解抽象函数问题的常用策略2.doc

解抽象函数问题的常用策略张传鹏抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，从而对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。2005高考北京卷、辽宁卷、广东卷等各有一个抽象函数解答题，同样2006高考重庆卷、辽宁卷、安徽卷等也出现抽象函数。然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文拟例说明其求解策略，以供参考。一、换元策略使抽象函数具体化对于抽象函数，可以通过换元化抽象为具体，转化为具体函数可求解，同时要注意新元的取值范围。例1 已知函数f(x)的值域，试求的值域。解：由，得，于是，令=t，所以=1，因则当t=1时，y不能取得最大值1，所以只能在函数图象的对称轴的左侧取得最值。由对称轴t=1及抛物线开口向下，函数在上是增函数，则时，y取最小值，当时，y取最大值故所求值域为。二、图象示意策略使抽象函数形象化一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。例2 函数f(x)在0，3上是增函数，函数是偶函数，则请比较，f(5)，的大小。分析：根据已知作合乎题意的最简单、最直观的增函数f(x)=x，0，3的图象OA，由于是由的图象左移3个单位得到，所以图象是线段O1A1，又因为函数是偶函数，所以图象关于y轴对称，所以y=f(x+3)在上图象为线段A1O2把线段A1O2，右移3个单位为AO3是f(x)在上的图象，通过图象不难看出。图1例3 若定义在R上的奇函数f(x)在（，0）内是增函数，则xf(x)<0的解集为（ ）A. B. C. D. 分析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，且f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数f(x)在R上的大致图象，由xf(x)<0得：x与f(x)异号。由图像可得解集为，选择（A）。图2三、“穿脱”策略使问题简化加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即为“脱”。对于有些抽象函数，可根绝函数值相等或者函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。例4 已知f(x)是定义在（0，）上的增函数，且，若f(6)=1，解不等式。分析：由，得：，所以f(36)=2。而“穿”得。即。又根据f(x)是定义在（0，）上的增函数，“脱”得。在结合函数的定义域可得：四、模型化策略使解题思路明朗化模型化策略，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法。对于选择、填空题，可用模型函数解决；对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。例5 已知函数f(x)对任何，总有，且当x>0时，。（1）判断函数的奇偶性，（2）判断函数f(x)在R上的单调性。分析：对任何，总有，可猜想抽象函数f(x)生成的原形函数：f(x)=kx，由x>0时，f(x)<0。知k<0，所以问题（1）、（2）的答案可大胆猜想如下：（1）函数f(x)是奇函数，（2）函数f(x)在R上是减函数。尽管这只是对问题的猜想不是严格的证明，但带着结论去探求解答，思考线索明朗了，更加有的放矢了。一般地对函数f(x)来说：（1）若满足，则可构造模型函数，（k0）；（2）若满足，则可构造模型函数，（m0）；（3）若满足或者，则可构造模型函数f(x)=xn；（4）若满足或者，则可构造模型函数（a>0，a1）；（5）若满足或者，则可构造模型函数f(x)=(a>0，a1)。五、赋值策略使问题有规律化抽象函数常常以函数方程的形式出现，解决这类问题的时候让变量取一些特殊值或特殊式，从而使问题解决，并具有一定的规律性。例6 已知f(x)是定义在上的函数，满足对任意都有=，请判断函数的奇偶性。简析：在条件中，取x=y=0，得再取得=0，所以函数f(x)是奇函数。例7 设函数f(x)的定义域为R，对任意都有，且，求。解：因为对任意都有所以令，则，。所以，。由f(1)=a>0，得到所以，由此规律可得。