涂荣豹★教学生学会思考—解题教学.ppt

教学生学会思考,南京师范大学 涂荣豹13805183730,基 本 理 念,一、教育的 科学发展观,教育的大目标是“培养人”教育科学发展观的核心培养什么样的人！“国家的教育方针”是什么？培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。社会主义人的 社会属性，社会责任，国家，民族；人类，历史；现在，未来。劳动者用自己的劳动为社会创造价值，为自己获得利益。条件(德、智、体)全面发展；,是什么？,打基础,教育的 科学发展观 全面发展,条件(终身学习)可持续发展。,使学生充满对学习的热情爱学 充满 好奇心,求知欲,学习兴趣,探求世界的积极态度；教师应该尽最大努力爱护,培养和激励学生的学习热情。使学生学会学习会学 掌握学习的方法，学会 自己独立地获取知识；掌握科学研究的方法，学会从不知开始，一步一步 地 达到问题的核心，直至最终的构建和解决。发展学生的认识力 对世界(客观世界和主观世界)各种事物的认识能力。科学的视角，创造力，想象力，洞察力，判断力，预见力。,教育的科学发展观可持续发展,教育的科学发展观数学教育价值观,核心问题为全面发展、可持续发展作出什么样贡献数学的核心价值发展人的思维使人变得更聪明,掌握知识不是最终目的发展认识力才是教育的最大目标知识是会忘记的，留下来的是教育。爱因斯坦 这个留下来的教育是什么？就是人的认识力。培根说：知识就是力量。爱因斯坦说：想象力比知识更重要。知识重不重要？重要！知识 生活的基本常识，专业发展的基础。知识 通向认识力的必经之路，没有知识，认识力的发展就要落空。相对而言，发展认识力比掌握知识更重要。发展人的思维，使人更聪明数学具有的特殊力量。,二、数学教学的“二重对应”原理,教与学对应原理 教师的教 建立在 学生的学 基础之上。教与数学对应原理 克服 教师教育中“去数学化”的倾向，克服 课堂教学中“活动脱离数学”的倾向。,教学的内容与数学知识对应教学的知识结构与数学知识结构对应教学情境与数学对象的本质对应教学的思维方法与数学思维方法对应教学中的研究方法与数学研究方法对应教学中的表达方式与数学的表达方式对应教学中把握数学核心概念，教数学的“大方法”,教学生学会思考解 题 教 学,南京师范大学 涂荣豹13805183730,一、教学的首要任务教“怎样思考”,经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了。”什么原因？你老师没有把“让他自己会做”的方法教给他。首先是解决“你是怎么想到的”？然后解决怎样让他也想到？好的教师“想给学生听”，“想给学生看”。差的教师做给学生看，或 让好学生做给差学生看。教大多数学生能想到的方法“教育效法自然”(卢梭)。教本原的方法，有“技巧”也要教技巧怎么想出来的。如求 1+2+3+100，要想高斯怎么会想到“首尾相加”的?而不是仅学习“首尾相加”这一操作。教“怎样思考”，“怎样才能想到”是数学教学的首要任务。,二、解题教学教学生“学解题”,学生的主要任务并不是解题，而是“学”解题教师教的重点和学生学的重点，不在于“解”而在于“学解”。,作为,关注,“解”出发点,解题的结果,“学解”出发点,思路的寻找,作为,关注,学解题,为了,学解一类题,笛卡儿名言 我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解其它问题。,“理解题意”解题学习第一环节解题第一位的是理解题意，但它却往往被学习者所忽视。善于解题的人用一半时间理解问题,只用另一半时间完成解答学生不能很好解题的最重要原因，没有树立重视理解题意的意识，没有养成理解题意的良好习惯，更没有掌握如何理解题意的方法。,遇到一个陌生的问题，怎么去想？如何着手解题?如何“从无到有”地寻找思路，由“所有”探索“所无”,如何着手解题？如何理解题意？,三、“从无到有”地寻找思路,四、着手解题 的 启发性提示语,1)它是一个什么问题？它要求(证)的是什么？什么范畴的问题？“盯着目标”求(证)什么?2)现有哪些材料？题设中的条件 3)有哪些工具？已经学过的 相关概念、命题、公式 和 方法 4)还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？5)如何运用这些 条件 和 工具？6)是否还有条件没有利用？如何利用？