中科大《线性代数与解析几何》讲义1空间解析几何.docx
第一章空间解析几何§1.1 直线与平面直线的方程A I_在向量空间中，过任意不同两点AB可作一条直线I。对于直线1上任意点 P,由于向量故有实数I使得A = t- A8。于是得到等式OP = OA +1- AB(1. 1)当t取遍所有实数时，等式(LI)给出直线1上的所有点。等式(1.1)称为直线1的 参数方程，非零向量A称为直线1的方向向量，而t称为参数。设点A的坐标 为(a"2,0,), A的坐标为(*,%),点P的坐标为于是直线1的参 数方程可写成坐 标形式X = a +y=a2+ U21z=a3+ Ugt 从方程(1.2)中 (1.2)消去参数t,则可得到直线1的点向式方程X - aiy - 32 Z -, (1.3)U) U2 U3§1.1.2点到直线的距离设直线1过点A,方向向量u,P为空间中任意一点。过点P作直线1的垂线，垂 足为B。于是，点P到直线1的距离.,-p., 1 u - AP. Iu X Apl/、BPl = API sin O= AP-u=- ._.(1.4)§1.13两直线的位置关系向量空间中的任意两条直线Il和12,它们可能共面(平行、相交、重合)或异 面。设Il过点Ml皿，3),方向向量U =,U2,U3); 12过点B(bi, &2, &3),方向 向量V= (vi,V2V3)。两条直线的点向式方程分别为“X - aiy - a2 z- a. X- by 赤 z - &3Ui U2 U3Vi V2 V3h与12共面的充分必要条件是U. KAB共面，即UXV-AB =O(1.5)11和12的方向向量U和V所夹的锐角或直角称为两直线11和12的夹角，.设点分别在h和12上，并且直线CD与1L12都垂直，直线CD称为两直线h 和12的公垂直线，公垂线段CD的长度ICDl称为两直线h和12的距离当h和12平行时，Ii和12的距离就等于点B到h的距离叵料。当h和12不平 行时，因为CD垂直于h和12,所以CDUx V, CD Z一在UXV方向上的 投影， UxV1 n, 1- A - I(16)CD=IllXVl(1 句§1.1.4 平面的方程在向量空间中，过任意一点M有唯一的平面n与给定的非零向量n垂直。对 于平面n上任意点P,都有M -1 n,即MP-n = O(1.7)反之，满足等式(1. 7)的点P一定在平面n上。等式(1.7)称为平面n的点法式方 程，非零向量n称为平面n的法向量，设点M的坐标为向机2,小n的坐标为 (n"2,n3),点P的坐标为(x,y,z),于是方程(1.7)可写成坐标形式m (x - m) + “2 (y - m2)+ «3 (Z - m3)= O(1.8)将方程(18)展开合并，又可得平面n的一般方程Ax + By + Cz + O = O(1. 9)其中 A=ni, B= «2, C = «3, D= " (num + m2<<2+ ?3"3)。§1.1.5 点到平面的距离设平面n的一般方程为Ax + By + Cz+ D= 0,法向量n二(A, B, C), M(XoM为平面n上任意一点，PAj,z)为空间中任意一点。过点P作平 面n 的垂线，垂足为Q。点P到平面n的距离iQj-pl = In MPl = IA(X-°) '4-%)'Czz°” 屋一一国,A2 + B2 + C因为点Q在平面n上，所以Ax。+ Byo+ Czo + D= 0,由此得向量空间中的任意两个平面ni和的，它们可.能平行、相交或重合。设两平面的一般方程分别为:Aix + Biy += Q,n : A2X + B2y Gz D - Oni的法向量IIi= (Ai, Bi, Ci)和的的法向量攻=4,尻C2)所夹的锐角或直 角均称为 两平面ni和的夹角当ni和in共线时，两平面平行或重合。若AJ喈=Cl - Dl则两平面平 行，若A=C1 =。则两平面重合。此时，平行平面m和的的距离就等于n2 上任意一点到平面ni的距离。当IIi和n2不共线时，两平面相交于一条直线L方程组J Aix 十 Biy 十 Ciz + Di= OA2X+ B?y + C2Z + D2 = O(Lll)也称为直线1的一般方程通过一条直线可以作无限多个平面，因此总是可以表示成为两个平面的交 线。