全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案).docx

全等三角形的的性质与判定难题50道1边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为ABCD2如图，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点，（1）求的度数；（2）若，求的长3数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“ ”或“” （2）特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“ ”或“” 理由如下：如图2，过点作，交于点（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为1，求的长（请你直接写出结果）4如图，过等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连交边于（1）求证：；（2）若的边长为1，求的长5如图所示，已知等边的边长为，是内一点，点、分别在、上，猜想： ，并证明你的猜想6如图，已知和均为等边三角形，且点、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接（1）请说出的理由；（2）试说出的理由；（3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明7如图，已知是边长为的等边三角形，动点，同时从、两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点运动到点时，都停止运动（1）出发后运动时，试判断的形状，并说明理由；那么此时和的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为，的面积为，请用的表达式表示8已知：在等边中，点、分别为边、的中点，点为直线上一动点，当点在延长线上时，有结论“在直线上存在一点，使得是等边三角形”成立（如图，且当点与点、重合时，该结论也一定成立问题：当点在直线的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证明相关结论9已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，直线与交于点，（1）如图1，若，则 ；如图2，若，则 ；如图3，若，则 ；（2）如图4，若，则 （用含的式子表示）；（3）将图4中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若，则与的有何数量关系？并给予证明10如图1，为等边三角形，面积为、分别是三边上的点，且，连接、，可得是等边三角形，此时的面积，的面积（1）当、分别是等边三边上的点，且时如图2，求证：是等边三角形；若用表示的面积，则 ；若用表示的面积，则 （2）按照上述思路探索下去，并填空：当、分别是等边三边上的点，时，为正整数）是 三角形；若用表示的面积，则 ；若用表示的面积，则 11如图，在等边的三边上分别取点、，使（1）试说明是等边三角形；（2）连接、，两两相交于点、，则为何种三角形？试说明理由12如图所示，一个六边形的六个内角都是，其中连续四边的长依次是1、9、9、5求这个六边形的周长13如图，已知是的边上的一点，是的中线（1）若，求的值；（2）求证：是的平分线14如图，为等边三角形，平分交于点，交于点（1）求证：是等边三角形（2）求证：15如图在等边中，与的平分线相交于点，且，（1）试判定的形状，并说明你的理由；（2）线段、三者有什么关系？写出你的判断过程16如图，是等边三角形，求证：是等边三角形17用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？18如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线求证：是等边三角形19如图，平分，为角平分线上一点，过点作，垂足为，交于点，交于点（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长20如图，在中，、分别为、的中点，且，点、在上，求线段的长（提示：需要添加辅助线）21已知，如图，是正三角形，分别是各边上的一点，且请你说明是正三角形22如图所示，是等边三角形，且，试问：是等边三角形吗？请说明理由23如图，为等边三角形，平分，（1）求证：是等边三角形；（2）求证：24如图是等边三角形（1）如图，分别交、于点、求证：是等边三角形；（2）如图，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由25如图，是的平分线上一点，、是垂足，连接交于点，若（1）求证：是等边三角形；（2）若，求线段的长26如图，中，点、分别在、上，、相交于点，于点，求证：27如图，在中，、是内两点，平分，若，则 28如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，求证：为等边三角形29如图，为等边三角形，为边上一点，以为边作，与的外角平分线交于点，连接，且求证：是等边三角形30如图，在中，是三角形外一点，且，求证：31如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，（1）求证：是等边三角形（2）线段、 三者有什么数量关系？