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函数教材分析映射 函数单调性奇偶性反函数一、 本章知识结构框图：补充教材变动部分映射与函数性质 指数指数函数指数与指数函数 函数对数对数函数 对数与对数函数 函数应用举例实习作业 教材变化要渗透到每一节，1、 哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。3、 变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。”二、 内容安排：函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。3、与指数相关内容对照学习对数的定义和运算法则，通过阅读材料了解对数的历史及作用；通过具体实例了解对数函数所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；对数函数与指数函数互为反函数，图象关于直线y=x对称，得到函数性质。4、为了加强数学的应用意识，以例题的形式介绍如何建立函数关系，解决应用问题，了解函数模型的广泛应用。三、 信息技术的应用：“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算的前提下，尽可能使用科学计算器、各种技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器进行探索和发现。”本章能使用技术呈现知识的地方比较多，以下教材分析中一一介绍。 四、 教材分析：2.1 映射表示法1、知识结构：区间无穷大 表示法映射原象与象一一映射2、教材分析与建议：（1）信息版本教学顺序是：区间映射函数，而普通版本教学顺序是：函数区间映射，若使用信息本，本小节计划一课时，讲区间与映射的概念及一一映射的概念。（2）教学重点是映射的概念；教学难点可能是如何理解映射的对应法则。（3）“区间”与“无穷大”的概念：区间是数学中常用的术语和符号，要求学生记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及含义。（a,b）、a,b、中数a和数b是区间的端点，一定是a<b，区间长度为b-a，应提醒学生以下两点：用小括号表示区间不包含端点值，用方括号表示区间包含端点值。区分点和区间，（1，3）既可以表示直角坐标系下的一个点，也可以表示区间，而（3，1）只能表示一个点。无穷大是个符号，代表的是一种趋势，不是一个数，所以用+和-作为区间的端点时只能用小括号。定义符号x|-<x<+(-,+)或Rx| xaa,+)x|x>a(a,+)x|x<b(-,b)x|xb(-,b)（4）映射：对应映射的概念象与原象一一映射简单应用。通过复习初中学到的对应和生活中对应实例，使学生对对应有直观印象，为学领会映射的本质提供基础。课本中提供有限集合之间的对应，如“求平方”“开平方”“求正弦”等，也可以数形结合，如实数a与数轴上的唯一的点p之间的对应，任意三角形与面积之间的对应等。通过分析课本中的四个对应，要使学生认识到：对应是两个集合之间的有方向的作用关系：对应分为三种类型：“一对多”、“多对一”和“一对一”。用对应的具体例子引出映射的概念，使学生明白：映射是一种特殊的对应。“多对一”和“一对一”的对应都是映射，而“一对多”的对应不是映射。映射的三要素：原象集A 、象集B和一个对应法则f。集合A、B既可以是数集，也可以是点集，或其他集合，映射是有方向的，f:AB 与f:BA不是一个概念。对于映射来说，A中的原象一定在B中有唯一的象与之对应，而B中的象不一定在A中有原象，若有，可以是一个或多个。一一映射是一种特殊的映射，既是单射也是满射，原象集与象集元素个数一样多，一一对应。用映射的思想解释生活中的看电影、查地图、编学号等实例。