,这些思考，不是 文字的简单浏览 和 思想上的一掠而过，是深究每一个对象的意义、性质，不同对象的关系,特别 能否转换 为其它的意义、关系.这些思考并不是孤立进行，是贯穿在上述所有问题思考之中。这是用于着手解题的最基本的思考方法，但不是万能的方法。,如何深究？如何转换?,理解题意 的 启发性提示语,它是什么？如何表示？还能如何表示？(转换)它有什么性质？如何表示？还能如何表示？它们有什么关系？如何表示？还能如何表示？由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？,如何深究？对题意深究,如何转换？将形式转换,教学生寻找解题思路 就要提供 有效的指导思维操作的策略,解题的启发性提示语 正提供了 有效的指导思维操作的程序。,“它”每一个句子，名词，概念，关系，表达式，符号，符号的上标下标，图形，图形中的点线面，等等。,已知函数 f(x)=(a0)是偶函数，求 a.,它是一个什么问题？函数问题。求什么？求a。已有什么材料？条件是什么？理解题意逐一搞清楚：“它”是什么？怎么表示？还能 f(x)是什么？与自然对数、分式有关的比较复杂的函数。,f(-x)=f(x),“偶函数”是什么?f(-x)=f(x)。,f(-x)是什么?还能怎么表示?,a 是什么?,a 是参数,a0。,a=1,a0,若 3a=0.618,ak,k+1,kZ.则 k=.,a-1,0,k=-1,k,k+1是什么?,求值问题，求 k，区间左端点。,是什么问题?求什么？,3a=0.618 是什么?,数学符号,抽象符号具体化,相邻整数区间,幂；当 a=？时 3 a=0.618,3k 3a 3k+1,ak,k+1是什么?,kak+1,-1a 0,3a,30,3-1,它能推出什么？,1/3=0.33,3a=0.618,1=30,还能推出什么？,基本策略,反比例函数y1=(3-k)/x(x0)和一次函数y2=kx+m(k,m常数,且k1)的图像交于A,B两点。已知 A,B 横坐标是1和4.(1)使y2y1的x的取值范围是;(2)求两函数的具体表达式；(3)求AOB的面积。着手解题：这是什么问题？求什么？,理解题意：“使 y2y1”是什么(意思)？直线y2在曲线y1的上方部分,即线段AB；在A,B的横坐标之间，已知A,B 横坐标是1和4，(2)求具体表达式就是求k,m,(3)AOB的面积怎么表示？设AB交x轴C(5,0)，它们的底和高是什么？是A,B的坐标(1,4),(4,1)。,(1)求 x 的取值范围；,“底乘高除以2”？不通.,还能怎么表示？,能求出 SAOC和 SBOC 吗?,SAOB=SAOC-SBOC，,得SAOB=15/2。,将 y1,y2联立方程组,解得 k=-1,m=5;,函数及其图像的问题。,使 y2y1。,这部分x取值范围是什么？,还能怎么表示？,恰好是 1x4；,有什么要求？,图形表示。,着手解题：它是什么问题？求什么？理解题意：A,B在第二象限,是什么？点C(-1,0)还能怎么表示？B点横坐标是a，则a=OP,2CP=CP=a+1。解：|OP|=OC+CP，所以|OP|=PC+OC=(a+1)/2+1=(a+3)/2，得-|OP|=-(a+3)/2。,如图A,B在第二象限,点C(-1,0),以C为中心作ABC位似图形ABC，且把边长放大2倍。B横坐标是a,则B的横坐标是().(A)-1/2(B)-(a+1)/2(C)-(a-1)/2(D)-(a+3)/2,求 B点的横坐标。,CB=2CB。,直角坐标系里的位似图形问题。,B的横坐标是-(a+3)/2，选D。,A,B横坐标是负的。,OC=1。,能不能求出|OP|？,由 2CP=CP=a+1,有CP=(a+1)/2；又OC=1；,还能怎样表示？,B的横坐标=-|OP|。,边长放大2倍是什么？,过B,B作x轴垂线，垂足P，P，,B的横坐标是什么？,例题 已知A,B是椭圆 上两点，F1 是左焦点,若|AF1|+|BF1|=12a/5(),AB中点到左准线距离3/2,求椭圆方程.,它是什么问题？求什么？解几题,求椭圆方程,实际求a.A,B 怎么表示？设A(x1,y1),B(x2,y2).此椭圆有什么性质(基本量)?长半轴为a;b=3a/5;c=a;式是什么?是A,B到左焦点F2 距离之和.AB中点怎么表示？还能怎么表示?x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2.,有哪些材料？理解题意。,M 到左准线距离还能怎么表示?M到左准线距离横坐标作差.x0+5a/4=3/2.,设M(x0,y0).,左准线怎么表示?