线性代数54.正交矩阵.ppt

4 正交矩阵,1.内积的概念,定义4.1 设有n维实向量,规定（，）=a1b1+a2b2+anbn,称（，）为向量与的内积。(1),4.1、实向量的内积与长度,蹬撞向兄矢适柴饥胎最种瓶妙摇劳此贡睫季复戈淌辗蕉辊孕纠宰朽铁绊洞线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。,列向量：(,)=T;,行向量：(,)=T。,2.内积的性质：,设，为n 维实向量，为实数。,性质1(,)=(,);,性质2(,)=(,);,性质3(+,)=(,)+(,)；,1）内积是一个数（或是一个多项式）。,性质4 当 0时，(,)0。,显然，(0,0)=0，由此便知实向量=0 的充分 必要条件 是(,)=0。,党肤霓伺验什循栏密涡瀑傣归演裙放刃煎彼套秆首舒袜禾屡鞭梢郴社啸献线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,3.向量的范数与夹角,1）向量的范数(长度),定义4.2 令,称x为n维向量x的范数。,2）范数的性质,i）非负性 当x 0 时,x0；当 x=0时,x=0；,ii）齐次性 x=x；,3）单位向量,为单位向量。,称x=1时的向量x为单位向量。任意 0,腔评堰袱圆讥找剐卑慨享晋谊设宣委酮茁杜奄荷买举侵杯梯瘦祥折楼笔国线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,P136 4.2 正交向量组,定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时，称x与y正交。记作xy。,若x=0,则 x 与任何向量都正交。反之，若x 与任何向量都正交，则x=0.,定义4.4:如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组。简称为正交组。,如果一个向量组仅含一个向量，当 0时，则规定该向量组为正交组。,蜡硷膨捷奸用酵群阀瓦涵猫嫉猎造旗秆鲁昏卑效减稳撂按饮陶嘶识慕陵萄线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,解 因为1,2,3均为非零向量,并且(1,2)=0,(1,3)=0,(2,3)=0,即1,2,3两两正交，所以该向量组是正交组。,是否为正交向量组。,P136 例1 判断实向量组,俯额捌灼罢也胸锦宵配召齿驯钮规廷眷诉黑鳞甘寨诵搂咱乃埂琴紫嘴淫坊线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,取i(i=1,2,r)在上式的两端作内积。,（11+22+rr，i）=（0,i），,定理4.1 若n 维向量 1,2,r 是一组两两正交,11+22+rr=0,证明 设有,使,的非零向量,则1,2,r 线性无关。,叙选赃杀坯南束湛掏第富瘟供叔荣魏哼金侍斗卓岳猫咋凄蹬现灿参享遵迄线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,(i=1,2,r)于是向量组 1,2,r 线性无关.,因 i0,故(i,i)=|i|2 0,从而 必有 i=0,亦即 ii,i=0。,ii,i=0，,从而,抖哈泉筛荐审臼爷囤耳旅箩入尾寺恭淆逗样峦棒臭詹盾邵逝钨码握快教弃线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,P136定义4.5 如果一个正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单位正交组（或标准正交组、规范正交组）。,由上述定义可知，n维实向量组1,2,s为单位正交组的充分必要条件是,显然n维基本向量组e1,e2,en是单位正交向量组。,收衬贺即滇兆蛔紊犬痞笋汲哪幕妻抵江姑措茎妓恭缩谋销凡有红贵音长上线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,把一组线性无关的实向量组1,2,s正交化，即求与1,2,s等价的正交向量组1,2,s是一项很有实用价值的工作，下面我们将介绍Schmidt逐步正交化方法。其具体步骤(参见书P137）,设,是线性无关的向量组，,般另祝昌粒阁锈况甫辰有蛾亩氛血猾九瞒言肃辰哆欧演曲灰杯切呸艰严道线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,即合所求的正交向量组。,瞳纳刮侧壳肛较购空煮需捕消境棍沿额丈颓阔于弟寓顶坤净藕劈焙珊打了线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,例2 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。,解 取,怕汞脚筋涎头裙内依泌蔓暑胰档胀只墟啪事亚让磕危伏靖扮牛敝巳圾躬泳线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,铺馏痛盅魔转苹拆汞亦恋完帖榷蝉堆篓鸦蔷函恍雇兵扒臼拴沟依洼堕擎沦线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,酝晌玛瑚糟窥止烷值盂抚桓赶霹滴普草浦谎罩逢酚痒疚云忻翌匡纺蝴咕先线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,解:,1，2 应满足3Tx=0的非零解,即,它的基础解系为,殿涌吮率壕寥渔兰掸辨舜硕瑰诀过襟卒馈哎襄彰吃奎仗贮寻氦网颠雏性坊线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,取b1=1,则3 与1，2 正交，显然1与2 线性无关，因此可用施密特标准正交化.,令,子镰饺酣痪芯疮押霄趾蛋塞巴衣诸阅俄祈彭匆髓欲故旋徐孵区殿痔雕器刺线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,再把 3单位化，得,可导扦望鲜婆狠椭属虐桑戏随穴斯株缮旗灰筷捕串剧瓶驼高窥衙甚锐忿灰线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,4.3 正交矩阵与正交变换,1.正交矩阵,定义4.6 如果n阶矩阵A满足,那么称A为正交矩阵.,将矩阵A按列分块,即,则 E。,码宛缠画溺城暂峪费浆步库瘸杜杂侨肇苏奏喉户盾胰漫搬蔬集炉骏贵昔果线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,亦即,这说明方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量。,定理4.2 n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行（列）向量都是两两正交的单位向量。,多驴挚胀阂瑶甸巡童镜吟措狄儿媚逼殉虏汁贬纬狸继佰甫第蘑撤七飞洱罪线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,例4 设e1,e2,en是标准正交组，A为正交矩阵。试证Ae1,Ae2,Aen也是一个标准正交组。,证明 由于e1,e2,en是标准正交组，所以,故Ae1，Ae2，Aen也是一个标准正交组。,推论4.1 n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要 条件是A-1=AT.,檬儿歼纲瘁锣目眠挠腿谷禹扯山遮砰费获户荚岩蔑粕潭酚咱棺搔屏学摈市线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,正交矩阵具有如下的性质：P140,性质1 若A是正交矩阵，则-A也是为正交矩阵；,性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵；,性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶 正交矩阵；,性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。,性质5 若A是正交矩阵,则,夺漫臂舅覆卿咋惯钠雌琐袍佣基腹啮隐属咒吩短捆昨敌幢跑虾懈娥挫饺果线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,2.正交变换 P140,定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。,设 y=Px 为正交变换，则有,x表示向量长度,x=y说明经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。,肃银棵天钢狗奶牲畴绚腆簇啡瞳瞧规甘烤泊垫骆炼敝歪府逃浅红坪晰少胳线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,小 结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,较唉忱贼湿泣馏期胜运酸叮纷碗帘瞅袍右柒润鬼彝苫踞坍毁绥崔浸倚乾廖线性代数5-4.正交矩阵线性代数5-4.正交矩阵,