性。三、用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的三种形式：1、一般式是：_;2、顶点式：_；3、交点式：_.问题1：已知一个二次函数的图象经过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点，求这个函数的解析式。（有几种方法求出该二次函数的解析式，你认为那种方法最简单？）问题2：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线yax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D为抛物线上一点，使得AOD与OBC的面积相等，求D点坐标。思考：选择适当的方法求下列二次函数的解析式，并简要说明理由；1、 已知抛物线经过（2，-1），（3，1）（0，5）三点，求其解析式；2、 已知抛物线的顶点是（-1，4）且经过点（1，2），求其解析式；3、 已知抛物线经过点（1，-2），且当x=2时，y有最大值5，求其解析式；4、 已知抛物线与x轴交于点（-2，0），（4，0），且经过点（3，2），求其解析式。5、 已知抛物线经过点（3，0），且当x=2时，y有最小值-3，求其解析式。6、 已知抛物线经过坐标原点，且点（-2,3）和（1,5）也在改抛物线上，求该抛物线解析式。方法总结：1、若题目告知的是一般的三个点的坐标，就直接带如一般式求解； 2、若题目明确告诉了顶点坐标或能从题目中挖掘出顶点坐标，就用顶点式简单； 3、若题目明确告诉了抛物线与x轴的两交点坐标或能从题目中挖掘出与x轴的两交点坐标，就用交点式简单；应用练习:1、某二次函数当x=1时，得最大值16，它的图象在x轴截得的线段长为8，求其解析式；2、 已知二次函数y=x2-2bx+c中，b2，函数最小值为3，它的图象过点M（2，4），（1） 求函数解析式；（2） 画出这个函数的大致图象（不要求列表）；（3） 问经过原点O，且与抛物线y=x2-2bx+c只有一个公共点的直线有几条？试分别写出这些直线的解析式。3、如图，抛物线yax2bxc过点A(1，0)，且经过直线yx3与坐标轴的两个交点B、C。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OMBC，垂足为D，求点M的坐标。第四课一、 用函数的观点看一元二次方程：问题1：根据函数yx2x3/4的图象，回答下列问题：(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y0?这里x的取值与方程x2x0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?从“形”的方面看，函数yx2x的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2x0的解；从“数”的方面看，当二次函数yx2x的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2x0的解。结论：更一般地，函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2bxc0的解；当二次函数yax2bxc的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2bxc0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。思考：函数yax2bxc的图象与x轴交点情况怎么确定？当_时，抛物线yax2bxc与x轴有两个交点；当_时，抛物线yax2bxc与x轴有一个交点；当_时，抛物线yax2bxc与x轴有0个交点；问题2：某班学生在作业中出现了争论：求方程x2x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2x30，画出函数yx2x3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数yx2和yx2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标和2就是原方程的解提问：1. 这两种解法的结果一样吗? 2小刘解法的理由是什么? 3函数yax2和ybxc的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子 加以说明? 4，函数yax2和ybxc的图象的交点横坐标一定是一元二次方程ax2+bxc=0的解吗? 5如果函数yax2和ybxc图象没有交点，一元二次方程ax2+bxc=0的解怎样?运用： 已知抛物线y12x28xk8和直线y2mx1相交于点P(3，4m)。 (1)求这两个函数的关系式； (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。练习：1. 你有哪些方法可求出方程x2x60的解？2你有哪些方法可求出方程组、的解？ 3填空。 (1)抛物线yx2x2与x轴的交点坐标是_，与y轴的交点坐标是_。 (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_。 4已知抛物线y1x2xk与直线y2x1的交点的纵坐标为3。 (1)求抛物线的关系式； (2)求抛物线yx2xk与直线y2x1的另一个交点坐标 5已知抛物线yax2bxc与直线yx2相交于(m，2)，(n，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x3，求函数的关系式。二、用函数观点看一元一次不等式：问题：根据函数yx2x3/4的图象，回答下列问题：(1)当x取何值时，y0?当x取何值时，y0? (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?