动点轨迹方程的求法.doc
轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时例1、知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即 ， 整理得，这就是动点M的轨迹方程若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆二、代入法（相关点法）若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况例2、已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线解：设，由题设，P分线段AB的比， 解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程， 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现例3 、若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )（A） （B） （C） （D）解：设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是选（B）例4、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为( )（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）四、参数法若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.例5、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t（A）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 ，所以椭圆方程为(2)设点解方程组得由和得其中t1消去t，得点P轨迹方程为和其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程例6、已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是求轨迹方程的去“杂”堵“漏”方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去“杂”堵“漏”的几种常见情况。一、利用三角形的顶点不共线去“杂”BAyOxM例1、已知点A（a，0），B（a，0），若MAB是以点M为直角顶点的直角三角形，求顶点M的轨迹方程。解：设M（x，y），依题意得|MA|2|MB|2|AB|2（）2（）2（2a）2 化简得 x2y2a2 MAB的顶点M、A、B不共线M不能在x轴上x0故点M的轨迹方程为x2y2a2（x0）高考资源网二、利用直线的斜率必须存在去“杂”BAyOxP例2、已知点A（1,0），B（1,0），动点P使直线PA和PB的斜率之积为2，求动点P的轨迹方程。解：设P（x，y）则kPAkPB2化简得2x2y22直线PA和PB的斜率存在x±1故点P的轨迹方程为2x2y22（x±1）yOxBAM三、利用点所在的区域范围去“杂”例3、已知点A、B分别在x、y轴的正半轴上运动，且|AB|2a（a0），求AB中点M的轨迹方程。解：设M（x，y），由中点坐标公式得A（2x，0）B（0，2y）2a化简得x2y2a2 点A、B分别在x、y轴的正半轴上点M在第一象限即x0y0故点M的轨迹方程为x2y2a2（x0且y0）高考资源四、根据条件解不等式去“杂”例4、ABC中，已知B（1,0），C（5,0），A点在x轴上方，且tanBtanC4，求顶点A的轨迹方程。yOxABC解：设A（x，y）,则tanBkAB，tanCkAC高考资源网（）4化简得yx26x5 A点在x轴上方y0 即x26x50解得1x5故顶点A的轨迹方程为yx26x5（1x5）五、讨论点的特殊位置堵“漏”CByOxAA例5、已知点B（1，0），C（1，0）,动点A使得BAC135°,求点A的轨迹方程解：设A（x，y）则kABkAC当点A在x轴上方时，直线AB到AC的角为135°tan135°1,得x2y22y10当点A在x轴下方时，直线AC到AB的角为135°w。w-w*k&s%5￥utan135°1,得x2y22y10故点A的轨迹方程为x2y22y10（y0）或x2y22y10（y0）简析：本题需要对点A的位置进行讨论，才能避免漏掉一种情况六、讨论直线斜率不存在堵“漏”CyOxBA例6、ABC中，已知B（1,0），C（1,0），点A在第三象限，且BC45°，求顶点A的轨迹方程解：设A（x，y）（x0，y0）则tanBkAB（x1）tanCkAC由BC45°得tan（BC）tan45° tan（BC）=1 化简得x2y22xy10当x1时，B90°，由BC45°得C45°此时ABC为等腰直角三角形，A的坐标为（1，2），符合题意，但不满足方程x2y22xy10 w。w-w*k&s%5￥u故点A的轨迹方程为x2y22xy10（x0，y0，x1）和点（1，2）.第 4 页 共 4 页