左准线方程:x=-a2/c,画图,=-5a/4,e=c/a=.,用中点公式：,(又表示中点),椭圆第一定义:|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a.椭圆第二定义:前已得左准线方程 x=-5a/4 由A点有:|AF1|/(x1+5a/4)=e=,化简得|AF1|=x1+a 由B点有:|BF1|/(x2+5a/4)=e=,化简得|BF1|=x2+a 这些结论有什么关系?可推出什么?得|AF1|+|BF1|=(x1+x2)+2a 还有什么条件没有用上？已知|AF1|+|BF1|=12a/5 得(x1+x2)+2a=12a/5,化简得 x1+x2=a/2 前已得中点M 的x0两种表示：x0=(x1+x2)/2,x0+5a/4=3/2,得 x1+x2=3-5a/2 得 3-5a/2=a/2,解得 a=1.椭圆方程是.,有哪些工具？怎么表示？,着手解题：这是什么问题？求什么？(2)求P点坐标；函数 y图像的顶点B及点A怎么表示?由(1)容易得 B(-2,0)，A(0，1)。圆O与AB相切于B,可推出什么？PBAB。连接PC，BPC+CBP=90，即BCP=90，由此可推出什么？,已知函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点。(1)求a；(2)设函数y图像顶点是B，与y轴交点是A，图像上任一点P；圆O以PB为直径，与AB相切于点B，交x 轴另一点C，求P点坐标；(3)设点C关于PB的对称点是点M，试问M是否在函数y图像上？如果在，求出M点坐标；如果不在，说明理由。,得 a=0,或a=1/4.,理解题意,(1)求系数a；,还能推出什么？,二次函数图像与圆的综合问题。,RtBPCRtABO；,且ABO=BPC；,可得BC:PC=AO:BO=1:2,怎么求？,BC:PC=AO:BO=1:2,P坐标怎么表示?BO=2,得 P点坐标是(-b-2,2b).P点在函数y 图像上,P点坐标代入函数式,函数值=纵坐标,即得 2b=(-b-2)2+(-b-2)+1,解得 b=8,b=0(舍去).,得 PC=2BC.,CO=BC+BO.,(3)M是否在函数y图像上？M点坐标代入函数式,函数值=纵坐标.作C,M关于PB对称,过M,Q作x 轴垂线,垂足为D,E;易知 RtBPC RtABO RtBCQ RtBQE RtQCE由(2),相似比是1:2,所以EQ=16/5,将14/5代入(1/4)x2+x+1,得 144/5,画图,则E是CD中点.,它是什么(意思)?,则PB垂直平分CM于Q,Q是CM中点.,怎么求M点坐标？,要求M,先求出Q.,M在函数y图像上,它是什么(意思)?,则CE=2QE=4BE;,BC=8,BC=5BE,得BE=8/5;,OD=CD-CO=14/5,MD=32/5,CD=64/5;,M(14/5,32/5).,所以M不在函数y图像上.,32/5.,设BC=b,则CP=2b,CO=b+2,得 P(-10,16).,先求CO,2011年江苏省高考第13题解题教学,设 1=a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列，a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是.,它是一个什么范畴的问题?求什么?是一数列问题，奇数项是等比数列偶数项是等差数列,求公比q最小值.,理解题意每一个句子,名词，表达式，符号，符号的上标、下标，,1=a1a2a7,a1=1，其它各项递增不减；,它表示什么?,1=a1a2 a7，它还能怎么表示？具体化。1a2qa2+1q2a2+2q3还缺少什么？a2 有什么性质？q 有什么性质？要 q 最小，代入，有 3q3，,缺少a2 和q;,1=a1a2；,得 q,1=a1a2,1a2q,须a2最小，,则 a2=1.,1a2q,q1,a2,a4,a6成等差数列,公差为1它还能怎么表示？a2，a4=a2+1，a6=a2+2；,a1,a3,a5,a7成等比数列,公比q它还能怎么表示？a3=a1q=q，a5=q2，a7=q3；,2012年江苏省高考第14题解题教学,南京师范大学 涂荣豹,着手解题：它是什么问题？求什么？理解题意：5c-3ab4c-a 能推出什么？可推出 5c-3a4c-a，5c-3ab，b4c-a。得 2ac，ac/2。b/a？