中考数学状元笔记及知识点集与初中数学知识点总结.doc

中考状元数学笔记知识点汇总一、实数（一）有理数1、有理数分类：整数正整数/0/负整数 分数正分数/负分数2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴3、相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。4、倒数 如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数5、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是它的相反数/0的绝对值是0。 （二）实数1、实数分类：有理数整数/分数无理数(无限不循环小数)2、平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。3、算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根4、立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。5、乘方性质 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。6、实数的运算：加法：同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与0相加不变。减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘得0。乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数。0不能作除数。乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。混合顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减 同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，先小再中后大 运算律： a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bc7、科学记数法: 把一个整数或有限小数表示成±a×10n 的形式，其中 n是整数。8、近似数 四舍五入法进一法去尾法9、有效数字 从左边第一个不是0的数学起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。如：28.70万有4个有效数字；0.30120有5个有效数字。10、非负数 11、零指数次幂、负指数次幂 二、代数式1、分类：代数式有理式与无理式；有理式整式分式；整式单项式多项式。2、整式概念数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。3、整式运算：（1）整式的加减：如果遇到括号先去括号，再合并同类项。整式的乘法：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 (a±b) 2=a2 ±2ab+b2 整式的除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。l幂的运算公式：·=;÷=;=;=;4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式（2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 （一提二套三分组）5、分式概念及性质：整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，（注意：对于任何一个分式，分母不为0）性质10基本性质： 20符号法则：6、分式的运算： 加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。7、二次根式性质 运算 加减：化成同类二次根式，再合并。 乘 法 除法： 最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化因式。如：分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式）三、方程（一）一次方程1、概念 等式：用等号连接的两个式子叫等式 方程：含有未知量的等式叫做方程。方程的解：能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元一次方程：方程化为最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫二元一次方程。二元一次方程组的解：能使二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值，叫这个二元一次方程的一组解。2、等式性质 等式左右两边都加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍然是等式等式左右两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式。3、一元一次方程的解法： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1（注意：去分母 最小公倍数； 移项 变号）4、二元一次方程组的解法：代入消元法加减消元法。5、列方程解应用题：（1）步骤：审、设、找、列、解、答 （2）类型：和差倍分问题等积变形问题行程问题相遇问题/追及问题/顺逆流问题劳力调配问题工程问题利润率问题数字问题储蓄问题比例分配问题日历中的问题 （二）二次方程1、概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法：直接开平方方法因式分解法配方法公式法3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两个实数根为x1,x2 则有 如：x12+x22=（x1+x2）22 x1x2 4、根的判别式 =b2-4ac >0时，方程有两个不相等的实数根=0时，方程有两个相等的实数根<0时，方程没有实数根。（三）分式方程1、定义：分母里含有未知数的方程2、分式方程的解法：（1）思路：将分式方程转化为整式方程，解之并代入公分母中验根。（2）步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、解一元一次方程、验根。3、列分式方程解决实际问题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。（不仅要验根还要验是否符合题意）四、不等式及不等式组（一）一元一次不等式1、不等式的定义：用“<”、“>”、“”、“”、“”等不等号连接的式子。