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坐 标 几 何 问 题1、如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3和的O1与O2外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与O1和O2分别切于A、B两点，直线AB与y轴相交于点C，O2DAO1于点D。（1）求O1O2D的度数； （2）求点C的坐标；（3）求经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式；（4）在（3）的抛物线上是否存在点P，使PO1O2为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）连结O2B，得矩形ABO2D 于是有 AB =O2D，DA = O2B = （3）存在满足条件的点 O1D = O1ADA = 3= 2 理由是：连结点O1C、O2C 在RtO1O2D中，有： 由切线长定理知 O2D = 6 O1CO =ACO， sinO1O2D = O2CO =BCOO1O2D = 300 O1COO2CO （2）AB =O2D = 6 =（ACOBCO） AB、OC是O1和O2的公切线 =900 OC = BC = AC =AB = 3 于是O1O2C是直角三角形 点C的坐标为（0，3） 点C满足条件 （3）由图知O1、O2的坐标分别为（3，0）、 又根据抛物线的对称性知： （，0） 点C关于对称轴x = 设经过O1、C、O2三点的抛物线的解析式为 的对称点（2，3）也y = ax2bxc 满足条件 点P的坐标为（0，3）或抛物线的解析式为y = x2x3 （2，3）2、如图，在平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A（2，0），与y轴相交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（，0）连结AB。（1）求证：ABO1=ABO；（2）设E为优弧的中点，连结AC、BE，交点为F，请你探求BE·BF的值；（3）过A、B两点作O2与y轴的正半轴交于点M，当O2的大小变化时，给出下列两个结论：BMBN的值不变；BMBN的值不变。其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。 证明：（1）连结O1A，则有O1AOA E是优弧的中点，即= O1AOB ABF =EBC O1AB =ABO BAF =E O1A=O1B ABFEBC O1AB =ABO1 = ABO1 =ABO BE·BF = AB·BC = 3解：（2）连结CE （3）BMBN的值不变 O1AOB 理由是：在MB上取一点G，使MG = BN， = 连结AM、AN、AG、MN 设DB = 2x，则O1D = 5x ABO1 =ABO，ABO1 =AMN O1A = O1B = 5x2x = 3x ABO =ANM 在RtADO1中，有： AMN =ANM （3x）2（）2 =（5x）2 AM = AN x = AMG =ANB，MG = BN DB =，O1A = O1B = AMGANB OB = 1 AG = AB OA是O1的切线，OBC是O1割线 AOBGOA2 = OB·OC即22 = 1·OC BG = 2OB = 2×1 = 2 OC = 4，BC = OCOB = 41 = 3 BMBN = BMMG = BG = 2，其值不变 AB = 3、如图，在平面直角坐标系中，C经过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2）。（1）求圆心C的坐标；（2）抛物线y = ax2bxc经过O、A两点，且顶点在正比例函数y = x的图象上，求抛物线的解析式； （3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判断D、E两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点P（xo，y0），满足APB为钝角，求xo的取值范围。解：（1）过点C作CHx轴于H，则 （3）在RtAOB中，有 有CHOB AB = = = 4 AOB = 900 EC = DC = 2 AB是C的直径 于是易求D、E两点的坐标分别为D（3，）、 AC = BC E（1，） CHOB 把D、E两点分别代入抛物线y = x2x OH =OA =×2 = 1 中检验，知D、E两点均在抛物线上 于是CH是AOB的中位线 （4）AB是C的直径 CH =OB =×2= 当抛物线上的点P在C的内部时，满足 圆心C的坐标为（1，） APB为钝角， （2）抛物线经过O、A两点 xo的取值范围是1xo0或2xo3 抛物线的对称轴是直线x = 1 抛物线的顶点在直线y = x上顶点坐标为（1，）把点O、A、顶点代入抛物线y = ax2bxc 抛物线的解析式为y = x2x4、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，B是以OA为直径的M上的一点，BCy轴于点C，BC与OA的长是关于x的方程x26mxm24 = 0的两个实数根，且BC：OA = 1：5。 （1）求BC与OA的长（直接写出结果即可）；（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（3）以下两题的难度与分值均不同，你只能选做一题。过点B作M的切线，交x轴于点N，试判断（2）中的抛物线的顶点P是否在切线NB上？请说明理由；过原点O作ODAB，交（2）中的抛物线于点D，求点D的坐标，并探究在x轴的下方，此抛物线上是否存在点T，使SOTD = 2S梯形OCBA？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）BC = 1，OA = 5 抛物线y =x2x的顶点P （2）设经过O、A、B三点的抛物线 的坐标为（，）的解析式为y = ax2bxc BN是M的切线OA是M的直径，BCy轴 MBN = 900OBA =BCO = 900 在RtMBN中，BQMN显然有BCOA MBQBNQAOB =OBC = 即=RtOBARtBCO QN = ，ON = QNOQ =1 = N点的坐标为（，0）OB2 = OA·BC = 1×5 = 5 设切线BN的解析式为y =kxb，OB = 把点B、N代入y =kxbOC = = 2 于是有A（5，0）、B（1，2） 切线BN的解析式为y =x把点O、A、B代入抛物线y = ax2bxc 把抛物线的顶点P（，）代入 切线BN的解析式得：左边=右边=抛物线的解析式为y =x2x 抛物线的顶点P在切线NB上 （3）过点B作BQMN于点Q， 设D点的坐标为（m，n），则BQ = OC = 2，OQ = BC = 1， 过点D作DEx轴于点E，则QM = OMOQ =1 = OE = m，DE = n在RtOAB中，AB = = =2ODAB DOE =OABDEO =OBA = 900RtDOERtOAB= 即=m = 2n又点D在抛物线y =x2x上n =m 2m上D点的坐标为（6，3）存在点T，使SOTD = 2S梯形OCBA，这时T点的坐标为（2，3）或（4，2）5、如图，在平面直角坐标系内，C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限. （1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2BP·BE，能否推出APBE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由。解：（1）AB = OBOA = 82 = 6 ABQEAQ 作CFAB于F，连结DC 于是有AQ2BQ·EQ则DCOD，AF =AB = 3 点P符合题意DC = OF = OAAF = 23 = 5 作PMAB于MOD是C的切线，OAB是C割线 AB2BP·BE且BE = 2DC = 10，AB = 6 OD2 = OA·OB = 2×8 = 16 BP = AB2÷BE = 62÷10 = OD = 4 在RtABE中，cos1=点C的坐标为（5，4） 在RtABP中，cos1= = （2）能推出APBE = 即有BM =理由是：连结AE OM = OBBM = 8=BE是C的直径 PM =BAE=90° =AB2BP·BE 即= 点P即点Q的坐标为（，）又ABE=PBA 由切割线定理易知，过点A的C ABEPBA 的切线与直线BE在第一象限的交点Q也BPA=BAE = 90°即APBE 符合题意。设QA的延长线交y轴于点F，（3）存在满足条件的点 此时有OAF =QAB =QEA理由是：分三种情况： tanOAF = tanQAB = tanQEA 当点Q与C重合时，显然有 = AQ=QB=QE，于是有AQ2BQ·EQ OA = 2，AB = 6，点C符合条件，即点Q为（5，4） AE = = 8 当点Q与P重合时，易知 =OF = 点F的坐标为（0，）,可得直线AF的解析式为y = x又直线BE的解析式是y = x可得直线AF与直线BE交点Q（，）综合得：在直线BE上存在满足条件的点Q， 它的坐标为（5，4）或（，）或（，）6、已知抛物线y = ax2bx1经过点A（1，0）、B（m，0）（m0），且与y轴交于点C。 （1）求a、b的值（用含m的代数式表示）； （2）如图所示，M经过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的代数式表示）； （3）在x轴的上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求m的值。解：（1）把点A（1，0）、B（m，0） 情形（一）： 代入抛物线y = ax2bx1中得： 若APBABC 则PAB =BAC = 450且= 作PDx轴于D，连结PA、PB（2）抛物线为y = x2x1 于是AD = PD易求C点的坐标为（0、1） 设点P（x，x1），代入抛物线于是OA = OC = 1 中得：OAC = 450 x1 =x2x1BMC = 2OAC = 900 整理得x2（12m）x2m = 0MC2 = 解得x1 = 1， x2 = 2m又BC = P（1，0）（不合题意，舍去） S =·MC2 =· 或P（2m，2m1）= AP = PD =（2m1） （3）由抛物线的对称性可知，若 又由=得AP = 抛物线上存在点P，使得使得以A、 =（2m1）B、P为顶点的三角形与ABC 整理得m22 m 1 = 0相似，则点P关于对称轴的对称 解得m = 1±点P/也符合题意，而且由于点P、 m0 P/在同一条抛物线上，所以它们 m = 1 对应的m值相同。