专题--数列求和的基本方法和技巧.doc

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：例1 已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例6 求的值解：设. 将式右边反序得 . （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5四、分组法求和例7 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） (2) 例9 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性质项）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通项及特征） （分组求和）4