2、不等式的基本性质：如a>b，c为实数 则a+c>b+c；如a>b，c为实数 则a-c>b-c 如a>b，c>0则ac>bc； 如a>b，c>0则 如a>b，c<0则ac<bc；如a>b，c<0则3、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式。4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解。5、解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1（二）一元一次不等式组1、定义：同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中的各个不等式的解集的公共部分。3、解一元一次不等式组 （1）步骤：先分别求出不等式组中各个不等式的解集、在数轴上分别表示、找公共部分（2）确定法则：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小是无解。4、应用：审、设、列、解、择、答。（择：从解集中根据实际情况选择符合题意的解或解集）五、函数及其图象（一）平面直角坐标系1、有序实数对：有顺序的两个实数a和b组成的实数对。（利用它可以准确表示平面内一个点的位置）2、平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、零点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴x轴，取向右为正；竖直的数轴叫y轴，取向上为正；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。3、象限：坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限，分别称为第一、二、三、四象限。（x轴、y轴与坐标原点不属于任何象限）4、坐标：P(a，b)表示由点P向x轴作垂线，垂足对应着x轴上的一个实数a；由点P向y轴作垂线，垂足对应着y轴上的一个实数b；a 为横坐标，b为纵坐标。5、平面内点的坐标特征：可从各象限内的点、坐标轴上的点、角平分线上的点、平行线上的点来归纳。6、关于坐标轴对称的点的坐标：P(a,b)(关于x轴) Px(a,-b)；P(a,b)(关于y轴) Py(-a, b)；P(a,b)(关于原点) Po(-a,-b)； P(a,b)(关于直线y=x) P1(-a, b)7、两点间的距离公式：A(x1,y1)、B(x2,y2)的距离为（二）函数概念1、变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，始终不变的量叫做常量。2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。3、函数中自变量的取值范围4、函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值，该函数有唯一确定的对应值，此对应值为函数值。5、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。6、描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线 (有等号画实心，无等号画空心)（三）一次函数1、正比例函数：如果y=kx（k是常数，k0），那么y叫做x的正比例函数；其图象是过点(0,0)与(1,k)的一条直线。2、一次函数：如果y=kx+b（k、b是常数，k0）那么y叫做x的一次函数。其图象是过点(0,b)、( ,0)的一条直线。3、正比例函数、一次函数的图象与性质：解析式y=kx(k0)y=kx+b(k0)kk>0k<0k>0k>0k<0k<0bb=0b=0b>0b<0b>0b<0图象与x轴交点(0,0)(0,0)负半轴正半轴正半轴负半轴与y轴交点(0,0) (0,0)正半轴负半轴正半轴负半轴与y轴截距00bbbb增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而增大y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而减小图象经过象限一、三二、四一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四4、直线的位置与常数的关系：k>0则直线的倾斜角为锐角k<0则直线的倾斜角为钝角图像越陡，|k|越大b>0直线与y轴的交点在x轴的上方b<0直线与y轴的交点在x轴的下方5、一次函数的确定-待定系数法：设、列、求。6、一次函数与一次方程的关系：求两个一次函数的交点就是解两个一元一次方程构成的方程组。7、直线y=k1x+b与直线y=k2x+b平行，则k1=k2 直线y=k1x+b与直线y=k2x+b垂直，则k1k2 =1（四）反比例函数1、定义：函数 (k是常数，k0)叫做反比例函数，k叫做比例函数，反比例函数自变量x的取值范围是一切不等于0的实数。2、反比例函数的图象：是双曲线3、反比例函数的性质：解析式 k k>0k<0图 象所在象限一、三二、四增减性当x>0或x<0时，y随x的增大而减小当x>0或x<0时，y随x的增大而增大4、反比例函数的解析式的确定：待定系数法（五）二次函数1、定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)的函数叫二次函数。2、三式：一般式：y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)其中x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个实数根3、二次函数解析式的确定：待定系数法4、二次函数的图象：是一条抛物线，其顶点坐标为 ，对称轴是直线5、二次函数y=ax2+bx+c中的a、b、c与抛物线的关系：开口方向与开口大小均由二次项系数a确定： 相同 则抛物线形状相同；当 越大，则开口越小，反之开口越大；a>0则开口向上，且图象向上无限伸展；a<0则开口向下，且图象向下无限伸展与y轴交点的位置由常数项a决定：c>0则交于y轴的正半轴上；c<0则交于y轴的负半轴上；c=0则必过原点。与x轴交点的位置由方程ax2+bx+c=0中的=b2-4ac决定：当>0时，有两个交点；=0时，有一个交点；<0时无交点。对称轴的位置由a和b联合决定(左同右异)：a、b同号则对称轴在y轴的左侧；a、b异号则对称轴在y轴的右侧。6、二次函数的性质：函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)图象a>0a<0开口向上向下对称轴顶点坐标最值7、二次函数的平移y=ax2 y=a(x-h)2+k (口诀：上加下减，左加右减)六、图形的认识（一）图形的初步认识1、几何图形：（1）几何图形有平面图形和立体图形，构成几何图形的基本元素是：点、线、面、体。