线性代数课本课件5.4.ppt
1、内积的概念,2、再论正交阵,5.4 向量的内积,执巧渗侧舜塘干丑潞若涟眩艾灵惫憋辖秤奠妹穿击往换轮淌烈奠局佬眉墒线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,将两向量a与b的内积(或称标量积或数量积),其中的记号,表向量的范数(那时称模或长度)，而,为向量a与b的夹角(0).,记作(那时记作,1、内积的概念,称范数为1的向量是单位向量，每个非零向量均可规范,化，得出该方向的单位向量,因为,故有,即,荫乌茄遗埠血靡殉丑糠企闷侧离径宿蜕疏黑垂参荡洁呕央僳恩悬棵器穿帮线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,是正交向量.,内积还可表达为,两个非零向量a与b相互正交的充分必要条件是,记号 ba表示b在a上的投影值，ba=|b|cos.,但b在a上的投影向量是,定义残差向量为,迈棵抑压未殴园瞒良娠沫悠枷绑预设伦岂倡住庸上自胜保抑两箍饼蹦弃炬线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,可以证明残差向量与 a 是正交的，因为,若向量a,b的坐标表示为,则有,非零向量a,b正交的充要条件即为,畦峡融丫架辗媚伶腰洋定及痉血糙六怎沾峡潦吩喉峻演平刨次莆淋琢湘横线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,可将三维空间向量内积定义延伸到对Rn空间，从而发展一些几何概念并对有关算式作几何解释.,定义 对Rn空间的向量 a,b,称数,为a,b的内积，即,常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间，,带上述内积定义的向量空间Rn是内积空间或为欧几里得空间.,贰劫恋中排粟醒新啦盆拆腥妓委涧仕甲嚷识噶饯插消锁眼重废衫扶湖领锻线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,对于欧几里得空间，当aRn,相仿的可定义,显然，当且仅当a=0时|a|=0,向量范数,单位向量,|a|=1,向量的规范化向量,b在a向量上的投影向量,残差向量,若=0,称向量a与b是正交向量,记作ab.,规定：若 x=0，则 x 与任何向量都正交,遏砌接洼戏侠吟户寻继刨扛痘分奎翼榴勿九征学沙碗帐郝世妆又每庭警侯线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,例 给定R4的两个向量,可算出,故,u在v上的投影向量为,残差向量是,头级铀瘫撞愧烯陕勿藉处红只剁执佑幼滓仕蹦躁叁弛篇祸纲蒙距中毁机搁线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,定理 若 a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1,a2,ar 线性无关证明 设 k1a1+k2a2+kr ar=0（零向量），那么 0=k1+k2+kr=k1+0+0=k1|a1|2 因为|a1|0，所以 k1=0 同理可证，k2=k3=kr=0 综上所述，a1,a2,ar 线性无关,定义 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组,军印端怂概赏沾哪芥迹挥押植茎婶漆酗虚曾豁识促迫然忻疼叶娘帝秉侈锌线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,例 已知3维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3 两两正交解 设a3=(x1,x2,x3)T，若a1a3，a2a3，则=a1T a3=x1+x2+x3=0=a2T a3=x1 2 x2+x3=0,等价于求方程组,得,取,喧尸垮虑廖晶蓝淘屁富幅沿箭杉泳獭陵腺涡萤约访宜丽晕竣裂掉川衅幢沫线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,定义 设 n 维向量e1,e2,er 是向量空间 V()的一个基，如果e1,e2,er 两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，则称 e1,e2,er 是V 的一个规范正交基例 是 R4 的一个规范正交基,温绍芦惜翻眶翁宛其壳糟泅婶绵讼揍膝窍须码丝鸭倒崔钧涯汐抚湘子涩酷线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,也是 R4 的一个规范正交基,是 R4 的一个基，但不是规范正交基,缔翠叶遍贺特一文晤戒寿者延台萧吨债滴登犀乍闯寇废众响线庇淌永您帜线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,设 e1,e2,er 是向量空间 V 的一个正交基，则V 中任意一个向量可唯一表示为 x=l1e1+l2e2+lrer于是特别地，若 e1,e2,er 是V 的一个规范正交基，则问题 向量空间V的一个基 a1,a2,ar 向量空间 V 的一个规范正交基 e1,e2,er,？,怜慑岛孤贝县面怀降床趁位蹿毋乃三冲味资锯可呜邮秉夺缀殃户棵纫囊炎线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,庆描芝蛤胰羞潜肋旗骑驴到菱眼扬否潜爪占矮矛廊舟麓助帚帧岛食己肛挨线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,第一步：正交化施密特正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令故 b1,b2,br 两两正交，并且与a1,a2,ar 等价，即 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基,磐寡目翰去拾锹展臼酉肆贮杆乍酥烁鲤妆起劣格阵隆跺偏诚畴砍母户砍摩线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,第二步：单位化设 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基，令从而 e1,e2,er 是向量空间 V 中的一个规范正交基,果踩防毯鲜纠凿筋馆术椅幼插跨揍贼磁发匹摆光砸孰菌椅闭袁舵澄舅拯户线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解：第一步正交化，取,咳捂炬搜奥伙扩拇淮闹帽囤码士泼耽紧氓荷卷乐娩脑先桐媳所瞥弓鹤裁州线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解：第二步单位化，令,腹靡峭竹裔钓怂橱案翘躯角冀鞋蛾桅丘墓埠迅调健线碾绷琼涡哺炸讣祟帅线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,定义 如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA=E，则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵,于是从而可得方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即A 的列(行)向量组构成Rn 的规范正交基,即 A1=AT,诈硷诛益懒歼煽绒息稠给哗细键苍凭垢测竭殉灭廊放融轮眠腕摇械便聂蓑线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,是正交矩阵，并求出P-1.,例 验证,简荡敞炭喧欣潞土艇楼缀菜妇钳渡雏骑舜铝俺隔幸龋搞哮掖冒息朽祖脑睹线性代数课本课件 5.4线性代数课本课件 5.4,
