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§1 插值型数值求积公式 教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。教学时数 12学时 教学过程 11一般求积公式及其代数精度设是上的权函数，是上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分的最一般方法是用在节点上函数值的某种线性组合来近似其中是独立于函数的常数，称为积分系数，而节点称为求积节点。我们也可将（12）写成带余项的形式（12）和（13）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数在某些点的低阶导数值。在（1.3）中余项也称为求积公式的截断误差。一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于次的代数多项式都精确成立，而对不能精确成立，则称该求积公式具有次代数精度。一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。例1 确定求积公式的代数精度。解 。从而该求积公式的代数精度为。对给定节点，如何选择求积系数使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。1 2 插值型求积公式对给定求积节点构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。设是关于的Lagrange插值多项式其中为Lagrange基函数。取 其中。定义2 对给定互异求积节点，若求积系数是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。定理1 数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度。证明 假设求积公式（1.2）是插值型的，则上面我们假设了。从而当为次数的代数多项时必精确成立，故有。假设。注意到多项式的次数为，对=数值求积精确成立，从而即其求积系数由（14）给出。推论1 对给定求积节点，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。例2 求插值型求积公式并确定其代数精度。解 。从而求积公式为且。对从而。若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。推论2 若是插值型求积公式，则有余项公式其中13 Newton-Cotes 求积公式在a,b上的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式。设令则求积系数为其中因此，Newton-Cotes公式为 其中 由（16）给出。求职系数独平于区间a,b 称之为Cotes系数。Cotes系数可以用（16）计算或查（见表4-1）给出。 n=1,2 的Newton-Cotes求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积来近似曲边梯形面积（图4-1）。即 表4-1 （1.8）的Newton-Cotes公式称为Simpson公式: （1.9）Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线为曲边的曲边梯形面积来近似为曲边的曲边梯形面积（如图42），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式。NewtonCotes公式分别为Simpson法则（公式）和Cotes公式。1.4 NewtonCotes求积公式的余项定理若，则梯形公式(1.8)的余项为 (1.10)证明由插值型求积公式的余项得利用在上不变的号，由积分中值定理得定理若，则Simpson公式(1.9)的余项为 (1.11)证明由例知Simpson公式的代数的精度为。令为的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：对多项式，Simpson公式精确成立，即：从而利用上小于等于零，由积分中值定理给出可以证明，对一般的，只要充分光滑，NewtonCotes公式的余项为 （n 为奇数）（n为偶数） （12）其中。例3 用、2、3、4、5 相应的NewtonCotes公式计算积分解 、2、3、4、5相应NewtonCotes公式所得积分近似值见表4-2表4-2n积分近似值10.920735420.946145930.946110940.946083050.9460830积分的准确值是0.9460830。容易发现的结果比有显著改进，但相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形。1.5 NewtonCotes公式的数值稳定性和收敛性求积分式（1.2）的数值稳定性是指的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。设的近似值。由近似值所得数值积分值为其误差为。在的前提下，最大可达一般求积公式对准确成立。因此有对Newton-Cotes公式来说， 从而当时，是数值稳定的。当时，有正有负，而且有从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的。我们可以证明，存在上的连续函数，对Newton-Cotes公式来说，不成立。即Newton-Cotes公式当时，对连续函数的数值积分不能保证收敛。基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes求积人以式，而是采用Gauss型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。§2 Gauss型求积公式21最高代数精度求积公式由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。例4 求节点使插值型求积公式 （2.1）具有尽可能高的代数精度。解 首先有由于是插值型的，其代数精度。