学案1函数及其表示.ppt

学案1 函数及其表示,考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,返回目录,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,1.在高考试题中三种题型都可能出现,以选择、填空为主，属于低档题目，在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查.2.对函数的概念、函数的记号、分段函数的求值以及求函数解析式等仍会重点考查.也有可能把定义一种新运算作为考查的目的.3.近几年对函数各种表示法的考查都涉及过，估计仍会保持这种考查方式，熟练应用三种表示方法解决函数的一些实际问题是高考的重中之重.,考 向 预 测,返回目录,1.函数的基本概念(1)函数定义 设集合A是一个非空的,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合 B中都有 的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作.,数集,唯一确定,y=f(x),xA,返回目录,(2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的.显然,值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:、和.(4)相等函数:如果两个函数的 相同，并且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法 表示函数的常用方法有:、和.,定义域,值域,定义域,值域,对应法则,定义域,对应关系,解析法,图象法,列表法,3.映射的概念 设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,则称对应f:AB是集合A到集合B的一个.4.由映射的定义可以看出,映射是 概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A,B必须是.,非空数集,返回目录,映射,函数,返回目录,考点1 函数的概念,下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么?(1)f(x)=lgx,g(x)=lgx2;(2)f(x)=x,g(x)=;(3)f(x)=,g(x)=logaax;(4)f(x)=lgx-2,g(x)=lg.,【分析】判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果有一个不同,它们便不是同一函数.,返回目录,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(2)函数f(x)的值域为(-,+),g(x)的值域为0,+),值域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(3)因为f(x)=x(x0),g(x)=x(xR),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(4)因为f(x)=lgx-2(x0),g(x)=lg=lgx-2(x0),所以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同,故它们是同一函数.,(1)只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是:定义域不同,两个函数也就不同.对应法则不同,两个函数也是不同的.即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则.(2)函数的对应法则可以化简,例如题型一(3)(4)中的函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)=,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的.(3)当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定,所以,函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素.,返回目录,返回目录,判断下列各组函数是否为同一函数.(1)f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2)f(x)=,g(x)=x+1;(3),返回目录,【解析】(1)两函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以它们是同一函数.(2)y=x+1,但x1,而y=x+1中xR,所以它们不是同一函数.(3)函数f(x)=的定义域为x|x0;而函数g(x)=的定义域为x|x-1或x0,它们的定义域不同,所以不是同一函数.,返回目录,考点2 映射的概念,下列对应是否为从A到B的映射？(1)A=R，B=R，f:xy=;(2)(3)A=x|x0,B=R,f:xy,y2=x;(4)A=平面内的矩形，B=平面内的圆，f:作矩形的外接圆.,返回目录,【解析】(1)当x=-1时，y值不存在，所以不是映射.(2)A，B两集合分别用列举法表述为 A=2,4,6,由对应法则f:ab=，是映射.(3)不是映射，如A中元素1有两个象1.(4)是映射.,【分析】解此题需要明确以下两点：集合A的元素是什么；什么是A到B的映射.,欲判断对应法则 f:AB是否是从 A 到 B 的映射，必须做两点工作：明确集合A，B中的元素.根据对应法则判断 A中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确定的对应元素.,返回目录,返回目录,设A=0,1,2,4,下列对应法则能构成A到B的映射的是(填序号)f:xx3-1 f:x(x-1)2f:x2x-1 f:x2x,由映射的定义知满足题意,【解析】,【答案】,考点3 求函数解析式,根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式:(1)(2)f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2=3x;(4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).,返回目录,【分析】(1)可用配凑法.(2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找 x2+3x+1与x-2的对应关系.(3)因考虑到x与 的倒数关系,可通过解方程组来求解析式.(4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.,返回目录,【解析】(1)因 又-2或 2,则f(x)=x2-2,x(-,-2)(2,+).,返回目录,(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以f(x)=x2+7x+11,xR.(3)由已知f(x)+2f=3x.以 代替中的x,得f+2f(x)=.由解得f(x)=-x(x0).(4)解法一：换元法.令3x+1=t,则x=.f(t)=9-6+5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.f(x)=x2-4x+8.,返回目录,解法二:配凑法.f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,f(x)=x2-4x+8.解法三:待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a0),则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.f(3x+1)=9x2-6x+5,9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.9a=9 a=1 6a+3b=-6 b=-4 a+b+c=5 c=8,f(x)=x2-4x+8.,比较两端系数,得,返回目录,(1)求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式.(2)换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此处应有|x|1.(3)求解析式的几种常见方法:代入法 即已知f(x),g(x),求f(g(x)用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得;换元法 已知f(g(x),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x)中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x)的表达式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素);,返回目录,待定系数法 当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而根据题意列出恒等式,确定a,b的值.解:设f(x)=ax+b,则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;,方程组法 方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法.在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x).如:已知f(x)满足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式.解:f(x)+2f(-x)=x,用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-x.联立消去f(-x),即得f(x)=-x.,返回目录,根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式：(1)f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.,返回目录,(1)令t=+1,t1,x=(t-1)2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1,+).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.4a=4 a=1 4a+2b=2,b=-1,又f(0)=3 c=3,f(x)=x2-x+3.,返回目录,【解析】,返回目录,考点4 分段函数,【分析】先求出f(0),再把f(0)的值作为自变量求出f(f(0).,2x+1,x1 x2+ax,x1,若f(f(0)=4a,则实数a等于.,2010年高考陕西卷已知函数f(x)=,返回目录,分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意处理好各段的端点.,返回目录,返回目录,如图，OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0t2)截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1)求函数y=f(t)的解析式，并指明它的定义域;(2)求函数y=f(t)的值域.,返回目录,（1）当0t1时，所截图形是一个直角三角形，其面积f(t)=t2tan60=t2;当1t2时，所截图形是一个四边形，它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即 f(t)=2-(2-t)(2-t)tan60=-(2-t)2;当t=2时，所截图形即OAB，f(t)=.t2，0t1.-（2-t）2,1t2.此函数的定义域为(0,2.,综上,f(t)=,【解析】,返回目录,（2）当0t1时，0 t2;当1t2时，-(2-t)2.故函数f(t)的值域为(0,.,返回目录,正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键.函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于:(1)它是非空数集到非空数集的对应;(2)定义域中的每个元素只有一个函数值；（3）定义域中的每个元素一定有函数值.确定一个函数需要三个要素:定义域；对应法则；值域.对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数.对于 f(x)，可以理解为根据对应法则f，自变量x对应的函数值；也可以理解为根据对应法则 f 产生的函数f(x).表示函数时，前面一般加“函数”二字.列表法、,图象法和解析法是函数最常用的三种表 示方法，函数的图 象是直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具，注意灵活使用.(4)对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体.对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式;解决分段函数的有关问题的关键是“分段归类”.即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,