动手实践：映射：半圆.gsp和 一一映射.gsp（5）数学实验：映射：三角形.GSP 2.2 函数及表示法1、知识结构：定义域值域表示法函数 对应法则2、教材分析与建议：（1）本小节计划两课时，第一课时学习函数的概念，第二课时学习函数的表示法与函数图象。（2）本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念，对y=f(x)的理解，难点可能是函数的表示法。（3）函数的概念：函数的概念可以从以下不同角度引入： 问题引入：问题1：y=1是函数吗？问题2：y=x和y=是同一个函数吗？ 生活实例情景引入：排课表、上网费用、个人所得税、油耗与车辆行驶路程等，动手实践引入：用图形计算器画出具体函数的图象，如y=2x-1,任取点P，测出它的坐标（x,y）,拖动点P运动，观察点P横坐标与纵坐标的关系，使学生认识到函数的本质蕴含着有规律的运动与变化。函数概念.gsp函数的近代定义是从集合、对应的观点出发，函数是一种非空数集A到B的特殊的映射。而函数的传统定义是从运动变化的观点出发。在实质上他们是一致的。了解函数与映射的关系，类比学习函数概念时，学生要明白：函数符号y=f(x)表示“ y是x的函数”，不是“y等于f与x的乘积”。f(x)与 f(a) 既有区别又有联系。f(a)是一个常量，是当自变量x=a时 f(x)的值，是f(x)的一个特殊的值。f(x)是自变量 x的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素，同一个函数必须三要素完全相一致。定义域是自变量x的取值范围。在实际问题中定义域需要考虑自变量x的实际背景。在一般的整式、分式、根式中，联立使得函数解析式有意义的x的不等式（组），求得所有实数x的解的集合。例是求函数定义域的例子。在y=f(x)中，f代表对应法则，在不同函数中，f的具体含义不一样。对于定义域中的任意x,在对应法则f的作用下，得到函数值y。对应法则f 一般可以用解析式来表示，但在不少问题中，也可能不便用或不能用一个解析式表示，需要用图象或数表等，如股票变化图等。例是给函数解析式求值的例子，对于定义域中的任意x,可以是有理数、无理数、字母或表达式，在f的作用下，得到对应函数值y。多数情况下，定义域和对应法则确定，函数的值域随之确定。如何求值域往往是学生的难点，在这里，不需要介绍过多的方法。从学生已有的知识出发，具体就正比例、反比例、一次函数、二次函数等函数，利用函数的图象在坐标轴上投影的范围来求定义域和值域，培养学生观察图形的能力。例是区分同一函数的例子。同一个函数必须三要素完全相一致，一般主要看定义域和对应法则是否完全一致。（）函数的表示法：表示函数常用的方法有：解析法、列表法、图象法。 解析法能简明、全面地概括变量间的关系，也能方便的求出函数值。列表法在学生生活中经常遇到，如银行利率、列车时刻、商品价格等。图象法能直观形象地表示两个变量的函数关系，有利于观察变化的趋势。例是一个用三种方法都能表示的离散的点函数，让学生自行总结。例是分段函数的例子。分段函数是分几个式子表示的一个函数，在定义域的不同范围里函数解析式不同。例6是探讨型例题，可以给学生以下情景：让学生给k赋具体的数值，作出函数的图象，观察图象的特征，分组归纳、总结有规律的结论，如分为k>0和k<0的两类不同图形等。duigou 函数.gsp函数的三种表示方法各有优点，有的函数三种方法都能用，有的函数只能用某些表示法表示。中学的函数大多数有解析式，教学时，要让学生多用图形计算器作出一些给定解析式的函数图象，既有利于学生理解函数的意义，也能培养和加强学生数形结合的数学素养。如例2中的函数图象： 学生可以得到一些感性认识，函数图象既可以是一条或几条平滑曲线，还可以是一些线段、一段曲线、一些点等。认识函数的各种表示方法之间的内在联系并能相互转化，是函数学习的重要内容，也是深化理解函数概念的重要步骤。