得 a/c ln(b/c)，令(b/c)=x，得 b/a=x/lnx；令 y=x/lnx，xe 时，lnx1，y=(lnx-1)/ln2x0；xe 时，lnx1，y=(lnx-1)/ln2x0。x=e 时，lnx=1，y取最小值，y=x/lnxe。,已知正数a，b，c，且 5c-3ab4c-a，clnba+clnc，那么b/a的取值范围是.,由不等关系，求取值范围的问题。,求 b/a 的取值范围。,b/a 是什么？还能怎么表示？,e，7,代入 b4c-a，得 b7c/2。进而 b/a7。,clnba+clnc 能推出什么？,推得 aclnb-clnc=cln(b/c)，,b/a=(b/c)/(a/c)(b/c)/ln(b/c)。,易知 b/c1，lnx0。,y=(x/lnx)=(lnx-1)/ln2x，,(lnx-1)/ln2x=0 解得 x=e。,把b/c视为整体。,得 b/a=ye。,用它可以表示b/a？,能推出b/a表达式吗？,2011年江苏省高考第12题解题教学,南京师范大学 涂荣豹,已知 P 是函数 f(x)=ex(x0)图像上的动点，过 P 点的切线 l 交 y 轴于点 M,过 P 点垂直于 l 的直线交 y 轴于点 N.设 MN 中点的纵坐标为 t，求 t 的最大值.,P是函数 f(x)=ex(x0)图像上的动点,题意追问每一个句子,名词,表达式,符号,符号的上标,下标,图形,及图形的点，线，面。,它是一个什么问题？求什么？,是关于函数 y=ex 的,与图像切线有关的最值问题；求线段中点纵坐标 t 的最大值.,函数 f(x)=ex(x0)图像,它是什么(意思)？,P 是曲线上的动点过 P 点的切线 l1 交 y 轴于点 M，过 P 点垂直于 l1 的直线交 y 轴于点 N，,画图,图像的右半支,MN 中点纵坐标 t。,P 是曲线上一点；,P点 怎么符号表示？,过P点的切线l1，切线方程：y-y0=k1(x-x0),是切线 l1斜率，,还能怎么符号表示？,k1还能怎么表示？,先求出 函数 f(x)=ex 的导数 f(x)=ex,x=x0代入,得 y0=f(x0)=ex0,k1=f(x0)=ex0,把y0=ex0,k1=ex0代入 y-y0=k1(x-x0),得切线 l1方程：y-ex0=ex0(x-x0).,过P 垂直于l1的直线l2，,还能怎么表示？,直线 l2 的斜率是 k2=-k1-1=-e-x0，直线 l2 的方程为，y-ex0=-e-x0(x-x0)。,线段 MN 中点纵坐标 t怎么表示？M,N点坐标怎么表示?设M(0,yM)，N(0,yN),yM,yN 怎么表示？,由 l1方程，令 x=0得 yM=ex0-x0ex0；由 l2方程，令 x=0得 yN=ex0+x0e-x0.,t=(yM+yN)，P是动点,t(x0)=2ex0+x0(e-x0-ex0)t(x0)=ex0+x0(e-x0-ex0).,(中点公式),图形语言,符号语言,设P(x0,y0),除了图形表示,还能怎样表示?,k1是什么？,导数,盯着目标 求什么？,求 t(x0)的最大值,怎么求？,求极值点:由 t(x0)=0,求x0=?,t(x0)=ex0+x0(e-x0-ex0)t(x0)(求导)=(e-x0+ex0)-x0(e-x0+ex0)=(e-x0+ex0)(1-x0)，由于e-x0+ex00，所以 1-x0=0，得 x0=1.当 x0=1 时,t(x0)取得极值.,要证明取得 最大值，怎么证明？考查x0=1附近 t(x0)单调性：当x0(-,1)时,t(x0)0;t(x0)在(-,1)单调增.当x0(1,+)时,t(x0)0;t(x0)在(1,+)单调减.所以,当x0=1时,t(x0)取得最大值：t(x0)max=t(1)=(e-1+e).,注：这部分基本是运算操作，是基本技能,牢固掌握十分必要。,接下来做什么？,=0,2011年江苏省高考第19题解题教学,已知：a,b是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f(x)和g(x)分别是 f(x),g(x)导函数,若f(x)g(x)0在区间I 上恒成立,就称f(x)与g(x)在I上单调一致.,它是一个什么问题？求什么?是多项式函数代数证明题,与导函数性质有关;(2)求区间长度|b-a|的最大值.,(1)b是什么?导函数 f(x)和g(x)怎么表示?f(x)=3x2+a 和 g(x)=2x+b;f(x)g(x)0 是什么?