二项式定理的练习及答案.docx
二项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题1展开式中常数项是（ ）A.第4项 B. C. D.22(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是（ ）A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.10243展开式中有理项的项数是（ ）A.4 B.5 C.6 D.74若与同时有最大值，则m等于（ ）A.4或5 B.5或6 C.3或4 D.55设(2x-3)4=，则a0+a1+a2+a3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.156展开式中的中间两项为（ ）A. B.C. D.（二）填空题7在展开式中，x5y2的系数是 8 9. 的展开式中的有理项是展开式的第 项10(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 11展开式中系数最大的项是 120.9915精确到0.01的近似值是 （三）解答题13求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数14求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数15已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x的取值范围16若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？17自然数n为偶数时，求证： 18求被9除的余数19已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项20在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数21求(2x+1)12展开式中系数最大的项参考解答：1通项，由，常数项是，选（B）2设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是，选（C）3通项，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）4要使最大，因为17为奇数，则或或n=9，若n=8，要使最大，则m=4，若n=9，要使最大，则或或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A）5.C 6.C 7.; 8.4n; 9.3,9,15,21 10(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3511(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=.12.0.9915=(1-0.009)5=13,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是14=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为15由16由条件得m+n=21，x2的项为，则因nN，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小17原式=18. ,kZ,9k-1Z，被9除余819依题意 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又 令，此所求常数项为18020在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为24021设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有 展开式中系数最大项为第5项，T5=三.拓展性例题分析例1 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，通项公式为为有理项，故是4的倍数，依次得到有理项为说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为例2 （1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用 中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：（2）由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决例3 求展开式中的系数分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开解：方法一： 其中含的项为含项的系数为6方法二：其中含的项为项的系数为6方法3：本题还可通过把看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到5个因式中取x，一个取1得到3个因式中取x，一个取，两个取1得到1个因式中取x，两个取，三个取1得到合并同类项为，项的系数为6例4 求证：（1）；（2）分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质解：（1）左边 右边（2）左边 右边说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例5：求的结果仔细观察可以发现该组合数的式与的展开式接近，但要注意： 从而可以得到：例6 利用二项式定理证明：是64的倍数分析：64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来解：是64的倍数说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数例7展开分析1：用二项式定理展开式解法1：分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法2：说明：记准、记熟二项式的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便例8若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A11B33C55D66分析：看作二项式展开解：我们把看成，按二项式展开，共有“项”，即7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。这时，由于“和”中各项的指数各不相同，因此再将各个二项式展开，3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。不同的乘积（）展开后，都不会出现同类项下面，再分别考虑每一个乘积（）答：月相从新月开始，然后是峨眉月、上弦月、满月、下弦月、峨眉月。其中每一个乘积展开后的项数由决定，20、在观星过程中，我们看到的天空中有一条闪亮的“银河”光带，实际是由许许多多的恒星组成的一个恒星集团，被人们称为银河系。我们生活的地球在银河系。而且各项中和的指数都不相同，也不会出现同类项20、在水中生活着许我微生物，常见的有草履虫、变形虫、喇叭虫、眼虫、团藻等。故原式展开后的总项数为，应选D9、月球地貌的最大特征，就是分布着许多大大小小的环形山，环形山大多是圆形的。关于环形山的形成，目前公认的观点是“撞击说”。例9若的展开式的常数项为，求10、日食：当月球运动到太阳和地球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。分析：题中，当时，把三项式转化为；当时，同理然后写出通项，令含的幂指数为零，进而解出解：当时，其通项为3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。，令，得，展开式的常数项为；3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。当时，同理可得，展开式的常数项为6、月球是一个不发光、不透明的球体，我们看到的月光是它反射太阳的光。无论哪一种情况，常数项均为令，以，逐个代入，得