由已如直线的点向式方程(1.3)(假设* = 0),可以很容易地写出直线U2XUiy + (Mia2庭(3)=0 的一般方程U3X Uiz+ (uia3-U3i) = 0由直线的一般方程(LIl)求直线的点向式方程，则应当首先求出方程组 (LII)的一个解即直线上的一个点(皿仙)和直线的方向向量U= n>X 8,然后代 入到点向式方程(1.3 )中。§1.2. 3中介绍了求两条异面直线Ii和12的距离的方法，现在给出求Ii和12的 公垂线1的方法。设直线Ii和12的方向分别为U和V,贝IjUXV为1的方向向量， Ii和1张成的平面ni具有法向量(IIXV) Xu, 12和1张成的平面力2具 有法向量 (uXv) XK于是可以先求出ni和n2的方程，1正是m和力2的交线。当然，也 可以先求出1在Ii,12上的垂足，然后求出1的方程。§1.1.7直线和平面的位置关系向量空间中的任意一条直线1和一个平面n它们可能平行、相交或直线在平 面上。设1的方向向量U= (ui,U2,U3)和力的法向量n-出仇。所夹的锐角或直角为则 F=2- ©= arcs in与带称为直线1和平面n的夹角。当U和n不垂直时，1和n有唯一的交点，可通过解线性方程组求得交点的 坐标。当U和n垂直时，若Aai Ba-2 Ca, 3 +。= 0,则1和n有公共点(a a2, a3), I 在 n 上；若 Aai + Ba” Cas + £> = 4则 I 和 n 平行。§1.2 空间曲线与曲面§1.2.1 曲线和曲面的方程Pa) = (x(t),y(t),z(t)(1.12)表示一条空间曲线，(L 12)称为该曲线的参数方程;P (stt) = (x (stt),y (s,t),z (sit)(1.13)表示一个曲面，(1.13)称为该曲面的参数方程；满足/ (x,y,z) = 0(1. 14)的点(x.y.z)的集合形成一个曲面，(LM)称为该曲面的-般方程；满足g(x, y，%)= °(1.15)的点(x,y,z)的集合则是两个曲面f (x,y z)=。和g(x,y,z)=。的交线，(1. 15) 称为该曲线的般方程.§1.2.2柱面由一族平行直线形成的曲面叫柱面，这些直线叫做柱面的母线柱面上与每 条母线都相交的一条曲线叫做柱面的一条准线，过准线上的各点作平行于母线方 向的直线，或者将一条母线沿着准线作平行移动，又或者将一条准线沿着母线作 平行移动，都可以得到柱面。-一般地，设母线的方向U = (*,%),准线的参数方程p(t) = (Pl(I) ,P2,P3)，则柱面具有参数方程(1. 16)P(s, t) = S U + p(t)§1.2.3 锥面由族经过给定点的直线形成的曲面叫锥面.这些直线叫做锥面的母线.那 个定点叫做锥面的顶点C锥面上与每条母线都相交的但不经过顶点的一条曲线叫 做锥面的一条准线.把准线上的各点与顶点用直线联结起来，就可以得到锥面。 TR地,设顶点“2仙)，准线的参数方程P(t)= (PI(D,p2(t),P3(。)，则锥面具有参 数方程(1.17)P (s, t) = (1 s) A + s p (t)设/ y, z)是一个齐次多项式，如果f (x,y, z) = 0,则对任意实数t都 有 fltx,ty,tz) = 0。因此，f (x,y, z) = 0在空间中表示一个顶点在原点的锥面。它与任 意不过原点的平面的交线都是它的一条准线。§1.2.4 旋转面由空间中的一条曲线Y绕着一条直线1旋转而产生的曲面叫做旋转面，丫叫 做旋转面的子午线，1叫做旋转面的轴。§1.3 二次曲面简介般方程为三元二次多项式，具有形式aLv2 + ai2xy + OiVcz + 哑寸+ a2iyz + az2 + aix + Chy + aj.的曲面称为二次曲面,常见的二次曲面有222L椭球面% + % + % = 1(a > 0,b > 0,c > 0)2222.单叶双曲面 % -C2= 1 (a > 0,b > 0,c > 0)225. 椭圆抛物面 Z= % (a>O.b>O)6. 双曲抛物面z= X2-局。0)双曲抛物直俗称马鞍面，可以被看作是OlyZ平面上的抛物线Z= -%沿 着。XZ平面上的抛物线Z= X平行滑动而成。7. 椭圆柱面2 + % = 1 (a > 0,b > 0)8.2 y2双曲柱面2 = 1 (> 0.b > 0)9.抛物柱面y2 = 2px (p> 0)