具体化.,得(3x2+a)(2x+b)0,即(3x2+a)(2x+b)0 在 I 上恒成立.这句话是什么(意思)？即在-1,+)中任取一个数代入,不等式都成立.取特殊值 x=-1 代入,得(3+a)(-2+b)0,(3+a)？(b-2)？得 b-20,b2.即,b是 g(x)常数项.,(1)a0,求参数b的取值范围;,具体化看一看。,由此可推出什么?,由a0,知 3+a0;,b2,+),理解题意，逐一追问：它是什么?怎么表示?具体化.理清楚写下来.,(1)设a0,I=-1,+),求 b 的取值范围;,(2)设a0,ba,I是以 a,b 为端点的开区间,求|b-a|的最大值。,I是a,b为端点开区间.表示什么?区间I 开的,a,b为左右端点,不定.(3x2+a)(2x+b)0 在Ia,b恒成立.,(2)求区间长度|b-a|的最大值.,现a0,那b是什么?b0?b0?不妨先假设一种情况.设b0,由 a0,b0,得 ab0b0,则b为右端点.有什么性质?在(a,b)上 f(x)g(x)0 恒成立,具体化,推出什么结论?取特殊值.取0(a,b),则 f(0)g(0)0,得 f(0)g(0)=ab0,与矛盾。即 b0不可能,所以 b0.,a0,b0,I(-,0.(负半轴)此时 f(x),g(x)有什么性质?x0,则 g(x)=2x+b0 那 f(x)有什么性质？即是 f(x)0？还是f(x)0呢?因 f(x)在零点两侧异号,所以先求零点：x=?时,f(x)=0.f(x)=3x2+a=0,解得x=(零点)点C(-,0)是(-,0上分段点;分段点表示什么？(-,0被分两段.,|b-a|的最大值是什么意思？即 a,b的最大值与最小值的差.,若-x-(C为右端点)则 f(x)0;(如图)由得,f(x)g(x)0,不满足 f(x)g(x)0.若-x0(左)，则 f(x)0,由式得,f(x)g(x)0;(满足条件)所以(-,0 为左端点.这个结论还表示什么(意思)?同时有 a、b-.,已得结论 g(x)=2x+b0.,a-,则 a2-a/3,解得-a0;b-,得 b-,即-b0;于是|a-b|,且当a=-，b=0时等号成立。,当a=-，b=0时，任取x-,0),即-x0，代入,得 f(x)g(x)=6x(x2-),x0，x2-0,f(x)g(x)0.所以|a-b|的最大值为。,在Ia,b上f(x)g(x)0恒成立.,证明了必要性,要证充分性,将代入,六、培养学生良好的读题习惯,1要求学生解题时先反复读题。2要求学生用自己的语言反复叙述问题。3要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。4要求用不同的表达方式反复叙述问题。5要求解释题中各个名词的意义(用概念思考)，包括每个符号 的含义(用符号表示)，每句话的含义(换一种说法或表述)。6要求尽可能画一张图。7要求尽可能对每个名词,每个符号,每句话换一种表示。8要求把看不懂的符号或表达式具体化。(抽象符号具体化)9要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的 表达形式。10要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。,七、培养学生寻找解题思路,数学解题的启发性提示语要在“用”上下工夫数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展 看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。必须在运用提示语的过程中学习提示语，在“用”中学，只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力。对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平。教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用。教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到。教师首先自己一定要坚持用，用给学生看，学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然,然后是,八、理解题意是一种重要的探索活动,“理解题意的启发性提示语”是一种元认知提示语 是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考。