（2）平面图形：在同一平面内，由点与线所组成的图形。（3）常见的平面图形有线段、角、多边形、圆；常见的立体图形有圆柱、圆锥、棱柱和球。2、直线：（1）直线的表示：用小写字母表示或用直线上的两个不同的点表示。（2）直线的公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为“两点确定一条直线”3、线段：（1）线段的表示：用小写字母表示或用表示端点的两个字母表示。（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点（3）线段的比较：用刻度尺分别测量出长度进行比较或把其中的一条线段移到另一条上作比较。（4）线段的公理：两点之间，线段最短。（5）距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离。4、射线：（1）定义：把线段向一方无限延伸所组成的图形叫射线。（2）射线的表示：用射线的端点和射线上另一个点来表示（注意顺序）5、角：（1）定义：静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形动态定义：看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。（2）角的表示：用三个大写字母表示当以某点为顶点的角只有一个时，可用该顶点的字母表示用数字表示，如：1 用希腊字母表示，如：（3）平角和周角：射线OA绕点O旋转，当终边位置OB和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角，继续旋转，回到起始位置OA时，所成的角叫周角。（4）角的度量单位是度、分、秒，是60进制。 1周角=2平角=4直角=360°,1度=60分=360秒（5）方向角正东、正南、正西、正北；西南、西北、东北、东南；北偏东30°等（6）角的平分线：从一个角的项点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。6、互余与互补：（1）概念：如果两个角之和等于90°则说这两个角互余；如果两个角之和等于180°则说这两个角互补（2）性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。7、相交线：（1）邻补角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。（2）对顶角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角。（3）对顶角的性质：对顶角相等。8、垂直（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。（2）垂直的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线外一点与直线上各点所连接的所有线段中，垂线段最短（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。9、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。10、平行线 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。（2）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（3）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（4）平行线的判定：同位角相等，两直线平行/内错角相等，两直线平行/同旁内角互补，两直线平行。（5）平行线的性质：两直线平行，同位角相等/两直线平行，内错角相等/两直线平行，同旁内角互补。（二）三角形与多边形1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形的特性：三角形具有稳定性。3、三角形的“三条重要线段”（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高4、三角形的“四心”：内心三角形的三条角平分线的交点；重心三角形的三条中线的交点；垂心三角形的三条高的交点；外心三角形三条边的垂直平分线的交点。5、三角形的分类：（1）按边： （2）按角分类：6、三角形的三边关系：（1）三角形的两边之和大于第三边（2）三角形的两边之差小于第三边7、三角形的内角和定理：（1）三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°（2）推论1：直角三角形的两个锐角和等于90°；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；推论4：三角形的外角和等于360°8、等腰三角形：（1）定义：两边相等的三角形（2）性质：等边对等角；三线合一（3）判定：等角对等边（4）等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形。（5）等边三角形的性质：三边都相等，三角都相等，都等于60°（6）等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 边长为a的等边三角形的高等于 ，面积为9、直角三角形 （1）定义：有一个角是直角的三角形（2）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。10、多边形：（1）定义：由一些线段首尾顺次连接组成的图形是多边形，有四边形，五边形等等，我们学习的多边形都是凸多边形。8（2）正多边形：当多边形各边的长度都相等，各个角都相等时，这个多边形为正多边形。（3）多边形的内角和、外角和：多边形的内角和为180°（n-2）(n3)、外角和为360°（4）多边形的对角线：边接多边形不相邻的两个顶点的线段，n边形过一个顶点有（n-3）条对角线，共可以画出 条对角线。11、镶嵌（1）平面镶嵌的概念：用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙，又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌 （2）用完全相同的任意三角形和任意四边形可以实现平面镶嵌，此外用正六边形也可以实现平面镶嵌（3）用正多边形镶嵌：用一种或是两种及两种以上的正多边形均可以实现镶嵌，用两种正多边形镶嵌时尽量满足：镶嵌的正多边形的边长相等；顶点重合；一个顶点处的各角之和为360°（三）投影与视图1、投影现象：（1）投影定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影平面。