（5）？数学实验： 幂函数在第一象限图象.gsp2.3 函数的单调性和奇偶性1、知识结构：定义单调性图象特征函数性质定义奇偶性对定义域的要求图象特征2、教材分析及建议：（1）本小节计划三课时，第一课时学习函数单调性的概念与简单函数单调性的判定，第二课时学习函数奇偶性的概念及其图象特征，第三课时学习函数单调性与奇偶性的证明及综合运用。普通本教材本小结只学习函数的单调性，函数的奇偶性在三角函数章节学习。（2）本小节的重点是函数单调性与奇偶性的概念，可能遇到的难点是利用概念证明或判断函数的单调性或奇偶性。（3）函数的单调性：函数的单调性的引入可以安排学生做如下活动：使用图形计算器作出函数y=x2的图象。 在图象上任意找点P，测出点P的坐标。在 y轴右侧移动点P ，观察点P的纵坐标的变化规律，移动时要双向，在教师的指导下，由学生总结，得到增函数的描述性定义：在区间I上，若随着自变量x增大函数值y也增大，随着自变量x减小函数值y也减小，函数在区间I上是增函数。即：在某区间上函数值y的变化趋势与自变量x的变化趋势一致时,函数是增函数。并且观察增函数图象的升降变化趋势。同理得到减函数的描述性定义，完成单调函数用图形语言表述到数学描述性语言的过渡，自然并且印象深刻。单调性.gsp要使学生从单调函数的描述性定义过渡到教材上的符号语言定义， 可以从两方面入手：引导学生了解：数学中常用不等式表示大小关系，x的增大，也就是两个横坐标的不等关系等；对于任意性问题，通常用具体值研究，在区间上任意取x1,x2,只要满足x1<x2 即可。将描述性语言用数学的符号语言表示出来，给出定义。安排学生用计算器列表，观察自变量每变化一个单位函数值的变化情况，单位长度可以自定。然后再给出单调性的定义。给出定义后，需要给学生讲明：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，有的函数在整个定义域内具有单调性，如例3中的函数，但很多函数图象是有拐点的，在定义域内某些区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数，还有有些函数没有单调区间，甚至它们的定义域根本不是区间，如离散的点的函数。函数的单调区间是不能求并的，单调性相同的区间用逗号隔开。例1是根据图象说明单调区间，对于区间的端点，只要函数定义域允许而且是连续的，包括与不包括都可以。证明函数的单调性只能严格用定义证明。教师应利用例2使学生明白证明的方法与格式。（4）函数的奇偶性：函数的奇偶性的引入可以安排学生活动：分别作出y=的图象。分别在图象上取点P，并作点P关于y轴和原点的对称点P1和P2 。移动点P，观察P1和P2的运动，得到奇函数和偶函数的定义及图象特征。奇函数.gsp 偶函数.gsp 函数的奇偶性还可以从初中所学的点的对称性类比引入，点P（x,y）与 P1（-x,y）关于y轴对称，与 P2(-x,-y)关于原点对称。结合讲解奇函数和偶函数的定义，可以分析最简单的几个函数的奇偶性。指出：当函数定义域不关于原点对称时，不能满足奇函数和偶函数的定义，既不是奇函数也不是偶函数，如y=等。也可以用计算器作出图象，看图象是否关于原点或y 轴对称来判断。例4就是利用图象判断函数的奇偶性。而例6是利用函数的奇偶性补充完整函数的图象，可以让学生思考函数的奇偶性对函数单调性的影响，奇函数不改变y轴两侧的单调性，而偶函数改变y轴两侧的单调性。 有时也可以转化为来判断。 可以进一步启发函数的迭加和乘除以及复合等对于函数奇偶性的影响。例5的证明是难点，没有函数解析式证明函数的单调性是学生不容易理解的，讲解时要紧扣奇函数与增函数的定义，层次分明，思路清晰。习题第5题中y=-+1将x分为x>0和x<0时证明不困难，但若在R上证明函数是减函数在因式分解部分需要教师的提醒，运用立方差公式后还需再变形。