启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现，而不是代替学生去探索和发现。所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动。波利亚：“问题的求解比起问题的明确表达来，就常常不需要那么多的见识和独创了。”可见，理解题意，明确表达问题是需要较多见识和独创的。说明，理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的。所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养。教学生“理解题意的启发性提示语”，就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考。,数学特色的教学设计原理,1.“教学生学会思考”的新授课原理;2.“运用研究问题一般方法”的原理;3.“问题结构推进教学”的原理(“问题解决问题解决”结构);(每课提出问题说，化新授课为解题教学说，课堂问题结构说)4.“创设情境，提出问题”的原理;5.“从无到有探究”的原理;(引导式探究，发现式探究；教师引导策略，学生探究方式)6.“由远及近启发”的提示语原理;(元认知,方法论,认知性提示语)7.“归纳先导，演绎跟进”的原理;8.“反思性教学”的原理(回顾，追问，反诘);9.“以理解题意为核心”的解题教学原理;(“学解新问题”的解题教学)10.“教师是教学向导主角,学生是探究活动主体”的原理.,理念：教育的科学发展观数学教学的“二重对应”原理,教学生学会思考,南京师范大学 涂荣豹13805183730,新 授 课 教 学,谢 谢 大 家,2011年江苏省高考第20题解题教学,设数列an的 首项 a1=1，前 n 项和为 Sn。已知 对任意整数 k,当 nk 时，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立。,这是一个什么问题?要求什么?数列问题,与数列前n项和有关;,a2=2,a3=4,a4=6,a5=8.,nk,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)().(1)中,()式表示什么？具体化.k=1,n1,有Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)还可怎么表示?Sn+1Sn(SnSn-1)=2S1=2a1=2，还能怎么表示?得 an+1-an=2，表示什么？相邻两项之差是2，即公差=2.,nk,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)()(2)中，这个()式表示什么？n4,有Sn+3+Sn-3=2(Sn+S3)还能怎么表示?改变n有什么结果？有 S(n+1)+3+S(n+1)-3=2(S(n+1)+S3)即 Sn+4+Sn-2=2(Sn+1+S3)n5，Sn+4+Sn-4=2(Sn+S4)中途结论有什么关系？,(1)求数列第5项;,(2)求通项公式.,(1)设k=1,a2=2，求a5的值；,(2)设k3，4,求数列an的通项。,如 nn+1会怎么样?,移项,组合.,项的关系具体化.,有什么关系？具体化。-,n4,an+4-an-3=2a4它表示什么？还能怎么表示?改变n有什么结果?(nn+1?)由，有a(n+1)+4-a(n+1)-3=2a4 即 an+5-an-2=2a4-,an-2+an-3=2(an+1-a4)-,an+5-an+4=an-2-an-3+，得 an+4+an-2=2an+1还能怎么表示？即 an+1-an-2=an+4-an+1,Sn+3+Sn-3=2(Sn+S3)Sn+4+Sn-2=2(Sn+1+S3)Sn+4+Sn-4=2(Sn+S4),由具体化,设 n5,a3-a2=d1a4-a3=d2a5-a4=d3a6-a5=d4a7-a6=d5a8-a7=d6a9-a8=d7a10-a9=a3-a2=d1=d8 a11-a10=a4-a3=d2=d9a12-a11=a5-a4=d3=d10a13-a12=a6-a5=d4=d11a14-a13=a7-a6=d5=d12,由具体化,设 n4a5-a2=a8-a5a6-a3=a9-a6a7-a4=a10-a7 a8-a5=a11-a8a9-a6=a12-a9a10-a7=a13-a10a11-a8=a14-a11,如何用它们?