《机理分析模型》PPT课件.ppt
,第五章 机理分析建模法,机理分析方法立足于揭示事物内在规律,机理分析是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.,的认识来源对现实对象,*与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.,*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设).,模型特点：有明确的物理或现实意义,5.1 微分方程的建立,实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程,建立变量能满足的微分方程,？,哪一类问题,在工程实际问题中,*“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.,关键词“速率”、“增长”“衰变”，“边际的”，常涉及到导数.,建立方法常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,建立微分方程模型时,应用已知物理定律，可事半功倍,例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.,一.运用已知物理定律,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数k 0，m=18.求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得c=42，k=,最后得,T(t)=18+42,t 0.,结果：T(10)=18+42=25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,二.利用平衡与增长式,许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.,利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系.,续例2.3 人口增长模型,对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.,在很短的时间段t 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：,t时间内的人口增长量=t内出生人口数t内死亡人口数,+t内迁入人口数t内迁出人口数,t时间内的净改变量=t时间内输入量t时间内输出量,般化更一,基本模型,不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.,输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；,输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.,此类建模方法的关键是,分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立,例 战斗模型 两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：,1.预测哪一方将获胜？,2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？,3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？,模型建立：,设 x(t)t 时刻X方存活的士兵数；y(t)t 时刻Y方存活的士兵数；,假设：1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.,2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵；,3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；,t 时间内X军队减少的士兵数=t 时间内Y军队消灭对方的士兵数,平衡式,即有 x=ayt,同理 y=bxt,三.微元法,基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.,例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.,对孔口的流速做两条假设：,1t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h(t).,2 整个放水过程无能量损失。,分析：,放空容器,？,容器内水的体积为零,容器内水的高度为零,模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即,S孔口横截面积（单位：平方厘米）,h(t)水面高度（单位：厘米）,t时间（单位：秒）,当S=1平方厘米，有,h(t),h+h,在t，t+t 内，水面高度 h(t)降至h+h(h0),容器中水的体积的改变量为,V=V(h)V(h+h)=h3(r12+r22)o(h)r2ho(h),r1,r2,令t 0,得,dV=r2 dh，（2）,比较(1)、(2)两式得微分方程如下：,积分后整理得,0h100,四.分析法,令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.,基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.,（独家广告模型）广告是调整商品销售的强有力的手段,广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？,分析 广告的效果,可做如下的条件假设：,*1.商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；,*2.商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；,*3.选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：,建模 记 S(t)t 时刻商品的销售速度；,M 销售饱和水平，即销售速度的上限；,（0）衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.,直接建立微分方程,称 p 为响应系数，表征A(t)对 S(t)的影响力.,模型分析：是否与前三条假设相符？,假设1*,市场余额,假设2*,销售速度因广告作用增大,同时又受市场余额的限制.,改写模型,
