第四节平面方程.ppt

第四节 平面方程,一、平面的点法式方程二、平面的一般式方程三、平面的截距式方程四、两平面间的关系,一、平面的点法式方程,若向量n垂直于已知平面，则称向量n为平面 的法线向量.,若已知平面过点M0(x0,y0,z0)，且向量n=(A,B,C)为法线向量.可用向量运算建立平面的方程.,由两向量数量积的坐标表示法可得,方程(1)即为过点M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)为法线向量的平面方程.称为点法式方程.,例1 求过点(1,2,1)，且以n=(2,1,1)为法线向量的平面方程.,解 由平面的点法式方程可知，过点(1,2,1)，且以n=(2,1,1)为法线向量的平面方程为,2(x1)+(y2)(z+1)=0.,二、平面的一般式方程,若将平面的点法式方程变形并记 则可化为方程,Ax+By+Cz+D=0，(2),这表明过点M0且垂直于一已知向量的平面总可以表示为x，y，z的一次方程.,反过来，对于任给三元一次方程(2)，总有解x0，y0，z0，即有,Ax0+By0+Cz0+D=0.(3),式(2)减去式(3)，可得,即表明任何一个三元一次方程总表示平面.因此称式(2)为平面的一般式方程.,例2 研究平面Ax+By+Cz=0的几何特性.,解 注意到原方程等价于 A(x0)+B(y0)+C(z0)=0,这表示所给平面为过原点O(0,0,0)，且以n=(A,B,C)为法线向量的平面.,即Ax+By+Cz=0表示过原点的平面.,例3 研究Ax+By+D=0所表示平面的几何特性.,解 所给平面的法线向量n=(A,B,0).而z轴的方向向量为(0,0,1).,由两向量数量积的坐标表示法可得(A,B,0)(0,0,1)=A0+B0+01=0,可知n与z轴垂直.因此平面Ax+By+D=0平行于z轴.,特别当C=D=0时，平面Ax+By=0过z轴.,同理可知Ax+Cz+D=0和By+Cz+D=0分别表示平行于y轴和x轴的平面.,例4 研究平面Cz+D=0的几何特性.,解 易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴的方向平行.,同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面；By+D=0表示平行于Oxz坐标面的平面.,因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面的平面.,例5 求过x轴，且过点(1,1,1)的平面方程.,解 设过x轴的平面方程为By+Cz=0.,例6 已知空间中的点M1(2,0,1)，M2(1,1,1)，M3(3,2,1)，求过这三点的平面方程.,解法1 设n为所求平面的法线向量.由于M1，M2，M3在 所求平面上，因此,解法2 可以利用平面的一般式方程，设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0.由于平面过点M1，M2，M3.因此这三点的坐标必定满足平面方程，即有,三、平面的截距式方程,设平面过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三点，下面研究平面的方程(其中a，b，c皆不等于0).,设平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0.,由于M1(a,0,0)在平面上，,因此 Aa+D=0,将A，B，C代入所设的平面方程并化简可得,即为所求方程.称为平面的截距式方程.称a，b，c为平面在x轴，y轴，z轴上的截距.,例7 若已知某平面在x，y，z轴上的截距分别为1,2,1，求这个平面的方程.,解 由平面的截距式方程，可知所求平面方程为,即 2x+y2z2=0.,截距式方程给出了平面与三个坐标轴的交点，因此，为了画出平面图形，将平面的一般式方程化为截距式方程，然后利用平面与三个坐标轴的交点确定该平面的图形.,例8 试画出平面3x+2y+6z12=0的图形.,解 先将所给平面的一般式方程化为截距式方程：,可知该平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为(4,0,0)，(0,6,0)，(0,0,2).所求平面即以此三点为顶点的三角形所在平面.,四、两平面间的关系,两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的夹角.,设两平面1，2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.,它们的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2)，,设这两个法线向量间的夹为，则由两向量的夹角余弦公式可知,这也是两平面夹角的余弦公式.,两平面平行的充分必要条件为,例9 设平面1，2的方程分别为 2xy+z7=0,x+y+2z11=0，求1，2的夹角.,解 1，2的法线向量分别为n1=(2,1,1)，n2=(1,1,2).由两平面的夹角公式有,故所给两平面的夹角,