（2）投影分类：平行投影、中心投影2、正投影：（1）定义：在平行投影中，投影线与投影平面垂直时，物体所形成的投影称为正投影。（2）几何图形的正投影：线段的正投影平行长不变，倾斜长改变，垂直成一点；平面图形的正投影平行形不变、倾斜形改变、垂直成一点；几何体的正投影平面图形。3、几何体的三视图：（1）概念：一个立体图形从正面看到的平面图形叫做主视图，从上面看到的平面图形叫做俯视图，从左边看到的平面图形叫做左视图，主视图、俯视图、左视图统称三视图。（2）三视图的画法：先确定主视图的位置（由长和高组成），在主视图的正下方画出俯视图（由宽和长组成），在主视图的正右方画出左视图（由高和宽组成），三视图要保证“长对正、高平齐、宽相等”。4、常见几何体的三视图：（1）正方体的三视图都是正方形，长方体的三视图均为矩形。（2）圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是不包括圆心的圆。（3）圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是包括圆心的圆。七、图形的全等1、命题：（1）定义：判断一件事情的语句叫做命题。 （2）命题的组成：命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。（3）命题的形式：通常写成“如果-那么-”形式。（4）命题的真假：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题。（5）互逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样的两个命题叫做互逆命题。（6）定理：经过证明被确认正确的命题叫定理。（7）互为逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。2、证明：（1）证明：推理的过程叫证明。（2）证明的步骤：分析题意，画出图形，并结合图形写出已知和求证的结论根据图形分析证明思路写出证明的过程，每一步均应有理有据。（3）证明的方法：综合法（从已知条件入手，探索解题途径）、从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法、两头“凑”的方法（综合运用以上两种方法）3、反证法：（1）定义：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾的结果，从而结论的反面不可能成立，以此来说明原有结论的正确性，这种证明的方法叫反证法。（2）反证法的步骤：先假设与命题相对立的结论成立，再从所假设的结论出发，推导出矛盾，最后由矛盾说明假设的结论不成立，从而判断原有的结论是正确的。4、全等形与全等三角形：（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。5、全等三角形的对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。6、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。7、全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等SSS（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA（4）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL八、图形的对称与变换（一）图形的对称1、轴对称与轴对称图形（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（3）轴对称与轴对称图形的区别与联系：轴对称是指两个特定图形之间的位置关系，轴对称图形是描述一个图形的形状性质当我们将成轴对称的两个图形看作一个整体时，这个整体就是轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个部分各自组成的图形就关于这条直线成轴对称轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形不一定只有一条对称轴。（4）轴对称与轴对称图形所具有的性质：任何一对对应点所边线段被对称轴垂直平分两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上对应线段相等，对应线段所在的直线如果相交，交点在对称轴上对应角相等（5）特殊的轴对称图形 I线段的垂直平分线定义：垂直并且平分已知线段的直线叫做线段的垂直平分线或中垂线性质：a、线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；b、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；c、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，另一条是线段所在的直线。II角平分线的性质角平分线上的点到已知角两边的距离相等到已知角两边距离相等的点在已知角的角平分线上角是轴对称图形，角平分线所在的直线是该角的对称轴。2、中心对称与中心对称图形（1）中心对称：把一个图形绕着一点旋转180°后，如果与另一个图形重合，则这两个图形关于该点成中心对称，这个点叫做其对称中心，旋转前后重合的点叫对称点。（2）中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°后，能与其自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。（3）两者的区别与联系中心对称是指两个特定图形之间的位置关系，中心对称图形是描述一个图形的形状性质；将成中心对称的两个图形看作一个整体时，这个整体图形就是中心对称图形。（4）中心对称图形的性质：对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分对应线段相等，平行或共线对应角相等。（二）图形的平移与旋转1、图形的平移（1）平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。（2）平移的性质：对应点的连线平行（或共线）且相等对应线段平行（或共线）且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四个端点共线除外）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。（3）用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a,横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长。