写出你的判断过程（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（只要提出问题，不需要解答）32已知：如图，在中，是中线，延长至点，使求证：33如图，和均是边长为2的等边三角形，、分别是、上的两个动点，且满足（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由34已知：如图，四边形中，为上的点不与、重合），若有一角等于（1）当为中点时，则的面积为 （结果用含的式子表示）；（2）求证：为等边三角形；（3）设的面积为，求出的取值范围（结果用含的式子表示）35如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接（1）是什么三角形？说明理由；（2）若，为大于1的整数），求的度数；（3）当为多少度时，是等腰三角形？36已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：是等边三角形37已知：在和中，（1）如图，若，求证：（2）如图，若，则与间的等量关系式为 ，的大小为 （直接写出结果，不证明）38如图，是等边三角形，是上一点，试判断形状，并证明你的结论39等边边长为6，为上一点，含、的直角三角板角的顶点落在点上，使三角板绕点旋转（1）如图1，当为的三等分点，且时，判断的形状；（2）在（1）问的条件下，、的延长线交于点，如图2，求的面积；（3）在三角板旋转过程中，若，如图3，求的长40为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可如图，已知，延长，使，连接，求证：思路点拨：（1）由已知条件，可知：是 三角形；（2）同理由已知条件得到 ，且，可知 ；（3）要证，可将问题转化为两条线段相等，即 ；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明请你完成证明过程：41已知是等边三角形，点是上一点，于点，交于点，在的延长线上截取，交于点，（1）如图1，若，则 ， ；（2）如图2，若，试求和的值；（3）如图3，若点在边的延长线上，且，其他条件不变，则 （只写答案不写过程）42如图为等边三角形，直线，为直线上任一动点，将一角的顶点置于点处，它的一边始终经过点，另一边与直线交于点（1）若恰好在的中点上（如图求证：是等边三角形；（2）若为直线上任一点（如图，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由43如图，在等边中，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点点从点出发沿边向点以速度移动、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟（1）你能用表示和的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，为等边三角形？（3）若、两点分别从、两点同时出发，并且都按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒钟后点与点第一次在的哪条边上相遇？44如图：在中，与相交于点，于求证：；45如图1，点是线段上一点，和分别是等边三角形，连接和（1）求证：；（2）如图2，点、分别是、的中点，试判断的形状，并证明46如图：已知是等边三角形，、分别是、边的中点，是直线上的任意一点，在射线上截取，使，连接、（1）如图，当点在点左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断是怎样的特殊三角形（不要求证明）；（2）请借助图解答：当点在线段上（与点、不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）请借助图解答：当点在射线上（与点不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明47如图，是等边三角形，点、分别是线段、上的点，（1）若，问是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论48如图，已知为等边三角形，延长到，延长到，并且使，连接，求证：49如图，已知与都是边长为2的等边三角形，如图有一个角的三角板绕着点旋转分别交、于点、两点（不与端点重合）（1）试说明：是等边三角形；（2）求四边形的面积；（3）填空：当 时，最小50如图，、三点在同一直线上，和是正三角形，是中点，是中点求证：是正三角形全等三角形的的性质与判定难题50道参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为ABCD【解答】解：连接、六边形是正六边形，在和中，、分别为、中点，六边形是正六边形，是等边三角形，同理，即，等边三角形的边长是，第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的，过作于，过作于，则，四边形是平行四边形，（已证），同理，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是；同理第第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是；同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是；第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是；第六个等边三角形的边长是，第六个正六边形的边长是，即第六个正六边形的边长是，故选：二解答题（共49小题）2如图，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点，（1）求的度数；（2）若，求的长【解答】解：（1）是等边三角形，；（2），是等边三角形，3数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“ ”或“” （2）特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“ ”或“” 理由如下：如图2，过点作，交于点（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为1，求的长（请你直接写出结果）【解答】解：（1）故答案为：（2）过作交于，等边三角形，即，是等边三角形，在和中，即，故答案为：（3）解：或3，理由是：分为两种情况：如图1过作于，过作于，则，是等边三角形，；如图2，作于，过作于，则，是等边三角形，即或14如图，过等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连交边于（1）求证：；（2）若的边长为1，求的长【解答】（1）证明：如图，过做交于点，为等边三角形，是等边三角形；，（2）是等边三角形，5如图所示，已知等边的边长为，是内一点，点、分别在、上，猜想：，并证明你的猜想【解答】解：理由如下：如图，延长交于，延长交于，是等边三角形，是等边三角形，同理可得是等边三角形，又，四边形是平行四边形，故答案为6如图，已知和均为等边三角形，且点、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接（1）请说出的理由；（2）试说出的理由；（3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明【解答】解：（1）和均为等边三角形，；（2），点、在同一条直线上又；（3）是等边三角形，理由如下：（全等三角形的对应边相等）又是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；7如图，已知是边长为的等边三角形，动点，同时从、两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点运动到点时，都停止运动（1）出发后运动时，试判断的形状，并说明理由；那么此时和的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为，的面积为，请用的表达式表示【解答】解：（1）是等边三角形，（2分）运动至时，（4分）又是边长为的等边三角形是等边三角形（6分）（2）过作于，（10分） （12分）8已知：在等边中，点、分别为边、的中点，点为直线上一动点，当点在延长线上时，有结论“在直线上存在一点，使得是等边三角形”成立（如图，且当点与点、重合时，该结论也一定成立问题：当点在直线的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证明相关结论【解答】证明：连接、（1）当点在线段上时，如图，在上截取使、是等边三边中点，、也是等边三角形且在和中，在直线上存在点使得是等边三角形（2）当点在射线上时，如图，在上截取使由（1）可证，在直线上存在点使得是等边三角形（3）当点在延长线上时，如图，与（2）同理可证，结论成立综上所述，点在直线上的任意位置时，该结论成立9已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，直线与交于点，（1）如图1，若，则；如图2，若，则 ；如图3，若，则 ；（2）如图4，若，则 （用含的式子表示）；（3）将图4中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若，则与的有何数量关系？并给予证明【解答】解：（1）如图1，所以是等边三角形，所以是等边三角形，又，是的外角如图2，又，如图3，又，故填，（2），（3）；证明：，则，即在和中，则则，由三角形内角和知10如图1，为等边三角形，面积为、分别是三边上的点，且，连接、，可得是等边三角形，此时的面积，的面积（1）当、分别是等边三边上的点，且时如图2，求证：是等边三角形；若用表示的面积，则；若用表示的面积，则 （2）按照上述思路探索下去，并填空：当、分别是等边三边上的点，时，为正整数）是 三角形；若用表示的面积，则 ；若用表示的面积，则 【解答】解：（1）为等边三角形，（1分）由已知得，（2分）（3分）同理可证（4分）为等边三角形；（5分）；（6分）（7分）（2）由（1）可知：等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：，；（9分），（10分）11如图，在等边的三边上分别取点、，使（1）试说明是等边三角形；（2）连接、，两两相交于点、，则为何种三角形？试说明理由【解答】证明：（1）是等边三角形，在和中，同理，是等边三角形；（2）是等边三角形，理由：由（1）证得，在与中，同理，是等边三角形12如图所示，一个六边形的六个内角都是，其中连续四边的长依次是1、9、9、5求这个六边形的周长【解答】解：如图，延长并反向延长，两两相交于点、，六边形的每个内角都是，是等边三角形，同理：，是等边三角形，六边形的周长13如图，已知是的边上的一点，是的中线（1）若，求的值；（2）求证：是的平分线【解答】（1）解：，；（2）证明：延长到，使，连接，在和中，在与，是的平分线14如图，为等边三角形，平分交于点，交于点（1）求证：是等边三角形（2）求证：【解答】证明：（1）为等边三角形，是等边三角形（2）为等边三角形，平分，是等边三角形，15如图在等边中，与的平分线相交于点，且，（1）试判定的形状，并说明你的理由；（2）线段、三者有什么关系？