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关于逆矩阵求法的讨论【毕业论文（设计）】南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（设 计）（ 一三 届 ）题 目： 关于逆矩阵求法的讨论 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 张利明 学 号 08090231 指导教师： 肖艳艳 南京师范大学泰州学院教务处 制摘 要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法。主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Abstract: In the aim of extracting the inverse of the matrix more conveniently, this paper introduces several methods of extracting the inverse matrix according to the different features of the matrix. It mainly includs the definition method, the adjoint matrix method, the elementary operation method, the partitioned matrix method and the method of solving the equations. Some of these methods are briefly demonstrated in the paper.Keywords: inverse matrix; partitioned matrix; elementary operation; adjoint matrix目 录1 绪论3 1.1研究意义3 1.2国内外研究现状3 1.3本文主要解决的问题42 矩阵的基础知识4 2.1矩阵的定义及性质4 2.1.1矩阵的定义4 2.1.2矩阵的性质5 2.2逆矩阵的定义与性质6 2.2.1逆矩阵的定义6 2.2.2逆矩阵的性质73 逆矩阵的求法7 3.1用定义求逆矩阵7 3.2用伴随矩阵求逆矩阵8 3.3用初等变换求逆矩阵9 3.3.1初等行变换9 3.3.2初等列变换9 3.3.3混合采用初等行、列变换10 3.4用分块矩阵求逆矩阵12 3.5用解方程组求逆矩阵12结 论14谢 辞15参考文献161 绪 论矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了。18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论。1748年，瑞士数学家欧拉(LEuler，17071783)在将三个变数的二次型化为标准形时，隐含地给出了特征方程的概念。1773年，法国数学家拉格朗日(JLLagrange，17361813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801年德国数学家高斯(CFGauss，1777一1855)在算术研究中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。1.1研究意义 矩阵理论是线性代数的一个重要内容，也是处理实际问题的重要工具，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。比如逆矩阵可以用来解线性方程组。逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值以及它的伴随矩阵，当其阶数较高时，它的计算量是很大的，此时用伴随矩阵法求逆矩阵通常是不方便的。为了更便捷地求矩阵的逆，本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法，这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础。1.2国内外研究现状 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位，逆矩阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随着逆矩阵研究的深入，其应用的范围越来越广，在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，系统识别问题和网络问题等领域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。1.3本文主要解决的问题 本文先对矩阵及其逆矩阵从定理、性质等方面进行了总结，然后介绍了逆矩阵的几种常用的求解方法，主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法。从而对矩阵有了进一步的理解，有助于解决在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域遇到的相关问题。2 矩阵的基础知识 2.1矩阵的定义及性质 2.1.1矩阵的定义由个数排列成个行个列的数表 称为矩阵，其中数称为矩阵的元.当时，称为阶矩阵或方阵.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或简记为.两个矩阵，如果，则称矩阵与为同型矩阵.如果两个同型矩阵与的对应元素相等，即，则称矩阵与相等，记作或.1当时，矩阵称为行矩阵或行向量.当时，矩阵称为列矩阵或列向量.形如 的阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作 . 特别当时，这时的对角矩阵叫做阶数量矩阵. 当时，这时的数量矩阵叫做阶单位矩阵，记作或，在阶数不致混淆时，简记为或，即. 主对角线下方的元素都是零的方阵 叫做上三角矩阵. 主对角线上方的元素都是零的方阵 叫做下三角矩阵.2 2.1.2矩阵的性质性质1 矩阵的加法运算具有以下运算规律：加法交换律；加法的结合律；，其中，都是矩阵.性质2 矩阵数乘运算满足以下运算规律：；，其中，都是矩阵，为任意实数.性质3 矩阵乘法满足的运算规律和性质：结合律 ；分配律 ，；数与乘法的结合律 ；当，均为阶方阵时，有；.3性质4 矩阵乘法不满足交换律：例 1 已知，.求和.解 ，.2.2逆矩阵的定义与性质 2.2.1逆矩阵的定义 定义 设为阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得成立，那么矩阵称为可逆矩阵，此时矩阵称为的逆矩阵，简称为矩阵的逆.如果的逆矩阵不存在，那么称为不可逆矩阵.的逆矩阵记作，即如果，那么. 2.2.2逆矩阵的性质性质1 如果矩阵可逆的，那么的逆矩阵是唯一的.证明 设，都是的逆矩阵，那么有，所以的逆矩阵是唯一的.