（5）数学实验：duigou函数dj.gsp 2.4反函数1、知识结构：反函数的定义求反函数的步骤反函数互为反函数的图象关系2、教材分析与建议：（1）本小节计划三课时，可以第一课时学习反函数的概念，第二课时学习反函数的求法，第三课时学习互为反函数的图象关系。（2）本小节的重点是反函数的概念，可能遇到的难点是求反函数和理解反函数的符号y=f-1(x)。（3）反函数的概念：引入反函数的概念可以创设物理的实例情景：设某物体在直线上作匀速直线运动，速度是2米/秒，用时间t表示位移s，提问s是t的函数吗？给出t，由关系式s=2t,可以计算出位移s .若给出位移s，右t=s也可以求出相应的时间t 。由时间计算位移，反映的是s关于t的函数，由位移计算时间，反映的是t关于s的函数。那么，这两个函数是相同的函数没？它们有什么关系呢？这时给出反函数的定义，应明确以下几点：反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域。求反函数时，必须已知或先确定原来函数的值域，作为反函数的定义域标注出来。任意函数不一定有反函数。反函数也是函数，也应该符合函数的定义，只有一一映射的函数才有反函数，借助图形计算器可以很直观的得到“一一映射的函数是单调的”，也就是说，单调函数一定有反函数。但是，有反函数的函数不一定是单调的。如y=1/x. 由反函数的定义可得：ff-1(x)=x，f-1 f (x)=x，可以用映射的概念加以解释。（4）求反函数的步骤：将y=f(x)看成方程，反解出x =f-1(y)；将x,y字母互换，得到y=f-1(x)；标明反函数的定义域。（5）互为反函数的函数之间的图象关系： 教学过程中，可安排学生活动：在同一个坐标系下作出例1的原函数和反函数图象，并作直线y=x。观察原函数和反函数图象关系，得到结论，并进行例2反函数(1).gsp和例3反函数(2).gsp的教学，它们都是求反函数及作出图象的例子。在图象上取点P，并作点P关于直线y=x的对称点P1，移动点P，观察P1的运动，还可以分别测出两点的坐标进行观察、反思。这个结论的证明教材并不做要求，但要帮助学生认识：函数y=f(x)与函数 y=f-1(x) 关于直线y=x的对称是在坐标轴的单位长度相等的前提下得到的；函数y=f(x)与函数 x =f-1(y) 并不关于直线y=x的对称，它们是同一函数，图象是相同的。互为反函数的两个函数解析式一般是不同的，但也有少数例外，如y=x ，y=1/x等，如果一个函数与其反函数的解析式相同，那么，这个函数的图象自身是关于直线y=x对称的。反函数的单调性与原函数的单调性是一致的。（6）数学试验：反函数数学实验.gsp 2.5指数1、知识结构：分数指数幂的运算性质指 数 运 算分数指数幂根式 2、教材分析与建议：（1）本小节计划四课时，可以第一节课学习根式，第二节课学习分数指数的概念和它与根式的互化，第三节课学习分数指数的运算性质，第四节课进行指数运算的学习。（2）本小节的重点是分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质，难点是分数指数幂的概念和根式的概念。（3）通过复习初中知识引入新课：乘方的意义 (n 或n或n=0) 。其中，当底数a0时，和才有意义。强调底数的取值范围，特别注意“零的零次幂没有意义，零的负整数次幂也没有意义”，渗透分类讨论的数学思想。指数的运算法则可以归纳为三条：教学中，建议让学生用数学语言叙述这三条性质，锻炼学生的数学表达能力。还可以向学生提出问题：“对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)f(y),请举出一个这样的函数”，培养学生的抽象死亡能力以及通过具体实例理解抽象概念的能力。（4）根式： 本节教材学习根式的概念和方根的性质，是教学的一个难点。n次方根实际上是平方根和立方根及性质的推广，讲解方根和根式时，要抓住平方根和立方根及其性质，进行类比学习。