写出你的判断过程【解答】解：（1）是等边三角形，其理由是：是等边三角形，（2分），（3分）是等边三角形；（4分）（2）答：，其理由是：平分，且，（6分），（7分）同理，（8分）16如图，是等边三角形，求证：是等边三角形【解答】证明：是等边三角形，是等边三角形，17用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？【解答】解：等边三角形各边长相等，故按照上图搭出图形，即为9根火柴搭出5个等边三角形18如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线求证：是等边三角形【解答】证明：在的垂直平分线上，是等腰三角形，由，得：，是等边三角形19如图，平分，为角平分线上一点，过点作，垂足为，交于点，交于点（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长【解答】解：（1）是等边三角形，理由如下：平分，是等边三角形；（2）是等边三角形，又，设，则，在中，根据勾股定理得：，解得：，则20如图，在中，、分别为、的中点，且，点、在上，求线段的长（提示：需要添加辅助线）【解答】解：如图，连接、为中点，为等腰三角形，又，同理可证：，为等边三角形，又，又，21已知，如图，是正三角形，分别是各边上的一点，且请你说明是正三角形【解答】解：为等边三角形，且，又，是等边三角形22如图所示，是等边三角形，且，试问：是等边三角形吗？请说明理由【解答】解：是等边三角形，理由：是等边三角形，同理，是等边三角形23如图，为等边三角形，平分，（1）求证：是等边三角形；（2）求证：【解答】证明：（1）为等边三角形，是等边三角形；（2）是等边三角形为等边三角形，平分，是的中点（三线合一），24如图是等边三角形（1）如图，分别交、于点、求证：是等边三角形；（2）如图，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由【解答】（1）证明：是等边三角形，是等边三角形；（2）解：，在和中，25如图，是的平分线上一点，、是垂足，连接交于点，若（1）求证：是等边三角形；（2）若，求线段的长【解答】解：（1）点是的平分线上一点，垂足分别是，在与中，是等边三角形；（2）是等边三角形，是的平分线，26如图，中，点、分别在、上，、相交于点，于点，求证：【解答】证明：延长至点，使，连接，为等边三角形，在和中，在中，27如图，在中，、是内两点，平分，若，则32【解答】解：延长交于，延长交于，平分，为等边三角形，为等边三角形，为等边三角形，故答案为3228如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，求证：为等边三角形【解答】证明：为等边三角形，即，平分，在和中，又，为等边三角形29如图，为等边三角形，为边上一点，以为边作，与的外角平分线交于点，连接，且求证：是等边三角形【解答】解：过作交于，则，为等边三角形，又，在和中，是等边三角形30如图，在中，是三角形外一点，且，求证：【解答】证明：延长至，使，连接，是等边三角形，在和中，31如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，（1）求证：是等边三角形（2）线段、 三者有什么数量关系？写出你的判断过程（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（只要提出问题，不需要解答）【解答】（1）证明：是等边三角形，是等边三角形；（2），其理由是：平分，且，同理，；（3）连接，并延长交于点，求证是直角三角形；若等边的边长为1，求边上的高长是多少32已知：如图，在中，是中线，延长至点，使求证：【解答】证明：如图，在中，是等边三角形，是中线，是的平分线，33如图，和均是边长为2的等边三角形，、分别是、上的两个动点，且满足（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由【解答】证明：（1）和都为正三角形，四边形是菱形，而，；（2），即，为正三角形；34已知：如图，四边形中，为上的点不与、重合），若有一角等于（1）当为中点时，则的面积为（结果用含的式子表示）；（2）求证：为等边三角形；（3）设的面积为，求出的取值范围（结果用含的式子表示）【解答】解：如图，在四边形中，四边形是菱形，又，连则，（1）如上图，当为中点时，；（2）、如图如果，则，是正三角形；、如图如果，则，又，、 四点共圆，是正三角形；、如图3，如果，则，又，、 四点共圆，是正三角形；（3）最大，最小，35如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接（1）是什么三角形？说明理由；（2）若，为大于1的整数），求的度数；（3）当为多少度时，是等腰三角形？