第四节多元复合函数的求导法则.ppt

第四节 多元复合函数 的求导法则,一 链式法则二 全微分形式不变性三 小结,第九章,复习：一元复合函数求导的链式法则,y x t,推广:多元复合函数求导的链式法则,1.中间变量均为一元函数;2.中间变量均为多元函数;3.中间变量既有一元函数又有多元函数.,一、链式法则,复合函数的中间变量均为一元函数的,证,的情形.,定理1,可用下列公式计算:,具有连续偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v),情形1,先研究,则,复合函数,在对应点t可导,且其导数,全导数,情形.,全导数计算公式,可微,由于函数z=f(u,v)在点(u,v),有连续偏导数,复合函数的中间变量多于两个的情况.,定理推广,导数,变量树图,称为,全导数,(又称链导公式).,例1-1,解2,例1,解1,解3:,用代入法 z=f(t),复合函数为,则复合函数,且可用下列公式,具有连续偏导数,的情,对 x 和 y 的偏导数,且函数z=f(u,v)在对应点(u,v),在对应点(x,y)的两个偏导数存在,情形2,复合函数的中间变量均为多元函数的,情形.,先研究,形.,计算:,都在点(x,y)具有,链式法则如图示,(x,y)处具有对x和y的偏导数,中间变量多于两个的情形,即,类似地再推广,复合函数,在对应点(x,y)的两个,偏导数存在,且可用下列公式计算:,都在点,?,项数,问:,每一项,?,中间变量,函数对中间变量的偏导数,该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).,的个数.,函数对某自变量的偏导数之结构,解1:,解2:用代入法,情形3 复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形：,变量关系图:,x,y,v,u,z,y,例3,解,用代入法?,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,注意:防止记号的混淆,例4,解,用代入法?,解(1),可看成是由,复合而成的,所以,(2),设,(2),(1),例5,例6,解,例7,解,1989年研究生考题,计算,5分,解,其中f(t)二阶,可导,g(u,v)有连续二阶导数,例8,例9,解,由直角坐标与极坐标间的关系式,例10,解,复合而成,应用复合函数求导法则,得,两式平方后相加,得,再求二阶偏导数,得,同理可得,两式相加,得,全微分形式不变形的实质：无论 是自变量 的函数或中间变 的函数，它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性,解1:,解2:用代入法,例1.,例1.,利用全微分形式不变性再解例2.,解:,所以,解,三内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是因变量,