令，有，及故只要有，就有。进一步取，有就有。上述方程的解为，对应的求积公式为 对于。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为。 对于任意求积节点，任意求积系数，求积公式的代数精度必小于。这是因为对于有 而 是次代数多项式，从而。在例4中，这是最高能达到的代数精度了。下面我们利用正交多项式的根来构造代数精度能达到最高的求积公式。引理1 若是上关于权函数的次正交多项式的根，则插值型求积公式具有代数精度。证明 设为任一次数的代数多项式，则有其是和为次数的多项式。于是 其中表示与在上带权的内积，由于是次正交多项式，次数小于等于，它们的内积为0，而次数不高于。对于插值型求积公式（2.2）有从而对所有次数的代数多项式成立.定义3 个节点的求积公式(2.2)称为Gauss型求积公式,若其代数精度达,即达最高.并称其节点Gauss点.2.2Gauss点与正交多项式的联系利用正交多项式零点作插值型求积公式,可使其代数精度达到最高.下面我们给出Gauss点与正交多项式零点的联系.定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的,当且仅当Gauss点是上关于权的次正交多项式的根.证明 充分性即引理1的结论.下证必要性.置.任取次数的多项式有用内积术语来描述,即对一切次数不高于的代数多项式成立,从而是上关于权的次正交多项式. Gauss点是次正交多项式的根.2.3Gauss求积公式的余项定理5 若,则Gauss求积公式(2.2)的余项为 (2.3)证明 取的Hermite插值多项式，满足插值条件由得得利用由积分中值定理即得式（23）。24 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性设为Lagrange基函数。为次代数理化多项式。于是由知Gauss型求积公式是数值稳定的。设上关于权的次正交多项式根为，对应的Gauss求积公式为引理2 对于有限闭区间上的任何连续函数有证明 上的连续函数可以用代数多基式一致逼近。对任意给定的存在某个多项式，有当时，有从而 上面应用了 及 由的任意性得（21）。证毕。定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对（有限闭区间上的）连续函数，Gauss求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值。Gauss型求积公式有很多优点，但对一般的权函数，Gauss节点不容易求。Gauss求积系数多为无理数，因此不如Newton- Cotes 求积公式的等距节点和Cotes系数。当函数赋值计算量大或计算的积公多，这时Gauss型求积公式常被优先选取。25 几个常用的Gauss型求积公式常用Gauss型求积公式有Gauss-Laguerre 求积公式和Gauss-Laguerre 求积公式等。Gauss-Laguerre 求积公式：-1，1上关于权的Gauss型求积公式对应的Gauss点和求积系数列在表4-3中表4-31025±±21364 对于一般区间上带权的Gauss权型求积公式，可通过变量变换，由Gauss-Legendre求积公式得到：例5 用二点、三点Gauss型求积公式计算 解 令用二节点、三节点计算结果列在表4-4中。表4-4与Newton-Cotes公式相比较，近似值要精确得多。Gauss-Chebyshev求积公式： Gauss-Laguerre求积公式：表4.5 1116.28994508290.010389256520.58578643763.4142356240.85355339060.146446609440.32254768961.74576110124.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.000539294730.41577455682.29428036030.71109300990.2785177336Gauss-Hermite 求积公式：上关于权函数的Gauss型求积公式。对应的Gauss点和求积系数列在表4-6中。表4-6 101.772453850952.02018287050.958572464600.019953242060.39361932320.945308720520.7071678120.886226925531.224744871400.29540897521.181635900662.35060497371.33584907400.43607741190.00453000990.15706732030.724629595241.65068012390.52464762330.081312835450.8049140900§3 复化数值求积公式3.1 复化数值求积法无论用NewtonCotes求积公式或Causs型求积公式，提高数值积分精度的一个途径是增加求积节点数目。当增大时，NewtonCotes公式的数值稳定性变差，也不能保证能提高精度而Causs型救只公式的Causs点、求积系数通常是无理数，查找、计算都不方便。当的赋值不太复杂时，提高数值积分精度的另一个途径是利用复化求积公式。复化求积公式的帮派则是把求积区间进行等距细分：在每个小区间上用相同的“基本”求积公式计算出的近似值。并取当权函数时，不易构造复化求积公式。下面讲座一些常用复化求积公式。3.2 复化梯形公式记在上采用梯形公式得即复化梯形求积公式为 （3.1）设由得定理7 若，则复化梯形公式的余项为 （3.2）及渐近估计式 （3.3）当区间细分节点加密一倍时，得 其中为复化中矩求积公式.3.3复化Simpson公式在每个小区间上采用Simpson公式,得复化Simpson求积公式 (3.4)利用复化梯形公式和复化中矩公式有 其中 对应于复化Simpson公式有如下余项定理. 定理8 当时,复化Simpson公式的余项有表达式 (3.5)及渐近估计式(3.6)类似地我们可以建立复化Cotes公式,复化Causs-Legendre求积公式等,同时给出相应的余项估计.