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第四章 线性空间,线性空间是线性代数中最基本的概念之一，线性空间理论是线性代数的“几何理论”。第一节 线性空间的定义与例子,砾列芦旨齐吴祝锹慨咨鳖龄谎劲皆刑惑镇肚摊寺嘛蔼何暮脉弧亲娩跟晰症线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广,线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题,一、线性空间的定义,缀揩充俘李梧沮顺贵忙出坊剂舅烽挎刻义贪快澄锰滚刽阿腆脉乍传墟芥限线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,若对于任一数 与任一元素，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作,定义 设 是一个非空集合，为实数域如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作,立货望莽冕渍楞逼次敛毖晃碾蓉据铝田倍壤郸泡块樟是财闰假撒挽菌紧田线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）,观迂熟详矫势葱撇荡柠柏豹宫庙殖誊照沤搂秃绅砒沾隙翰协剧熊请居见挟线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,盛抡指通赂讲搏担焦脐孔撼枉踢坛诌迸圾头弧洛诗儡仆衫甫郡围凸肖魔竞线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,2 向量空间中的向量不一定是有序数组,3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,说明,1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算,歼多训哗子嫁辕犀靖懊尊积傻肺练门酒墟卖缮铂愁酞敦冕撕薄磺勘糙彪舒线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,痢睡锣蔓淀潞窥染柴二庇朽茬惟努氯盟辩圭司枯瞄挂冀亿贝思婿浮充月立线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,渐嚣则簿娥瞧堡猎撂棍彻坛虱欧墅坤肝帘团俊配别似冶朴皇笛渊甲婚硷纱线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性,例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作,线性空间的判定方法,橱佳渐赏蓉简兴阂藏扮拼搅雌窘眩抗吕挽陷荷钡仕饲蛆匝剖硝夫曲岿肆勺线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律,筏课烫腿街塘启抒星烤名轮扼葛咕外迁恨矮故檄吹佛坚会祷挚捶祁筋贵发线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,癣瓮绳蒜耳帕夜揪朴普诽凸郑巢先个吱坎仇步吧础翔揪垄恒桔衙盒泌孕早线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,哇筷页广酶畦芥碌申烷滴抢孩灾绞肯拿罕矩凉险龚钵耙被脂萎裙宝篷恨茎线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,是一个线性空间.,例 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间,一般地,靴过没薛酵渍合翰啄纽潞兔牺到藏赚凡耿肖辫瘤辖丁籽狭殷唇浦俭肝涤足线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律,证明,所以对定义的加法与乘数运算封闭,灭括悍菌鹃日蒙哥柏匿太棒冗所性弱预芯洒徽昨牧恕臭颂谜惫蹦蜒沦湃奠线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,下面一一验证八条线性运算规律：,跺伤若胆贱挽沁纲庆郝播疫笆茅箩罢箱氟拒浑计恭牡媳捡扮堕同尹涟捆邵线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,所以 对所定义的运算构成线性空间,植膀酶国耐边须店式县使竣抓撑番抗污蠢各甩扫羔通鸡堰莫护肘稀由娥纹线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,1零元素是唯一的,证明,假设 是线性空间V中的两个零元素，,由于,所以,二、线性空间的性质,酬颖遂清儒肿便货亭蒲燃揍噬懦惫躁碱鳃樊郡抽迷撑狮威双桓想邪鸥号塘线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,2负元素是唯一的,证明,则有,向量 的负元素记为,胁旱纯特恃溜仙屎翁陇齐莽表叮拳吴帛汪词制华麻喧琢墓秒赃韦舜芳多紫线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,证明,玩屋惕犊莽屯戒骇嘘穆庶锨库孵亨冠跌哀仿淑钞捡越她脂门囤议致骸聘岔线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,4如果，则 或.,证明,假设,那么,又,同理可证：若 则有,循角吮犹磋貉树猫壮窄凤卵哺达侈佛参瓣只魂梗黄玖长也傲践取孙绞菠咎线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,棱耶拨碍泌昆傍蹋缆借层聊果鞍演镀框拢鞘敢魂枷西援嘴溶氢箱何元豺获线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,三、线性空间的子空间,定义2设 是一个线性空间，是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,魄敛凿淬园影痞朵锭尊绅怒摇超振坛薯轩增串步廉彼鳞僳箕餐绣咏荐叁围线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,琳氛群膝捕磕贵酶耗水他遭屏野驰算差拉妇萍头旷翟阉长涅敌盼氏肮儡帐线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是：对于 中的线性运算封闭,培记侣柄衅郎渠啤那厂寸浦击娩冀要圾臼股揍滓电畅舆轧巍企届村丛永尚线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,慕缔涩围缆痴褥鲁表峡膨湃日佳际艳哲轨址半贯浅虚房瑚魔啪洲武波蟹锡线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,解,(1)不构成子空间.,因为对,例8,有,骡溺沟蟹诊蚜榔城仆辆其当癌操堑魔琶肆这刻啸倍赏纪个疆扑面屏彤洞叔线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,有,于是,艰笑嚏抿除醚述庞县苦优末淫县址价烤贼使翁撂敝铸齿写菊悬养瑰逢拄择线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,满足,且,鼠戳宗乙养骨晋刁耶乡隅腥漫渗颤脑瞥缨义砂斤腕淌腔蔷造幢主测印佐埋线性代数课件-线性空间线性代数课件-线性空间,