要让学生认识到：奇次方根具有和立方根相同的性质：实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，0的奇次方根是0。n为奇数时， 。偶次方根具有和平方根相同的性质：实数范围内，正数的偶次方根是一对相反数，负数偶次方根没有意义，0的偶次方根是0。n为偶数时，例1就是根式性质的具体运用，要格外注意第3、4小题的讲评，需要时可以进行类似练习。（5）分数指数幂：教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不是相同因式的乘积，而是根式的一种写法，（a>0），引导学生自己推导：（a>0,m,n,且n>1）这样分数指数幂的学习将指数的范围扩充到了有理数。整数指数幂的运算法则同样适用于分数指数幂。只是，底数要求均大于0，可举反例加以说明。例2、3是巩固分数指数概念的例题，不需要做过难的练习，例4和例5是分数指数和根式的运算，根式要先化为分数指数，再根据运算性质进行计算，教学时要严格按照解题步骤进行，使学生熟悉再熟练计算方法。（6）当a>0，p为无理数时，是一个确定的实数。如的运算，可以让学生采取小数点位数逐渐逼近的方式取一系列的近似值，使用计算器计算。渗透极限的思想，实际生活中也常常采用近似计算。2.6 指数函数1、知识结构：指数函数概念指数函数指数函数的图象指数函数的应用指数函数的性质 2、教材分析与建议：（1）本小节计划三课时，可以第一课时学习指数函数的概念，作出函数图象，归纳函数性质，第二、三课时熟练并应用指数函数的图象与性质解决问题。（2）本小节的重点和难点是指数函数的图象与性质。（3）指数函数的概念：教材从一个关于细胞分裂的具体问题引入，既说明指数函数来源于实践，也便于学生接受。教学指数函数的定义域时，不要直接给出a>0且a1,可以让学生用计算器任意输入幂式运算，让学生发现计算器会对于某些运算显示出错信息，从而反思底数的取值范围。规定a>0且a1的理由：若a<0，在实数范围内函数值不存在；若a=0,当 x>0时，y=0,当x0时，函数值没有意义；若a=1，函数式有意义，但y=1，是个常量，没有研究的必要。可以让学生使用计算器作出它的图象来体会。（3）指数函数的图象与性质： 函数图象是研究函数性质最为直观的工具，利用图象既便于学生发现和记忆函数的性质和变化规律，也有利与培养学生的数学思维能力。为了加深学生对于函数概念的理解，教材保留了一个描点作图的例子，可以安排学生完成表格，体验x与y之间的对应关系，用计算器画出散点图，再用连续的曲线连接。学生通过图象得到具体函数y=的性质。然后让学生使用图形计算器作出底数不同的指数函数的图象，、观察、发现指数函数的分类以及函数图象的分布规律，归纳指数函数的性质。这部分可以安排研究性学习，充分发挥学生的学习主动性，最后教师可以在技术支持下，让学生观察底数a连续变化时，指数函数的变化情况，非常清楚的找到a= 1这条分界线，使学生更好地理解指数函数的性质。指数函数.gsp指数函数的图象特征和性质分析：图象特征性质分析（1）图象位于x 轴上方（1）> 0（2）图象过定点（0，1）（1,a）（2） 且（3）图象分为两类：当a>1时，图象在第一象限纵坐标大于1，在第二象限纵坐标小于1,当0<a<1时正相反。（3）当a>1时：若x>0,则>1;若x<0,则<1.当0<a<1时,若x>0,则<1;若x<0,则>1 （4）从左向右看，当a>1时，图象是逐渐上升的，而当0<a<1时，图象是逐渐下降的。（4）当a>1时，y=是增函数；当0<a<1时，y=是减函数。（4）例题1比较函数值的大小，巩固所学的函数性质。一般对于底数相同，指数不同的值的比较多用一个指数函数（相同的底数不变，变化的指数则设为x），利用它的单调性进行比较。对于底数不同，指数相同的值的比较，将指数变为x，在同一个坐标系下作出两个指数函数，由图象的分布判断大小。