利用导数判断函数的单调性).doc
选修1-1 3.3.1利用导数判断函数的单调性一、选择题1函数yxlnx在区间(0,1)上是(C)A单调增函数B单调减函数C在(0，)上是减函数，在(，1)上是增函数D在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数 解析f(x)lnx1，当0<x<时，f(x)<0，当<x<1时，f(x)>0.2设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是(C)Ab24ac0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db23ac0 解析f(x)3ax22bxc，又a>0，当b0，c>0时，f(x)>0恒成立3函数f(x)2x2ln2x的单调递增区间是( D)A(0，) B(0，) C(，0)及(0，) D(，) 解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，令f(x)>0，得x>，函数f(x)在上单调递增4(2009·湖南文，7)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是(A) 解析考查导函数的基本概念及导数的几何意义导函数f(x)是增函数，切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大，说明B图中切线斜率逐渐减小，C图中f(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小5给出下列结论：单调增函数的导函数也是单调增函数；单调减函数的导函数也是单调减函数；单调函数的导函数也是单调函数；导函数是单调的，则原函数也是单调的其中正确的结论个数是(A)A0 B2 C3 D4 解析举反例的方法：如函数yx是单调增函数，但其导函数y1不具有单调性，排除，如函数yx是单调减函数，但其导函数y1不具有单调性，排除，再如函数yx2，其导函数y2x是单调的，但原函数不具有单调性，排除.6设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为(D) 解析函数yf(x)在区间(，0)上单调增，则导函数yf(x)在区间(，0)上函数值为正，排除A、C，原函数yf(x)在区间(0，)上先增再减，最后再增，其导函数yf(x)在区间(0，)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D.7如果函数f(x)2x3ax21在区间(，0)和(2，)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减，则a的值为(C)A1 B2 C6 D12 解析f(x)6x22ax，令6x22ax<0，当a>0时，解得<x<0，不合题意；当a<0时，解得0<x<，由题意，2，a6.二、填空题8若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_3，)_ 解析y3x22ax，由题意知3x22ax0在区间(0,2)内恒成立，即ax在区间(0,2)上恒成立，a3.9函数f(x)ax3x在(，)内是增函数，则a的取值范围是_ a>=0_三、解答题10.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(，+)令2ax+b0，解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，)11已知函数f(x)x3ax8的单调递减区间为(5,5)，求函数f(x)的递增区间证明f(x)3x2a.(5,5)是函数yf(x)的单调递减区间，则5、5是方程3x2a0的根，a75.此时f(x)3x275.令f(x)>0，则3x275>0.解得x>5或x<5.函数yf(x)的单调递增区间为(，5)和(5，)12已知函数的定义域是区间。(1)若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围;(2)若函数在定义域上是减函数，求实数的取值范围;(3)若函数在定义域上存在单调增区间，求实数的取值范围;(4)若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围.解法一:.(1)函数的对称轴为开口方向向上,要使函数在区间上是增函数,则,所以实数的取值范围是(2)函数的对称轴为开口方向向上,要使函数在区间上是减函数,则,所以实数的取值范围是(3)函数的对称轴为开口方向向上,在定义域上存在单调增区间,则,所以实数的取值范围是(4)函数的对称轴为开口方向向上, 在定义域上存在单调减区间,则,所以实数的取值范围是解法二:.(1)由条件得对恒成立,故,而=1,所以实数的取值范围是(2)由条件得对恒成立,故,而=4,所以实数的取值范围是(3)由条件得对可成立,故,而=4,所以实数的取值范围是(4)由条件得对可成立,故,而=1,所以实数的取值范围是教师点评: 函数单调性的三大问题中,第一个是求单调区间;第二个是判断单调性;第三个是已知单调性求参数的取值范围问题.第三个问题除了用不等式恒成立或可成立的通法解决外,还可以转化为第一类问题来解决.13(2009·北京)设函数f(x)xekx(k0)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围解析(1)f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.(2)由f (x)(1kx)ekx0得x(k0)若k>0，则当x时，f(x)<0，函数f(x)单调递减；当x时，f(x)>0，函数f(x)单调递增若k<0，则当x时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)<0，函数f(x)单调递减(3)由(2)知，若k>0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增；若k<0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增综上可知，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增时，k的取值范围是1,0)(0,1
