广东省华师附中等四校2012届高三上学期期末联考(数学文).doc

广东省华师附中等四校 2012届高三上学期期末联考数学（文）试题命题学校：广东实验中学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。【注意事项】1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。参考公式：1.锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高. 2.,其中。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A B C D或 1.A;解析:由 故选A2. 已知集合，则A B C D2.C;解析:,故选C.3. 某学校有教师人，其中高级教师人，中级教师人，初级教师人. 现按职称分层抽样选出名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为 A B C D3.B; 解析：高：中：初=15:45:90=1:3:64. “”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.A;解析： 当时，反之，当时，有， 或，故应选A. 5已知是两个正数的等比中项，则圆锥曲线的离心率为 A或 B C D或5.D;解析：,故选择D。6. 函数是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 6.A；解析：因为为奇函数,所以选A.7甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A63 B64 C65 D66 7.A8设为等比数列的前项和，已知，则公比A、3 B、4 C、5 D、68.B；9如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影D为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） (D) 9.D;解：连结D，AD，易知为异面直线与所成的角,则，故选D； 10下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数对应数轴上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（0,1），如图3.图3中直线与轴交于点，则的像就是，记作。则在下列说法中正确命题的个数为 （ ） ；为奇函数；在其定义域内单调递增；的图像关于点对称。A1 B2 C3 D410.B；解析：仅有正确。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。11. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：第1个第2个第3个。 则第个图案中有白色地面砖的块数是 ( ) 11. .解析：将第n个图案先看做是n个第1个图案，则共有6n个白色图案，再结合第n个图案， 可知共有6n-2(n-1)=4n+2个白色图案。12. 已知向量，若函数在区间上存在增区间，则t 的取值范围为_.12.;解析：， ，函数在(1,1)上单调递增，故时恒成立，故13若，则函数的最大值为 。13.-8;解:令, 14（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是下列图形中的（依次填写序号） * 直线；圆；抛物线；椭圆；双曲线.PCOAB14.;.15（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的圆心，直径，是圆的一条切线，割线与半圆交于点，则 * 15. ；三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分为12分）已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.16解析：（），函数的最小正周期为.（）由，在区间上的最大值为1，最小值为.17（本小题满分12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“ab2”，求事件A的概率17.解：(1)由题意可知：，解得n2.(2) 不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个P(A).18（本小题满分14分） 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，分别为中点。(1)证明：;(2)求三棱锥的体积。18.解：（1）2分 又底面是正方形，故.4分 相交5分 故.6分 （2），故两点到平面的距离相等8分 故12分 设中点，则且，又 故，又 故14分19（本小题满分14分）已知函数 。() 若点(1,)在函数图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求的极大值；()若在区间1,2上是单调减函数,求的最小值。19解：(), 1分 由题意可知：且, 得： ， 3分,.令，得， 由此可知：X(,1)1(1, 3)3(3, +)+00+极大值极小值 当x=1时, f(x)取极大值 6分() 在区间1，2上是单调减函数， 在区间1，2上恒成立. 7分根据二次函数图象可知且，即：也即 9分作出不等式组表示的平面区域如图： 11分当直线经过交点P(, 2)时， oabP(, 2)4a-b+4=02a+b-1=0z=a+b-224取得最小值, 13分取得最小值为 14分20（本小题满分14分） 已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的的动点。（）求椭圆标准方程；（）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。（）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长交椭圆于点，证明：；20.解：（）由题设可知：2分 故3分 故椭圆的标准方程为：4分（）设，由可得：5分由直线OM与ON的斜率之积为可得： ，即6分 由可得： M、N是椭圆上，故 故，即.8分 由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;.9分；（）设 由题设可知10分 由题设可知斜率存在且满足. 12分 将代入可得：13分 点在椭圆，故所以14分 21（本小题满分14分）已知数列，其中是方程的两个根.（1）证明：对任意正整数，都有； （2）若数列中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1；（3）若，证明：。21.证明：（1）是方程的两个根，故对任意正整数， 故；（2）由（1）与更相减损术可得：对任意正整数， 故命题成立；（3）是方程的两个根且，故 由可得： 故