专题二_数列求和的方法.ppt

数列的求和,专题二：,知识梳理,一.公式法：,等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式,2+4+6+2n=；1+3+5+（2n+1）=；,n2+n,(n+1)2,二、错位相减法求和:例如 是等差数列，是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和三、分组求和:把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和四、并项求和:例如求10029929829722212的和五、裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项,六、倒序相加法：如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.七、归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。八、奇偶法:通过分组，对n分奇偶讨论求和,十、周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并,九、通项分析求和法：,例1：,求和：,10看通项，是什么数列，用哪个公式；20注意项数,例2：,运用倒序相加法,倒序相加法,如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.,类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1，(a0)，求其前n项和,例3.,注意对a的讨论,例3.已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前n项和,思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n1与等比数列a0，a，a2，an1对应项的积，可用错位相减法求和,解析：设Sn13a5a2(2n1)an1a得，aSna3a25a3(2n1)an：(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.,当a1时，Snn2.,点评：若数列an，bn分别是等差、等比数列，则求数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法,错位相减法：,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.,既anbn型,等差,等比,变式探究1：,1.设数列 满足a13a232a33n1an，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn，求数列 的前n项和Sn.,变式探究2：,1设数列 满足a13a232a33n1，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn，求数列 的前n项和Sn.,解析：(1)a13a232a33n1an，,(2)bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333nn3n1，,裂项求和法：,把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）,1特别是对于，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中dan1an),常见的拆项公式有：,例4：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？,局部重组转化为常见数列,并项求和,练习：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求Sn,S20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39,S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）,=20,=-21,（2）Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+(1+2+22+2n-1),通项分析求和,通项,=2n-1,先求通项再处理通项,提示：运用周期性质,练习：,练习：,3求数列1,3，32，3n 的各项的和,练习：,4.在等差数列 中，a13，d2，Sn是其前n项的和，求：S.,练习：,1要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和,4解决非等差、等比数列的求和，有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和5“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要的方法是考试重点考查的内容，应熟练掌握,