第四节幂级数的应用.ppt

上节问题,幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数.,问题:,2.f(x)若能展开成幂级数,是什么?,3.展开式是否唯一?,1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?,7.4 幂级数的应用,7.4.1 泰勒级数,定理7.14 如果函数 f(x)在 x0的某一邻域,内具有任意阶导数,的幂级数,则其系数,且展开式是唯一的.,且在 内能展开成,证,即,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,所以,f(x)的展开式唯一的.,令 x0=x0,即得,则幂级数,如果函数 f(x)在 内有任意阶导数,称为 f(x)在点 x0处的泰勒级数.,特别地,当x0=0时,称幂级数,为函数 f(x)的麦克劳林级数.,记为,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)?,？,其中 介于x与x0之间.,若函数 f(x)在 x0的某邻域内有n+1阶导数,则,由泰勒公式:,(1),(1)式对任意的n 都成立,定理7.15 函数 f(x)在点 x0的泰勒级数,在 x0的,某邻域 内收敛于 f(x)的充分必要条件是:,当 f(x)在 x0 处有任意阶导数时,推理 设函数 f(x)在 内有定义,使得,恒有,则 f(x)在 内可展开成点x0的,泰勒级数.,若,1.直接展开法求函数 f(x)的麦克劳林级数,(2)写出泰勒级数,并求出收敛半径R;,7.4.2 函数展开成幂级数,则级数在收敛区间内收敛于f(x).,(1)求,(3)讨论,解,其收敛半径为,因泰勒公式的余项,(介于0,x之间),它满足不等式,例1 将 展开成 x 的幂级数.,对任一确定的,是处处收敛的幂级数 的一般项.,是确定的数,而,所以在 上恒有,于是,有展开式,或,解,或,例2 将 展开成 x 的幂级数.,且,解,例3 将 展开成 x 的幂级数.,称为牛顿二项式展开式,注:,双阶乘,当 时,有,利用已知函数展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,2.间接展开法,根据展开的唯一性,它与直接展开法得到的结果是一致的.,例如,注:利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.,例4 将 展开为 x 的幂级数.,解,而,两边积分,例5 将 展开为x的幂级数.,解,解,例6 将 的幂级数.,解,得展开区间,例7 将 展开为 的幂级数.,例8 将,解,解,等式两端求导,得,例9 将,于是,故,例10 将,解,常用已知和函数的幂级数,解,例11 求数项级数 的和.,7.4.3 幂级数在数值计算中的应用,如果一个函数可以用幂级数表示,这种方法有两大突出优点:,1.幂级数的前项和是多项式,对于数值计算而言是最简单的函数;,2.截断误差容易估计和控制,可以根据对计算精度的不同要求选择计算的项数.,取幂级数的前若干项和作为该函数的近似值.,我们可以,例12 计算,解,其误差(也叫截断误差)为:,而,例13 利用,解,其误差不超过,误差.,其误差为,的近似值,并估计,例14 计算,解,由于x=0是 的可去间断点,故定义,则它在0,1上连续.,展开 有,等式两端在0,1积分,得,因为,所以,取前三项作为积分的近似值,