若是底数和指数都不同的值的比较可以采用第二种方法，也可以先让学生估计一下它们的范围，培养“数感”，往往可以通过与0和1的比较而得到它们的大小关系。当然，还可以通过直接用计算器求值比较。例2是有关图象平移的题目，初中对于二次函数的图象变换已经有一些结论作为基础，可以不作图象，先让学生猜一猜，它们的关系，作出理性反思，再用图形计算器进行验证，注意不要把移动的方法弄错。也可以就图象变换的平移、对称、翻折变换作为专题开展研究性学习。还可以用几何画板作出课件，动态演示出来，由教师引导得到结论。指数函数图象变换.gsp例3是涉及指数应用的问题，讲解复利可以让学生了解银行自动转存等类似问题的计算方法，体验数学在生活中的应用，加强学生学习数学的积极性。（5）数学实验：指数函数数学实验.gsp2.7对数对 数 的 定 义1、知识结构：对数对数式与指数式的互化对 数 的 运 算 法 则2、教材分析与建议：（1）本小节计划四课时，可以第一、二节课学习对数的定义及指数与对数的互化，第三课时学习对数的运算性质，第四课时进行对数的运算。（2）本小节的重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念。（3）引入：课本以国民生产总值增长的实际问题进行引入。已知底数和指数是幂值问题，而已知底数和幂求指数则是本节需要解决的对数问题。对数引入也可以利用“复利问题”，可以计算需要经过多少期，本息和翻一番或翻两番。对数还可以直接由指数式引入，这里涉及三个量，底数、指数、幂值，知二求一，有3种组合，由此可以得到对数定义。或者也可以从指数函数求反函数的角度引出对数定义。（4）对数的概念：引入对数定义后，要让学生认识：对数式log a N=b的含义，明确a,b,N是什么数，与指数式中的a,b,N的关系,熟练掌握对数式与指数式的互化。对数式log a N=b中各数的名称和取值范围。a>0且a1。当a0或a=1时，N取某些值对数式无意义，如log （-2） 8，log 1 2，log 0 1等。N>0。在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以，对数中的真数N>0。特别强调，0和负数没有对数。可以让学生使用计算器验证确认。对数性质：log a 1=0，log a a=1.特例：以10为底的常用对数lgN和以e为底的自然对数ln N(e2.7)（4）对数的运算法则：运算法则的教学可以安排为学生的活动，进行研究性学习。让学生利用计算器先完成例3的表格，表格中已有的M和N值也可以不给出，自行赋值，生成数据，观察数据，分析它们的关系，归纳结论。然后在教师的指导下给以证明，需要指出： 强调运算性质公式的结构：log a（M*N）=log a M+log a N ， log a = log a M-log a N，log a ，并注意等式成立的条件，M，N均为正数。让学生动手亲自证明，加深理解。不要产生类似指数运算的负面迁移，明确指出容易发生的错误结论，如：log a（M+N）=log a M*log a N ， log a（M-N）= log a ，log a 等。补充：，换底公式，在用计算器进行任意底数运算时常用到换底公式。还可以提问：对于的式子如何化简？例3和例4都是关于运算性质的练习，教学时要严格按照解题步骤进行，使学生熟练运算公式。（5）阅读材料是对数和指数发展简史，可以让学生了解数学的发展历史，对数的发明是17世纪数学的重大成果之一，指数概念的扩充是17至18世纪逐渐完成的，18世纪后人们才将它们联系起来研究。2.8对数函数1、 知识结构：对数函数概念对数函数对数函数的图象对数函数与指数函数的比较对数函数的性质2、教材分析与建议：（1）本小节计划三课时，可以第一课时学习对数函数的概念，作出函数图象，归纳函数性质，第二、三课时熟练并应用对数函数的图象与性质解决问题。