几何辅助线之截长补短--总结+例题.docx

截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。补短法：延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。即延长，得到，证：。延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。即延长，得到，证：。知识梳理【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，平分，为上一点，分别在，上，且满足，若，则的度数是ABCD【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，得到，根据互为邻补角的性质得到答案【解答】解：作于，于，是平分线上一点，在和中，又，的度数，故选：2. 已知，如图，中，求证：【分析】在上截取，由“”可证，可证，可证，可得，即结论可得【解答】证明：如图，在上截取，。3. 如图，点在线段上，求证：【分析】延长交的延长线于，根据平行线的性质和已知求出，推出，根据等腰三角形性质求出，证，求出即可【解答】证明：延长交的延长线于，在和中，即4. 如图所示，在五边形中，求证：平分【分析】连接，延长到，使，连接，易证，进而可以证明，可得即可解题 【解答】解： 连接，延长到，使，连接，在和中，在和中，即平分5. 如图，已知中，于，且，求度数【分析】在上截取，通过作辅助线，得到，进而得到，则可求解的大小【解答】解：在上截取，连接，如图，又6. 如图，正方形中，是边的中点，是边上一点，且平分（1）若，求的长；（2）求证：【分析】（1）由条件可知，根据勾股定理就可以求出的值（2）作于，由平分可以得出，通过证明，可以得出，进而可以得出结论【解答】（1）解：在正方形中，是边中点，在中，由勾股定理得，（2）证明：过点作垂线垂直与点，平分，在和中，在和中，7. 已知：如图，在四边形中，平分，于，且，求证：【分析】首先在上截取，连接，再证明，可得，再根据，可以证出，根据等角对等边可证出，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到，再利用等量代换可证出【解答】证明：在上截取，连接，平分，在和中，（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），8. 如图1，中，是的平分线，若，那么与有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：在边上取点，使，连接经过推理能使问题得到解决：请回答：（1）有一个角是_的等腰三角形是等边三角形参考小明思考问题的方法，解决问题：（2）如图2，四边形中，是边中点，平分，找出线段、的长度满足的数量关系，并加以证明；（3）如图3，四边形中，是边中点，平分，平分，找出线段、的长度满足的数量关系，并加以证明【分析】（1）根据等边三角形的判定可得；（2）在上取一点，使，及可以得出，就可以得出，就可以得出就可以得出结论；（3）在上取点，使，连结，在上取点，使，连结可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；【解答】解：（1）有一个角为的等腰三角形是等边三角形答案为：60（2）；理由：在上取一点，使，平分，在和中，是边的中点，在和中，；（3）猜想：证明：在上取点，使，连结，在上取点，使，连结是边的中点，平分，在和中，同理可证：，是等边三角形【核心考点2】半角模型相关截长补短9. 如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，（1）如图1，若，求的面积；（2）如图2，求证：；（3）如图3，点为延长线上一点，点为延长线上一点，请直接写出线段、的数量关系【分析】（1）如图，延长至，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由勾股定理和三角形面积公式可求解；（2）将绕着点按顺时针方向旋转，得，可得，由“”可证，可得，可得结论；（3）在上截取，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论【解答】解：（1）如图，延长至，使，连接，四边形是正方形，又，的面积；（2）将绕着点按顺时针方向旋转，得，则，四边形是正方形，、在一直线上，又，；（3）如图3，在上截取，连接，又，10. 如图， 在四边形中，、分别是边、上的点， 且 求证：【分析】可通过构建全等三角形来实现线段间的转换延长到，使，连接目的就是要证明三角形和三角形全等将转换成，那么这样了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键三角形和中， 只有一条公共边，我们就要通过其他的全等三角形来实现， 在三角形和中， 已知了一组直角，因此两三角形全等， 那么，那么由此就构成了三角形和全等的所有条件，那么就能得出了 【解答】证明：延长到，使，连接，在与中，11. 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、（1）若，当绕点旋转时，、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当时，、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图，在（2）的结论下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长到，使，证，推出，证，推出即可；（2）延长到，使，证，推出，证，推出即可；（3）在截取，连接，证，推出，证，推出即可【解答】（1），证明：延长到，使，在和中，在和中，（2），证明：延长到，使，连接，在和中，在和中，（3），证明：在截取，连接，在和中，在和中，【核心考点3】截长补短之“补短”12. 已知，中，是延长线上的一点，连接，在上取一点使，求证：为等边三角形【分析】首先延长到，使，连接，易得，继而可得是等边三角形，是等边三角形【解答】证明：延长到，使，连接，在和中，又，是等边三角形，又，且是等边三角形13. 已知四边形是正方形，、分别在、的延长线上，证明：【分析】延长到点，使，连接，利用可以证明，可得，再利用可以证明，得出，可证结论【解答】证明：如图，延长到点，使，连接，在和中，在与中，试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布