性质2 如果可逆，那么可逆，且.性质3 如果可逆，数，那么可逆，且.性质4 如果可逆，那么可逆，且.性质5 如果，都是阶可逆矩阵，那么可逆，且.证明 因为 所以可逆，且.4 3 逆矩阵的求法3.1用定义求逆矩阵设是一个阶矩阵，如果存在阶矩阵，使，则称矩阵是可逆矩阵，并称是的逆矩阵.5例2 已知阶矩阵满足，证明可逆，并求出它的逆矩阵.证 由，得，则，即且，由定义可知，可逆且. 3.2用伴随矩阵求逆矩阵设是阶矩阵，称矩阵称为的伴随矩阵，记作，其中是中元素的代数余子式，即.定理 阶矩阵可逆的充要条件是，且在可逆时，.这种求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法.该法主要用于逆矩阵或伴随矩阵的理论推导上，但对于阶数较低（一般不超过3）或元素的代数余子书式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.使用伴随矩阵法求逆矩阵时，应注意以下几点： 准确地算出.注意的第行元素依次是矩阵的第列元素的代数余子式.是的代数余子式，不是余子式，且，因此计算时千万不要遗漏代数符号.此定理不仅给出了方阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式.6 例3 判定矩阵是否可逆，若可逆，求. 解 因为，所以可逆，又，所以.3.3用初等变换求逆矩阵 3.3.1初等行变换由阶矩阵，作一个矩阵，如果此矩阵可以经过初等行变换化为，那么矩阵可逆，此时即可为.换句话说，当可逆时，. 例4 用初等行变换求逆矩阵的逆矩阵. 解 ，故. 3.3.2初等列变换类似地，如果阶矩阵可逆，则作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，此时可化为，即.7例5 用初等列变换求矩阵的逆矩阵.解 ，所以. 3.3.3混合采用初等行、列变换设可逆，则对施行一系列的行、列初等变换把变成.即存在初等矩阵，使，则 令，所以，对施行一系列行、列初等变换把变成，此时同样的初等列变换把单位矩阵变成，而同样的初等行变换把单位矩阵变成，则.于是构造一个矩阵 .例 6 设，求. 解 ， . 3.4用分块矩阵求逆矩阵 在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵.特别地，我们有，若为可逆矩阵，且，则 .8例7 求矩阵的逆矩阵，其中 .解 将矩阵分成四块，形如，其中，于是，即，且，利用公式，得 .3.5用解方程组求逆矩阵 根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍然是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，于是可以假设含有待定参数的逆矩阵的表达形式.又由于，于是根据矩阵相等的定义可得与待定参数有关的若干个方程，从而可以求得待定参数，此法常用于求上（下）三角矩阵的逆矩阵.例8 求的逆矩阵.解 设，先求中主对角线下方的三个元素，再求，最后求.于是,比较等式的两端，得到；解得，；解得，；解得，；解得，；解得，；解得，.于是，所求的逆矩阵.9结 论矩阵在我们生活中具有较强的应用性，因而备受人们的关注。而在解决矩阵问题时常常需要求矩阵的逆，因此总结出一套求矩阵逆的方法是必要的。在高等数学的内容中的矩阵是一个重要知识点，它对学习初等数学也有一定的指导作用。灵活巧妙地运用矩阵能高瞻远瞩，方便地解决初等数学与高等数学中的相关问题。能否熟练地应用就要看我们是否有运用它的意识，是否掌握其中的技巧，如果具备了这样的能力，就能将复杂问题简单化，进而提高解题速度，收到事半功倍的效果。事实上，如何应用矩阵去求逆矩阵，难点在于能否熟练的运用这些方法去求，此时既要考虑矩阵的形式，又要考虑所给的条件。此外，熟练掌握求逆矩阵的方法，有助于开阔眼界，培养散性思维。谢 辞 论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢肖艳艳老师，因为论文是在肖老师的悉心指导下完成的。肖老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。肖老师指引我的论文的写作的方向和架构，并对本论文初稿进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我工作、学习中的榜样。肖老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精确到每一个字的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度。论文的顺利完成，也离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文。另外，要感谢张晗，王明刚，夏慧明，许荣飞等老师四年的指导和帮助，这也是论文得以完成的基础。通过此次的论文，我学到了很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，在论文的写作过程中，通过查资料和搜集有关的文献，培养了自学能力和动手能力。并且由原先的被动的接受知识转换为主动的寻求知识，这可以说是学习方法上的一个很大的突破。在以往的传统的学习模式下，我们可能会记住很多的书本知识，但是通过毕业论文，我们学会了如何将学到的知识转化为自己的东西，学会了怎么更好的处理知识和实践相结合的问题。在论文的写作过程中也学到了做任何事情所要有的态度和心态，首先我明白了做学问要一丝不苟，对于出现的任何问题和偏差都不要轻视，要通过正确的途径去解决，在做事情的过程中要有耐心和毅力，不要一遇到困难就打退堂鼓，只要坚持下去就可以找到思路去解决问题的。在工作中要学会与人合作的态度，认真听取别人的意见，这样做起事情来就可以事半功倍。总之，此次论文的写作过程，我收获了很多。此次论文的完成既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。再次感谢在大学传授给我知识以及给我帮助和鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们。最后，谨向在百忙之中来参加论文答辩的各位老师表示衷心的感谢。参考文献1 王中良.线性代数解题指导M.北京大学出版社，2008:43.2 朱玉清.线性代数M.国防工业出版社，2007:46-47.3 徐仲，张凯院.线性代数辅导讲案M.西北工业大学出版社，2007:39.4 张志让，刘启宽.高等代数M.高等教育出版社.2008:15-17.5 陈逢明.逆矩阵的若干求法J.福建商业高等专科学校学报.2006（3）:117.6 张海涛.逆矩阵的求法J.大同职业技术学院学报.2004,18（2）:70.7 王丽霞.逆矩阵的几种求法J.雁北师范学院学报.2007,23（2）:83-84.8 曾国斌.求逆矩阵的几种常用方法J.云梦学刊.2008,29:152.9 孙红伟.关于求逆矩阵方法的探讨J.科技资讯.2008（27）:226-227.