（2）本小节的重点和难点是对数函数的图象与性质。（3）引入：对数函数是指数函数的反函数，应该扼要复习反函数和指数函数的有关知识，引出对数函数的概念，注意底数也必须满足a>0且a1的条件。对数函数的定义域和值域分别是指数函数的值域和定义域，x>0且。（2）对数函数的图象与性质：制作动态课件，先作出指数函数y=的图象，在图象上任取点P，作出直线y=x，作点P 关于直线的对称点，移动点P ，追踪点的轨迹，得到对数函数y=log 2 x的图象，归纳性质，这样，既加深和巩固学生对互为反函数图象之间关系的认识，也便于与指数函数的图象和性质的对照。对数图象1.gsp也可以做研究性学习，让学生动手实践，自行给底数赋值，用图形计算器作出图象，观察、归纳、总结对数函数的性质和图象的分布规律，并与指数函数的图象和性质加以比较。对数函数图象2.gsp对数函数的图象特征和性质分析：图象特征性质分析（1）图象位于y轴右边（1）x > 0（2）图象过定点（1，0）（a ,1）（2） log a 1=0 且log a a=1 （3）图象分为两类：当a>1时，图象在点(1,0)右边纵坐标大于0，在点（1，0）左边纵坐标小于0,当0<a<1时正相反。（3）当a>1时：若x>1,则log a x>0;若0<x<1,则log a x<0.当0<a<1时, 若x>1,则log a x<0;若0<x<1,则log a x>0.（4）从左向右看，当a>1时，图象是逐渐上升的，而当0<a<1时，图象是逐渐下降的。（4）当a>1时，y= log a x是增函数；当0<a<1时，y= log a x是减函数。可以让学生制作指数函数与对数函数的对照表，从多种角度多种方式使学生认识和记忆对数函数的性质。（3）例2和例3是对数函数性质的例题，比较对数值大小的问题可以采用比较指数值大小的三种方法，多角度多方法培养学生的形象思维和逻辑思维能力。例4：二分法2.9函数的应用举例教材分析与建议：本小节计划三课时，可以第一课时学习函数拟合的内容，第二节课学习贷款消费的实际问题，第三节课学习建立函数关系式。函数的应用关键是要能根据已知条件建立函数模型和利用函数的概念、图象和性质分析解决问题，并使学生在解决问题的过程中激发应用数学的意识，逐步培养和形成分析问题、解决问题的能力。例一是研究未成年人体重与身高的关系的统计数据，要直接由这些数据发现等量关系是很困难的，应该将表中的数据输入计算器，画出它们的散点图，进行数据的函数拟合，可以用指数函数拟合。 还可以进行对数拟合 或者进行直线拟合 然后让学生观察和思考所做的散点图与已知条件提供的哪个函数的图象最接近，从而选择这个函数。函数的选择是解决这类问题的关键，对学生的抽象思维能力要求比较高。选择合适的函数后，要借助图形计算器或计算机强大的数据处理功能，得到较理想的解析式，比较全面的反映整体的情况。教师可以适当的向学生介绍数据采集器和传感器等工具，但教学的重点应放在利用技术帮助建立函数关系式以及解决和验证数学问题上，帮助学生掌握这种方法，并渗透数学思想，这对学生建模思想的形成十分有利，也会给以后的函数学习带来好处。实习作业中的例题都是和我们密切相关的实际问题，一定要到实际生产、生活中去观察、收集、整理变化着的量，以及各种数量关系，我们往往可以通过建立函数模型进行有效的研究。收集的数据通常都是近似的，而且往往用表格的形式给出，要让学生采取画图象的方法来看到变化的趋势，这种变化趋势还可以用函数进行拟合建立数学模型。比如，冰块变化为水的模型，电灯光强随时间变化的模型，城市车辆发展变化规律的模型等。例二是研究消费与贷款方案的选择问题。随着个人消费贷款的普及，与之相关的投资和理财等均属于这类问题，学生在解决问题的过程中会遇到不少困难，建议课前让学生对市场的房价、车价和银行的贷款政策作一些调查。课上开展讨论，课后可以适当增加题目的开放度，设计成一个研究性课题进行探索。