全等三角形证明培优题精整理版.doc

模块一：基本辅助线1. 如图，已知AC=BD,ADAC,BCBD，求证：AD=BC.2. 如图，AB=AE,ABC=AED,BC=ED,点F是CD的中点，（1）求证：AFCD.（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）3. 如图，B=E,C=D,BC=DE,M为CD中点，求证：AMCD.4.如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点如图（1），当OEAB时，四边形OMBN的面积为_；如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论5.如图所示，在ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。6.如图，在ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EGBC于G（1）若A=50°，D=30°，求GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG模块二：母子型1已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM, CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：CEF为等边三角形2.如图，已知，等腰RtOAB中，AOB=90°，等腰RtEOF中，EOF=90°，连结AE、BF。求证：（1）AE=BF；（2）AEBF。3.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE；（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M求证：AGCH；当AD=4，DG=时，求CH的长4.如图，已知ABD、AEC都是等边三角形，AFCD于点F，AHBE于点H,问：（1）BE与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？5.已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN6.（2009丰台区一模）如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为_，线段CF、BD的数量关系为_；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由模块三 倍长中线（1） 倍长中线 （2）倍长类中线1. 已知：如图，ABC中，AD平分BAC，且BD=CD，求证：AB=AC2.已知，如图ABC中，AC>AB,AM是BC边上的中线，求证：（AC-AB）AM(AB+AC)3. 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,求证:EF/AB.4.如图，AD是ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DEDF 求证：BE+CFEF4. 如图，已知在ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，连接CD求证：CE=CD.5. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。7.分别以ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的中点，求证：AMEG.8如图，ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分BAC，过M作MFAD，交AC于F，求FC的长9.在ABC中，AM是BC边上的中线，（1）求证：AB+AC>2AM;(2)若AB=5，AC=9，求AM的取值范围。10. ABC中，AC=8，BC边上的中线AD=6，则边AB的取值范围是。11. 如图，在ABC中，AD平分BAC，E为BC的中点，过点E作EFAD交AB于点G，交CA的延长线于点F求证：BG=CF12. 如图，已知在ABC中，AD平分BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.13. 如图所示，BAC=DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AMCD14. 在ABC中，分别以ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点，（1）求证：AM丄EG;（2）求证:EG=2AM.模块四、截长补短一 截长：截取较长线段，使其和较短线段长度相等。二 补短：延长较短线段，使其和较长线段长度相等。适用范围：条件或题目中出现“a+b=c”或“a-b=c”目的：构造全等三角形1. 如图，在ABC中，B=2C,ADBC于D,求证：CD=BD+AB.2.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，MAN=45°求证：MB+ND=MN3、 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC,E、F分别在BD、AD上，DE=CD,已知ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，EAF=135°，求证：BE+DF=EF.4. 如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°连接AD（1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出ABC绕着点A按逆时针旋转“BAE的度数”后的像；（2）试判断AD是否平分CDE，并说明理由5.如图，在四边形ABCD中，B=D=180°,AB=AD,EF分别是线段BC、CD上的一点，且BE+FD=EF.求证：EAF=BAD.6. 已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，MAN=45°，AHMN，垂足为H，求证：（1）MN=DN-BM；（2）AH=AB7.已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE求证：BE+DF=AE8. 如图，ABC是正三角形，ADC=120°，求证：BD=AD+CD.模块五 角平分线的性质与判定1. 如图，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DB=DC，求证：AD是BAC的平分线2. 如图，已知ABC的周长是22，OB、OC分别平分ABC和ACB,ODBC于D，且OD=3，ABC的面积是_3.如图，在ABC中，BAC=120°，ADBC于D，且AB+BD=DC，那么C=（     ）度.4.已知，如图，ABCD是正方形，FAD=FAE.求证：BE+DF=AE.5.如图ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：（1）线段BM、MN、NC之间的数量关系（2）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的数量关系，在图中画出图形并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明6.如图：在ABC中，C=90°， AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 说明：（1）CF=EB （2）AB=AF+2EB7.如图，已知：ABC的B、C的外角平分线交于点D求证：AD是BAC的平分线模块六、角平分线的四大基本模型1. 角平分线+平分线，等腰三角形必呈现2. 点垂线，垂两边，线等全等都出现3. 角平分线+垂线，中点全等必可见4. 角分线，分两边，对称全等要记全1. 如图，在ABC中，BD、CD分别平分ABC和ACB.DE/AB,FD/AC,如果BC=6，求DEF的周长2.ABC中.（1）如图1，若BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。（2） 如图2，若BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E，过E作EF AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。3.如图，ABC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，你能说明DCAC吗？4.在ABC中，BAC=90°，AB=AC,BE平分ABC,CEBE,求证：(1)BD·BE=AB·BC；(2)CE=BD.5.如图，已知ABC中，AD平分BACC=20°，AB+BD=AC，则B的度数是_6.已知，等腰ABC，A=100°，ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求DEC;(2)求证：AD=EC.7.如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD（1）求证：B与AHD互补；（2）若B+2DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明8.(1)如图，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由（2）如图，AD是ABC中BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且ABAC，求证：AB-ACPB-PC9.如图，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：MEBC；DE=DN.10.（1）如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于F，过F作DEBC，分别交AB、AC于点D、E判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是ABC的平分线和外角ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想11. 如图，在ABC中，BE是ABC的角平分线，ADBE，垂足为D，求证：2=1+C12. 如图，CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、BC于点E、F且FGAB，垂足为G，求证：CE=FG模块七 垂直平分线1.如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，A=50°，求BCE的周长和EBC的度数。2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等请在图中作出发射塔P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）3如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD(3) 若ABC=50°,求F.4.已知：如图AB=CD,线段AC的垂直平分线于线段BD的垂直平分线相交于点E,求证：ABE=CDE.模块八 大角夹半角模型特征：组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。方法：旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。1. 操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明AN=NC（如图）；DMAC（如图）附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图中画出图形，并说明理由2. 如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB（1）试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想(2) 过点A作AMEF于点M,证明EF=BE+DF;(3) 试猜想AM与 AB之间的数量关系，并证明你的猜想。3. 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FGAE交BC于点G（1）求证：AF=FG；（2）如图，连接G，当BG=3，DE=2时，求EG的长4.如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点做一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长5.已知梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且FCEBCD。（1）求证：BF=EF-ED；（2）连接AC，若B=80°，DEC=70°，求ACF的度数模块九 K字模型1.在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1） 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。2.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，试证明：BG=CE BGCE AM是AEG的中线 .3.平面内有一等腰直角三角形（ACB=90°）和一直线MN。过点C作CEMN于点E，过点B作BFMN于点F，当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF=2CE，当三角板绕点A顺时针旋转转到图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明。