（4）平移的条件：图形的原来位置、方向、距离（5）平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。2、图形的旋转（1）定义：在平面内，把一个图形绕着某一点由一个位置旋转一定的角度到另一个位置的运动，叫做旋转，其中这个点叫做这种运动的旋转中心，这个角度叫做旋转角，旋转前重合的点叫做对应点。（2）性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等每一组对应点与旋转中心连线的夹角相等，等于旋转角；旋转前后的两个图形是全等的。（3）条件：原图形、旋转中心、旋转方向和旋转角（4）旋转对称图形：一个图形绕某一点放置一定的角度（小于360°）后与自身重合，这个图形就叫做旋转对称图形。（5）旋转作图步骤：连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连接转角：将上面中所连接的线段绕放置中心沿指定的方向旋转一个旋转角，得到这个关键点的对应点连接：重复上面两个步骤，将原图中所有关键点的对应点找出来，再按原图中的顺序，依次连接成图。九、图形的相似1、比例线段：（1）概念：在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，如： ，则这四条线段是成比例线段，简称比例线段。（2）基本性质： ，特别地， 将b称为a、c的比例中项。（3）其他性质： 反比性质： 、更比性质 、 合比性质（3）线段的黄金分割点：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC是线段AB和BC的比例中项，则点C叫作线段AB的黄金分割点，且2、相似多边线 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）性质：相似多边形的周长比等于相似比相似多边形对应的对角线比等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比相似多边形的面积比等于相似比的平方。3、相似三角形 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（2）相似三角形所对应的基本图形 （3）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的对应中线、角平分线、高的比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）判定：常见：两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似。 特别：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。4、位似图形 （1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，可见位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比。（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小。（3）位似图形与相似图形的区别：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换，位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。（4）位似图形的画法：先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线的另一侧取原多边形的各顶点的对应顶点，连接各点，即可得到放大或缩小的图形。（注意“放大”与“放大到”的区别）十、解直角三角形1、锐角三角函数（1）定义：锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数。（2）三角函数的函数值及其变化规律当A为锐角时，0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦随着角度的增大而减小。2、特殊角的三角函数30°45°60°sin costan 13、三角函数的关系（1）互为余角的三角函数：A为锐角，则有：、（2） 同角三角函数的关系：平方关系：商数关系： 不等关系：当A为锐角时，tanA>sinA4、解直角三角形：直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角（1）解直角三角形的概念：由直角三角形中的两个已知元素（直角除外且其中至少有一个是边），求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。（2）解直角三角形的依据：勾股定理两锐角之间的互余关系边角关系：锐角三角函数的定义 （3）解直角三角形中的四类基本问题已知斜边和一直角边已知斜边和一锐角已知一直角边和一锐角已知两直角边5、解直角三角形的应用（1）内涵：解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解。（2）仰角、俯角、坡角、坡度仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 坡度与坡角：通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即 坡度一般写成1:m的形成，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，则有 方位角：略十一、四边形梯形 （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形两条腰相等的梯形叫等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等、对角线相等（3）等腰梯形的判定：两腰相等的梯形同一底上的两个角相等的梯形对角线相等的梯形平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 （2）性质：平行四边形两组对边分别平行 平行四边形的两组对边分别相等 平行四边形的两组对角分别相等 平行四边形的对角线互相平分。平行四边形关于对角线的交点成中心对称图形 （3）判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形矩形 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有两条对称轴 （3）判定：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形（四）菱形（1）定义：邻边相等的平行四边形是菱形（2）性质：