还缺少什么?d1=d7=d两组式子下标有什么关系？a5-a2=a8-a5是什么?看(),尝试,尝试,再尝试.,+,+,可推出什么?,(),(),d1+d2+d3,d4+d5+d6,d7+d1+d2,d3+d4+d5,d1+d2+d3=d4+d5+d6d2+d3+d4=d5+d6+d7 d3+d4+d5=d6+d7+d1d4+d5+d6=d7+d1+d2d5+d6+d7=d1+d2+d3d6+d7+d1=d2+d3+d4d7+d1+d2=d3+d4+d5,解方程组由得 d3=d7:d1=d4,:d2=d5:d3=d6,得d3=d6=d7代入:d2=d3=d5=d6=d7代入:d5=d1=d4,从而d1=d2=d3=d4=d5=d6=d7=dan等差数列,首项a2.,由 an+5-an+4=an-2-an-3=d，n=4时，得 a9-a8=a2-a1=d，即an为等差数列,首项a1，通项公式为 an=1+d(n-1).缺d=？怎么求？什么条件可利用？仅有 Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)()()式还能怎么表示?下标间什么关系?各项能否重新组合?由(),(Sn+k-Sn)-(Sn-Sn-k)=2Sk,具体化.k=3时,(Sn+3-Sn)-(Sn-Sn-3)=2S3，还能怎么表示？每个Si 能否具体化？an+3+an+2+an+1-an-an-2-an-1=2S3，还能怎么表示？各项能否重新组合?(an+3-an)+(an+2-an-1)+(an+1-an-2)=2S3，三个括号内分别表示什么？具体化。,还缺少什么？,an+3-an=3d，an+2-an-1=3d，an+1-an-2=3d，得 9d=2S3；k=4时，(Sn+4-Sn)-(Sn-Sn-4)=2S4，(an+4-an)+(an+3-an-1)+(an+2-an-2)+(an+1-an-3)=2S4 an+4-an=4d，an+3-an-1=4d，an+2-an-2=4d，an+1-an-3=4d;得 16d=2S4。将 9d=2S3 与 16d=2S4 联立方程组，解得,a4=7d/2，a3=5d/2，a2=3d/2，a1=d/2=1;an=1+2(n-1)=2n-1。所以an的通项公式为：an=2n-1.,对题设条件很少的问题一反复运用已知条件，二反复寻找各式关系，三反复联想怎么表示，四反复做符号具体化，五反复尝试坚持不懈。,寻找关系的补充提示语中途结论有什么关系？能否将它们重新组合？下标之间有什么关系？能找相邻两项关系吗？改变 n 会有什么结果？,得 d=2，a2=3。,如图，O为正方形ABCD中心，DBC的平分线交CD于E，延长BC 到点F，使CF=CE，连接 DF 交 BE 延长线于G，连接OG。(1)求证：BCEDCF；(2)OG与BF 有什么数量关系？(3)若EGBG=4-2，求正方形ABCD的面积。,(2)由(1)得FDC=FBG,易得FGB=90,BG 既是角平分线 又是高，得BD=BF，DG=FG；则 OG是中位线，OG:BF=1:2。(3)求什么？设正方形边长BC=x，ABCD面积=x2.EG是DEG的一边，BG是BDG的一边；,(1)明显；略。,DEG与BDG 有什么关系？都是直角三角形，DEGBDG；相似三角形有什么性质？EG:DG=DG:BG，得 DG2=EGBG；则 DG2=EGBG=4-2.,ABCD的面积怎么表示？,EG，BG是什么？,怎么求边长x？,求正方形ABCD面积。,利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，包括过程中出现的新对象，要一个不漏。那么在理解题意的同时，基本上就能得到问题的解法。对提示语的掌握也有一个从不会到会,不熟练到熟练的过程,只要坚持，不断领悟，就能产生明显的效果。,知道了DG有什么好处？那又有什么好处呢？CDF是Rt，如求出CF即可求出CD(x)。能求出CF 吗？CF2+CD2=DF2，得(BF-BC)2+CD2=(2DG)2，由勾股定理 得(x-x)2+x2=4(4-2)2解得 x2=4.,就知道 DF=2DG。,尝试尝试。,CF=BF-BC，,CD和DF在CDF中,又BF=BD=x，,正方形ABCD面积是4。,