三角函数周期的求法.doc

三角函数周期的求法高一数学王园园高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1求函数y=3sin（）的周期。解：y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）这就是说，当自变量由增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。函数y=3sin（）的周期是T=3。例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期解f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x）f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=例3：求f（x）=的周期解：f（x+）= f（x）求f（x）=的周期：T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=A sin（）、y=A cos（）、tan（）形成（其中A、为常数，且A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：、。例4：求函数y=1-sin x+cos x的周期解：y=1-2（ sin x-cos x） =1-2（cossin x-sin cos x） =1-2sin（x-）这里=1周期T=2例5：求y=tan（1+）的周期解：这里=，周期为：T=/=（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tanx的形式，再确定它的周期。例6：求f（x）=sin x·cos x的周期解：f（x）=sin x·cos x=sin2x这里=3，f（x）=sin x·cos x的周期为T=例7：求y=sin6x+ cos6x的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x =（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2x·cos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2x·cos2x =1-3 sin2x·cos2x =1- sin22x =+cos4x而cos4x的周期为T=,y= sin6x+ cos6x的周期为T=3定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1事实上，由（既约分数），得T= P2T1=P1T2f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。例8：求函数y=sin2x+sin3x的周期解：sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=而=，即是T=2T1=3T2， y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2例9：求函数y=cos+sin的周期解：cos的周期为T1=6，sin的周期为T2=8而，即是T=4T1=3T2 y=cos+sin的周期为T=3T2=24。类似，y=sin-2sin的周期为T=30，y=tg3+2ctg2的周期为T=。由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。4