结论：(1)从“形”的方面看，二次函数yax2bxc在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2bxc0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标即为一元二次不等式ax2bxc0的解。(2)从“数”的方面看，当二次函数yax2bxc的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bxc0的解集；当二次函数yax2bxc的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bcc0的解集。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。练习：已知函数yx2x2。 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定：x取什么值时，y0，y0；y0。三、二次函数yax2bxc图像与二次项系数a、一次项系数b、常数项c的关系：1、抛物线与y轴的交点坐标是_，所以当抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上时，则c_0（填或)，当抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上时，则c_0（填或);2、因为抛物线的对称轴是_，所以若抛物线的对称轴在y轴的左边，则a、b_（填同号或异号），所以若抛物线的对称轴在y轴的右边，则a、b_（填同号或异号）；3、因为抛物线yax2bxc与x轴交点的个数由一元二次方程ax2bxc=0的解的个数确定，所以若抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac_0（填或或=)，所以若抛物线与x轴有一个交点，则b2-4ac_0（填或或=)，所以若抛物线与x轴有0个交点，则b2-4ac_0（填或或=)。4、若抛物线经过坐标原点，则_=0；若抛物线的顶点式坐标原点，则_=0且_=0;若抛物线关于y轴对称，则_=0.5、当x=1时，y=a+b+c, 当x=-1时，y=a-b+c; 当x=2时，y=4a+2b+c, 当x=-2时，y=4a-2b+c;所以观察x=1、-1、2、-2时所对应的图像上的点在轴的上方或下方，就可以判断a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c的正负。应用：xyO3-1第1题图1、如图为二次函数的图象，在下列说法中：；方程的根为，；当时，随着的增大而增大正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）-1Ox=1yx2题图图2、已知二次函数（）的图象如图5所示，有下列4个结论：；其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个3题图3、小明二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：；，你认为其中正确信息的个数有（ ）A2个B3个C4个D5个4、一个函数的图象如图，给出以下结论：（第4题）当时，函数值最大；当时，函数随的增大而减小；存在，当时，函数值为0其中正确的结论是（ ）ABCDO第5题图5已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）复习巩固知识回顾：1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系： yax2bxcya(x)22、抛物线的交点式与顶点式的互化关系：yax2bxcya(x3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动： 巩固练习：一、填空。 1若二次函数y(m1)x2m22m3的图象经过原点，则m_。 2函数y3x2与直线ykx3的交点为(2，b)，则k_，b_。 3抛物线y(x1)22可以由抛物线yx2向_方向平移_个单位，再向_方向平移_个单位得到。4用配方法把yx2x化为ya(xh)2k的形式为y_，其开口方向_，对称轴为_，顶点坐标为_。 5. 如果一条抛物线的形状与yx22的形状相同，且顶点坐标是(4，2)，则它的解析式是_。 6开口向上的抛物线ya(x2)(x8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ACB90°，则a_。 7已知抛物线yax2bxc的对称轴为x2，且过(3，0)，则abc_。二、选择。 1函数y(mn)x2mxn是二次函数的条件是( ) Am、n是常数，且m0Bm、n是常数，且mn C. m、n是常数，且n0D. m、n可以为任意实数 2直线ymx1与抛物线y2x28xk8相交于点(3，4)，则m、k值为( )A BC. D. 3下列图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是( ) 4如图(1)，二次函数yax2bxc图象如图所示，则下列结论成立的是( ) Aa0，bc0 B. a0，bc0 C. aO，bcO D. a0，bc0 5已知二次函数yax2bxc图象如图(2)所示，那么函数解析式为( ) Ayx22x3 B. yx22x3 Cyx22x3 D. yx22x3 6若二次函数yax2c，当x取x1、x2(x1x2)时，函数值相等，则当x取x1x2时，函数值为( ) Aac B. ac Cc D. c 7已知二次函数yax2bxc图象如图(3)所示，下列结论中： abc0，b2a；abc0，abc0，正确的个数是( ) A4个 B3个 C. 2个 D1个 三、解答题。 已知抛物线yx2(2m1)xm2m2。 (1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点， (2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示) (3)设ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。