例7 利用9点函数值,用复化梯形公式和复化Simpson公式计算解 经计算得T8=0.9456909,S4=0.9460832,C2=0.9460829三种方法所用函数值个数一样多,与积分准确值0.9460831相比较,复化Simpson公式的结果与复化梯形公式的结果相比,复化Simpson公式的结果要准确得多.故在实际使用中,复化Simpson公式应用较广泛.3.4复化求积公式的收敛阶对上的任何连续函数,.都有但对代数多项式因此复化求积公式不能用代数精度来决定其优劣.对复化求积公式我们用收敛阶来刻划其收敛性.定义4 设是将等分,用某一基本求积公式生成的复化求积公式,我们称该复化求积公式具有收敛阶，若对充分光滑的被积函数，有 （3.7）其中独立于,依赖于.根据定义,复化梯形公式的收敛阶是2(当时收敛阶大于2);复化Simpson公式的收敛阶是4(当时大于4);复化节点Causs-Legendre求积公式的收敛阶为.收敛阶越高,当区间划分加密时,积分近似值就越精确. §4 外推方法在用复化梯形求积公式时,记为,其中.利用定积分定义有在数值计算中,经常会遇到类似情况:精确值是所要求的,但不能用有限计算量算出来,而对某些,却可以很方便地计算出来.如何从已知的推出的近似值,为些介绍数值计算中的重要方法;外推方法.4.1外推原理定理9 若逼近有下述余项展开 (4.1)其中,设为相近的互异正数,则可用 (4.2)来近似，其中满足 （4.3）而且. 对于的情况,我们有：定理10 若逼近的余项能写成渐近形式 （4.4）及是独立于的常数，则由 （4.5）定义的序列随增大以更快的速度收敛于： （4.6）其中 （4.7）定理10也称Richardson外推法。42复化梯形公式余项的渐近展开利用Euler-Maclaurin求和公式，可以证明复化梯形公式的余项具有渐近展开。定理11 若则有 (4.8) 其中为数，而 （4.9）若记 从而可用Richardson外推法提高精度。43 Romberg算法在复化梯形公式中，选取记注意到得 （4.10）计算顺序如表4-7所示。表4-7 0 1 2 3 0123Romberg算法：1输入外推次数（一般取为3），控制精度；2置计算，取；3计算；4对进行外推计算 ；5若，输出数值积分值，停机；6置，7转3。在Romberg算法中，第一列对应于复化梯形序列，第二列对应于复化Simpson序列，第三列对应于Cotes序列，第四列称为Romberg序列。在实际使用中常常只计算到第4段列（即取），更高的列较少用。Romberg算法中止准则，一般取同列或同行相邻两高值的的误差绝以值小于事先给定的精度要求。Romberg算法是数值稳定的，且对任意连续函数，都能保证数值积分收敛到准确值。Romberg算法程序简单，当函数值不太复杂时，Romberg算法是常用的实用方法。§5 自适应求积方法51自适应计算问题若要计算要求误差不超过，我们可以用Newton-Cotes公式，Gauss型求积公式，复化求积公式,Romberg算法等来实现。当充分光滑时，利用余项公式可以确定或区间等公数。这儿有些不足之外，首先高阶导数不易估计，即使给出了估计，估计式也把误差放大到一个误差限；其次上述求积公方法全是把被积函数在整个区间上作整体处理的。函数在上性质可能差异很大。例如在不等长分划下，若每个小区间上用Simpson公式求积，有一个明显的启示是在取值小的区域，步长可以取大些，而在取值大的区域，步长应当取小些。本节介绍的自适算法，就是根据在不同子区间的性质作不同的处理，使在较少的函数计算前提下达到误差要求。在上面我们对每个小区间采用Simpson公式为基本求积公式，也可用其它的基本求积公式来实现。52自适应算法将要计算的积公记为同理，上积分记为 （5.2）在上某一基本求积公式记为 ， （5.3）设基本求积公式的代数精度为，则有 （5.4）其中是独立于和具的常数。将等分成两个小区间，每个小区间，每个区间上用上述同一基本求积公式，得。其余项为（5.5）综合（5.4），（5.5）得 （5.6）记，设预先规定误差。阶代数精度基本求积公式的自适应算法从开始计算，分别计算出和，若，则取的近似值为，计算结束。§8 数值微分列表函数的数值微分多取插值函数微分；非列表函数的数值微分多取差分近似。数值微分的数值稳定性差，经常利用外推法来提高精度。当同时计算等距节点上的导数，隐式方法具有较高的精度。81插值函数法设是的Lagrange插值多项式或Hermite插值多项式，在插值区间内，一种很直观的数值微分公式是取 （8.1）1二点公式设于是 (8.2)其中。利用广义的均差微公公式（证明从略）我们有当时，有特别地 （8.3）2.三点公式设充分光滑，利用关于三点的Lagrange插值多项式,我们可建立数值微分公式 （8.4） （8.5）当时：（8.6）及 (8.7)从(8.3),(8.7)可以看出二点公式中和三点公式中具有较高的精度,这二个节点(指)处在插值节点的“中心”位置。利用函数的三次样条插值函数，我们也可以建立数值微分公式 （8.8）若记.当时,具体微分公式为由于与可能不一样,但相差不大.对于数值微分公式（8.8）的余项有：定理12 若是的一型或二型边值插值三次样条函数，则成立 (8.9)其中82差分算子近似微分算子法求解微分方程的一种主要方法是差分法。差分法就是利用函数的差分逼近函数的微分或偏微分。利用向前差分算子，向后差分算子或中心差分算子来近似微分算子，可以很方便地建立数值微分公式。例如对函数的一阶微分有 （8.10）例如对将所有微分用中心差分代替，可建立数值微分公式 = 特别地当时， （8.11）若用逼近也可建立公式由（83）和（87）可以看出，利用中心差分逼近微分所得数分公式具有较高的精度。在实际应用的，多利用中心差分公式。用差分导出的数值微分公式，实质上就是用插值多项式导出的微分公式，但是节点不再是固定的，因点而异，从而其余项分析可以利用插值函数微分法的分析。但对差分法来说更方便的分析法是Taylor展开法给出余项的主部。例如中心差分公式中，将函数全在点进行Taylor展开，得 （812）余项主部为。类似地 = （813）用差分算子建立数值分公式，其余项表明，步长越小，余项越小，精度越高。但在数值微分中出现相近数相减同时又用很小的步长去除，数值极不稳定。提高数值微分精度的一个途径是利用数值微分的余项展开，利用几个不同的步长进行外推。例如数值微分有当时，可以由外推用来近似，当充分小时比哪一个都要准确些。布置作业 P. 207-208 习题4 1、8
