《阶微分方程》PPT课件.ppt

第二节 一阶微分方程,一、可分离变量的方程,二、齐次方程,三、线性方程,四、全微分方程,一、可分离变量的方程,的形式称为可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程的解法：,如果一个一阶微分方程能写成.,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,2、典型例题,的通解。,即为所求的通解。,解：略,解：略,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,令,从而化为可分离变量方程,1.定义,二、齐次方程,例 4 求解微分方程 的通解,解 原方程可化为,此为齐次方程，因而令：,分离变量，得,两边积分得,原方程的通解为,一阶线性微分方程的标准形式:,称 为 齐次线性方程.,称 为非齐次线性方程,三、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）,齐次线性方程 是可分离变量方程，,1.齐次线性方程的解法,分离变量后得,2.非齐次线性方程的解法（常数变量法）,将齐次线性方程通解中的常数,换成函数,(8),代入方程（6）得,即,.,或,两边求积分得,.将上式代入(8)式得一阶非齐次线性方程的通解的公式,(9),上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数,变易为函数,，而后再去确定,方程的通解.这种解法顾名思义称为“常数变易法”.,或,(10),，从而得到非齐次,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程一个特解,解,例5,先求与原方程对应的齐次线性方程 的通解.,即,分离变量得,两边积分得,从而,再由常数变易法可设原方程的解为,代入原方程得,化简得,两边积分得,于是原方程的通解为,.,.,3.贝努里(,)方程,形如,的方程称为贝努里方程.,(13),贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把(13)改写为,从而有,(14),.,于是，只要令,，方程(14)就化为线性方程,它的通解可由公式(10)给出，再利用变换,就可得方程(13)的通解.,例6 求解方程,.,解：原方程可改写为,(15),.,.,它是一个贝努里方程，,作变换,则方程(15)变为,根据公式(10)得,因此原方程的通解为,.,.,.,四、全微分方程,如果方程,(16),的左边是某一个函数的,的全微分，即,(17),则称方程(16)是全微分方程（又称恰当方程）.,容易验证，方程(16)是全微分方程的充要条件为,其通解为,.,.,根据(17)式，函数,必须满足方程组,(18),因此，,(19),再由(18)第二个等式得,从而,两边对,积分便可求出,，将其代入(19)就得方程(16),的通解,.,.,例7 求解方程,解:,得,故方程为全微分方程.,由,.,.,从而,于是,可取,因此原方程的通解为,.,