【解答】解：（1）是等边三角形理由如下：绕点按顺时针方向旋转得，是等边三角形；（2），是直角三角形，且，是等边三角形，根据旋转的性质，；（3），又，是等腰三角形，时，解得，时，解得，时，解得，综上所述，为或或时，是等腰三角形36已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：是等边三角形【解答】解：（1）、都是等边三角形，在和中，（2）解：，等边三角形，答：的度数是（3）证明：，又点、分别是线段、的中点，在和中，又，是等边三角形37已知：在和中，（1）如图，若，求证：（2）如图，若，则与间的等量关系式为，的大小为 （直接写出结果，不证明）【解答】解：（1）证明：，在和中，；证明：，；（2），38如图，是等边三角形，是上一点，试判断形状，并证明你的结论【解答】解：三角形为等边三角形，且，即，是等边三角形39等边边长为6，为上一点，含、的直角三角板角的顶点落在点上，使三角板绕点旋转（1）如图1，当为的三等分点，且时，判断的形状；（2）在（1）问的条件下，、的延长线交于点，如图2，求的面积；（3）在三角板旋转过程中，若，如图3，求的长【解答】解：（1），因此直角三角形中，在和中，是等边三角形（2）过作于，由（1）可知：，在三角形中，直角三角形中，直角三角形中，；（3）在中，又，设，则，解得：或4当时，在中，过作于，则，即与重合，与矛盾，故不合题意，舍去；当时，在中，则是等边三角形，故40为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可如图，已知，延长，使，连接，求证：思路点拨：（1）由已知条件，可知：是等边三角形；（2）同理由已知条件得到 ，且，可知 ；（3）要证，可将问题转化为两条线段相等，即 ；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明请你完成证明过程：【解答】（1）解：连接，是等边三角形，故答案为：等边（2）解：，是等边三角形，故答案为：，是等边三角形（3）证明：等边三角形和，即，在和中，故答案为：（4）解：由（3）知：证41已知是等边三角形，点是上一点，于点，交于点，在的延长线上截取，交于点，（1）如图1，若，则， ；（2）如图2，若，试求和的值；（3）如图3，若点在边的延长线上，且，其他条件不变，则 （只写答案不写过程）【解答】解：（1）等边三角形，在直角中，又，；如图1，作，易证，则，在中，是中位线，；故答案为：；1（2）如图2，设，则；连，且过作于；过点作交于，可判断为等边三角形，所以，又，即，在中可得，又，又，而，；（3）等边三角形，在直角中，又，故答案为：42如图为等边三角形，直线，为直线上任一动点，将一角的顶点置于点处，它的一边始终经过点，另一边与直线交于点（1）若恰好在的中点上（如图求证：是等边三角形；（2）若为直线上任一点（如图，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【解答】（1）证明：，且为等边三角形，且，是等边三角形；（2）在上取点，使，连结，是等边三角形，又，是等边三角形43如图，在等边中，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点点从点出发沿边向点以速度移动、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟（1）你能用表示和的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，为等边三角形？（3）若、两点分别从、两点同时出发，并且都按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒钟后点与点第一次在的哪条边上相遇？【解答】解：（1）是等边三角形，点的速度为，时间为，则；点的速度为，时间为，；（2）若为等边三角形，则有，即，解得，所以当时，为等边三角形；（3）设时，与第一次相遇，根据题意得：，解得，则时，两点第一次相遇当时，走过得路程为，而，即此时在边上，则两点在上第一次相遇44如图：在中，与相交于点，于求证：；【解答】证明：（1），是等边三角形，（2），45如图1，点是线段上一点，和分别是等边三角形，连接和（1）求证：；（2）如图2，点、分别是、的中点，试判断的形状，并证明【解答】（1）证明：和分别是等边三角形，（1分），即，（2分）在和中，（3分）（4分）（2）解：是等边三角形证明如下：（1分）由（1）证明可知：，（5分）点、分别是、的中点，（6分）在和中，（7分），（8分），是等边三角形（9分）46如图：已知是等边三角形，、分别是、边的中点，是直线上的任意一点，在射线上截取，使，连接、（1）如图，当点在点左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断是怎样的特殊三角形（不要求证明）；（2）请借助图解答：当点在线段上（与点、不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）请借助图解答：当点在射线上（与点不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明【解答】解：（1）如图，是等边三角形（2）如图，当在线段上（与点、重合）时，仍是等边三角形证明：连接，是等边三角形，、分别是三边的中点，、是等边三角形的中位线，是等边三角形；（3）如图或图，当点在射线上（与点不重合）时，（1）中的结论不成立，即不是等边三角形47如图，是等边三角形，点、分别是线段、上的点，（1）若，问是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论【解答】解：（1）是等边三角形证明如下：是等边三角形，又，（2分），（3分），即是等边三角形；（4分）（2）成立证明如下：如图，是等边三角形，又是等边三角形，（6分）同理，（7分）（8分）48如图，已知为等边三角形，延长到，延长到，并且使，连接，求证：【解答】证明：延长至，使，连接，为等边三角形，为等边三角形，在和中，49如图，已知与都是边长为2的等边三角形，如图有一个角的三角板绕着点旋转分别交、于点、两点（不与端点重合）（1）试说明：是等边三角形；（2）求四边形的面积；（3）填空：当1时，最小【解答】（1）证明：与都是等边三角形，