数列的综合运用（新）.ppt

数列的综合运用,2014,高 考 热 点,对于本考点，高考重点考查数列通项的求法，与数列有关的不等式的证明以及数列的实际应用题数列的综合应用一般有四种题型：(1)等差、等比数列的综合题(2)数列与其他章节知识的综合题：包括数列知识和指数、对数、不等式、三角函数、解析几何等知识的综合(3)数列的探索性问题：探索性问题检验学生探索规律的能力，因此是高考热点，这类问题对学生分析问题，解决问题的能力有较高要求,热点回顾,(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润，工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决,1某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成()A511个B512个C1023个 D1024个解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为1，公比为2的等比数列模型，所以a10a1q929512.故应选B.答案：B,2数列an的通项公式是关于x的不等式x2xnx(nN*)的解集中的整数个数，则数列an的前n项和Sn()An2 Bn(n1)C.D(n1)(n2)解析：由x2xnx，得0 xn1(nN*)，因此ann，Sn 答案：C,3在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是_解析：由1，x1，x2,4依次成等差数列，得2x1x21，x1x25，解得x12，x23.又由1，y1，y2,8依次成等比数列，得 y1y28，解得y12，y24，P1(2,2)，P2(3,4)，,答案：1,4已知数列an的通项公式是ann2n(其中nN*)是一个单调递减数列，则常数的取值范围为_解析：由an1an(n1)2(n1)n2n2n10，得2n1，其中nN*，因此3.答案：3,5某市2008年底有住房面积1200万平方米，计划从2009年起，每年拆除20万平方米的旧住房假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2009年底和2010年底的住房面积；(2)求2028年底的住房面积(计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01)解：(1)2009年底的住房面积为1200(15%)201240(万平方米)，2010年底的住房面积为1200(15%)220(15%)201282(万平方米)，,2009年底的住房面积为1240万平方米，2010年底的住房面积为1282万平方米(2)2028年底的住房面积为1200(15%)2020(15%)1920(15%)1820(15%)201200(15%)2020 2522.64(万平方米)，2028年底的住房面积约为2522.64万平方米,转化思想解决递推数列问题例1在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)证明：不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立,解(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是以首项为1，且公比为4的等比数列(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以，数列an的前n项和Sn 所以不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立,拓展提升假设此题没有第(1)问，而只有(2)、(3)问摆在面前的问题是：如何转化得到一个新的等比数列下面介绍待定系数法待定系数法：由题可设an1A(n1)B4(anAnB)展开得an14an3An3BA.比较an14an3n1得由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，n1.数列ann为等比数列,数列与函数、不等式的综合应用,分析对于第(1)(2)问直接利用函数的相关知识解决；第(3)问可采用放缩法证明,拓展提升本题是把函数与数列，以及不等式结合在一起的题目，前两问是函数问题，第(3)问中，把数列引入，得到数列 是等差数列，这是问题的关键，在对不等式证明的时候，主要应用了放缩法，技巧性很高，也是不等式证明中最难的一种方法对不等式证明时，采用了分类讨论的思想，特别是对n1时的分析，在解题时容易漏掉而导致错误,数列中的探索性问题（1）anxnyn，其中xn为等差数列，yn为等比数列（2）anxnyn，其中xn和yn都为等差数列（3）anxnyn，其中xn为等差数列，yn为等比数列（4）anxnyn，其中xn和yn都为等比数列 其中，正确的有（请填写相应的序号）,答案（3）,拓展提升本题构思新颖，有研究性学习的情境，解法一是通性通法，由Sn求an，再根据an的结构特征作出判断；解法二利用了选择题的特征，通过赋值ab，将问题特殊化，从而简化运算，这也是解选择题的常用技巧,图1中的(1)，(2)，(3)，(4)分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含_个互不重叠的单位正方形图1,解析：由图形知a2a141，a3a242，a4a343，a50a49449.相加得a50a14(12349)4 4900，a504901.答案：4901,数列的创新型问题例4古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：图2,他们研究过图2(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2(2)中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是_A289B1024C1225 D1378,分析由于命题只是要求从选项中选出既是三角形数又是正方形数的选项，所以首先应从选项中找到完全平方数，再检验它们是否满足三角形数即可解析由1024322,1225352知，有两个正方形数又三角形数的通项公式为an123n 由于17为质数，故不能分解成n(n1)的两数之积，故这个数不可能是三角形数，由 得n(n1)2352(255)(77)4950，此时n49，,由，得n(n1)23222210，由于n，n1一个为奇数、一个为偶数，故2210不可能分解为一个奇数一个偶数的乘积，此时无解于是，1225既是三角形数又是正方形数答案C拓展提升本题源于数学史料，其背景是古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形数及日本数学家提出的“角谷猜想”，本题既考查了考生的直觉观察能力，正确的运算能力，又彰显了数学文化，渗透了新课标的理念,对于数列an，若存在常数M，使得对任意nN*，an与an1中至少有一个不小于M，则记：anM，那么下列命题正确的是_A若anM，则数列an的各项均大于等于MB若anM，bnM，则anbn2MC若anM，则aM2D若anM，则2an12M1,解析：对于A，即若anM，an与an1中至少有一个不小于M，则数列an的各项不一定都大于M，错误；对于B，若anM，an与an1中至少有一个不小于M，bnM，bn与bn1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n值，则anbn2M不成立；对于C，若anM，数列各项的正负及M的正负不确定，则aM2不成立；则只有D成立，故选D.答案：D,1在解决数列综合问题时要注意以下方面(1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式与求和公式都看作自变量为正整数的函数(2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公式看作列方程的等量关系(3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等差数列或等比数列问题(4)用猜想与递推的思想去解决数学问题,2数列应用问题利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题在实际问题中，有很多问题都可转化为数列问题进行处理，如经济上涉及的利润、成本、效益的增减问题，在人口数量的研究中涉及的增长率问题以及金融中涉及的利率问题，都与数列问题相联系处理数列应用问题的基本思想与处理函数应用问题的基本思想是一致的,数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等差数列或等比数列模型)，然后利用相关的数列知识解决问题在建模过程中，首先要分析研究实际问题的对象的结构特点，其次要找出所含元素的数量关系，从而确定为何种数学模型解模的过程就是运算的过程，首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an，Sn，然后选用适当的方法求解最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解,