下面仅以点P 情形（二）：在对称轴的右侧进行分析 若PABABC则PAB =ABC且= sinPAB = sinABC 即=设点P（x，），代入抛 物线中得： =x2x1 整理得m2m x m 1 = 0 解得x1 = 1， x2 = m1P（1，0）（不合题意，舍去） 或P（m1，）AP = =又由= 得AP = =整理得m2= m，此方程无解综合情形（一）（二）得：在抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似， m = 17、如图1，在平面直角坐标系内，以坐标原点O为圆心的O的半径为1，直线a：y = x与两坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），B与x轴相切于点M。（1）求点A的坐标及CAO的度数；（2）B以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向平移，同时，直线a绕点A顺时针匀速旋转，当B第一次与O相切时，直线a也恰好与B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？（3）如图2，过A、O、C三点作O1，点E是劣弧上一点，连结EA、EC、EO，当点E在劣弧上运动时（不与A、O两点重合），的值是否发生变化？若不变，请求其值，若变化，请说明理由。 解：（1）在y = x中，当y = 0时，x = ， N A B1 =A B1O 当x = 0时，y = PA B1 =A B1O A（，0），C（0，） PAOB1 OA = OC PAN =B1ON = 450 CAO = 450 PAC = PANCAO （2）如图，设B平移t秒后到B1处与相切O =450450 = 900 第一次相切，B1与x轴相切于点N，此时，直 直线AC绕点A每秒旋转线a旋转到直线a/处恰好与B1第一次相切于点P， 900÷3 = 300连结B1O、B1N，则MN = t，OB1 =，B1N = 1， （3）的值不变OM = 4，B1NAN 理由是：如图，在CE上截取 ON = = 1 CK = EA，连结OK MN = OMON= 3 OAE =OCK，OA = OC 于是t = 3 OAEOCKON = B1N = 1 OE = OK，EOA =KOCB1ON = 450 EOK =AOC = 900 连结B1A、B1P，则B1PAP，B1P = B1N = 1 EK =EO 由切线长定理知PA B1 =N A B1 = OA = OB1 = =8、如图，在平面直角坐标系内，过坐标原点O的M分别交x轴、y轴于点A（6，0）、B（0，8）。 （1）求直线AB的解析式； （2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，抛物线的顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式； （3）设（2）中的抛物线与x轴交于D（x1，y1），E（x2，y2）两点，且x1x2，在抛物线上是否存在点P，使PDE的面积是ABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）设直线AB的解析式为y = kxb 设P（x，y）把A（6，0）、B（0，8）代入上式： SPDE =DE·y=×2y =y 直线AB的解析式为y = x8 SABC = SBCMSACM =CM（33）（2）设抛物线的对称轴交x轴于点F = ×5×6 = 15OA = 6，OB = 8 且SPDE = SABC AB = = 10 y= 3 AOB = 900 y = ±3 AB是M的直径 在y = x26 x8中，当y = 3时 AM = BM = CM = 5 有x26 x8 = 3，此方程无解；抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M 当y = 3时，有x26 x8 = 3MFOA 解得x1 = 1，x2 = 5OF = FA =OA = 3 在抛物线上存在点P，其坐标为 于是MF是AOB的中位线 （1，3）或（5，3）MF =OB = 4CF = CMMF = 54 = 1顶点C为（3，1）设抛物线的解析式为y = a（x3）21把B（0，8）代入上式得：8 = a（03）21a = 1抛物线的解析式为y = （x3）21 即y = x26 x8（3）存在满足条件的点理由是：在y = x26 x8中，当x = 0时，有x26 x8 = 0，解得x1 = 2，x2 = 4D（2，0），E（4，0），DE = 29、已知，在平面直角坐标系中，B为（3，0），A为y轴正半轴上的一个动点，半径为 的A交y轴于G、H两点（G在H的上方），连结BG交A于点C。 （1）如图1，当A与x轴相切时，求直线BG的解析式； （2）如图2，若CG = 2BC，求OA的长； （3）如图3，D为半径AH上一点，且AD = 1，过点D作A的弦CE，连结GE并延长交x轴于点F，当A与x轴相离时，给出下列两个结论：的值不变；OG·OF的值不变。其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。 解（1）当A与x轴相切时，有： CMBO OH = OA =，GH = GO = 5 = G（0，5） GO =或GO = 6 设直线BG的解析式为y = kxb 当GO =时，GOGA，把B（3，0）、G（0，5）代入上式： 则点A在y轴的负半轴上，所以 GO =不合题意，舍去直线BG的解析式为y = x5 GO = 6（2）过点C作CMGH于点M，则CMBO OA = GOGA = 6= （3）的值不变CG = 2BC，BO = 3 理由是：连结CH、EH，作DNEG，= 则GND = 900 CM = 2 GH是直径 设GM = x，则MH = GHGM = 5x GEH =GCH =GOB =GOFCM直径GH =GND = 900CM2 = GM·MH，即22 = x（5x） DNEH，GFO =GHE =GDN， 解得x1 = 1，x2 = 4 GBO =GHC =GECGM = 1或GM = 4 GHC =GECGBO =GECOG = OB·tanGBO = OB·tanGEC = OB· 同理；OG = OF·tanGFO = OF·tanGDN = OF·×得OG2 = OB·×OF·= OB·= 3·DNEH= 3×= 7，其值不变10、在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，D为x轴上一点，连结BD交y轴于点E，tanCBE =，抛物线y = ax2bxc过A、C、D三点，顶点为F。 （1）求点D的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标； （3）在直线DB上是否存在点P，使四边形PFDO为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）四边形OABC是边长为2的正方形 四边形PFDO是梯形，点P的坐标 BCAD，OA = OC = AB = BC = 2 为（，）ADB =CBE 情形（二）：若POFD tanADB= tanCBE 即= 设点P的横坐标为m，则其纵坐标 AD = 6 为m, 过点P作PGx轴于 OD = ADOA =62 = 4 G，抛物线的对称轴交x轴于点K 点D的坐标为（4，0） POFD （2）把A（2，0）、C（0，2）、D（4，0） FDK =POG三点分别代入抛物线y = ax2bxc中： tanFDK = tanPOG = 即 =抛物线的解析式为y = x2x2 m = ，此时m= 它的顶点F为（1，） PO = 4（3）存在满足条件的点 FD =理由是：设直线DB的解析式为y = kxb 于是POFD 由题意得： 四边形PFDO是梯形，点P的坐标直线DB的解析式为y =x 为（，）情形（一）：若PFOD 综合情形（一）（二）得：在直线DB 在直线y =x中，当y =时，x = 上存在点P，使四边形PFDO为梯形，此时PF = （1）=OD 点P的坐标为（，）或（，） 11、已知，如图，抛物线y =x2xm与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，ACB = 900。（1）求m的值；（2）过A、B、C三点的M交y轴于另一点D，连结DM并延长交M于点E，过E点的M的切线分别交x轴、 y轴于F、G两点，求直线FG的解析式；（3）在条件（2）下，设P为上的一个动点（不与B、D重合），连结PA交y轴于点H。问：是否存在一个常数k，始终满足AH·APk，若存在，请写出求解过程；若不存在，请说明理由。解：（1）点C的坐标为（0，m） 则m0，OC = m DE是M的直径设A（x1，0），B（x2，0） DCE90°则x1·x23m，OA = x1，OB = x2 DOB90°OC是RtABC的斜边上的高 OMCEAOCCOB =即= 即= CE = 2x1·x2m2 E（2，3）x1·x2 = 3m FG是M的切线m23m，解得m0或m3 GEDEm0 在RtDCE和RtDGE中，有只取m3 tanCDE = 即= （2）连结CE，这时C的坐标为（0，3） GE = 4 抛物线为y =x2x3，它与x轴 DG = 8 的交点为A（，0），B（3，0） OG = DGOD = 83 = 5AB = 4 G（0，5）ACB = 900 设直线FG的解析式为y =kxbAB是M的直径 把E（2，3）、G（0，5）分M（，0），OA = OM =，点C 别代入上式得：关于直线AB的对称点为D（0，3） 直线FG的解析式为y =x5（3）存在满足条件的常数k理由是：连结CP由垂径定理可知 = ，ACHPCAHPAC，ACHAPC= 即AC2AH·AP在RtAOC中，有AC2AO2OC2（）23212AH·AP12 存在一个常数k = 12，始终满足AH·APk12、已知，AC是O/的直径，点A、B、C、O在O/上，OA = 2，建立如图所示的平面直角坐标系，ACO =ACB = 600。 （1）求点B关于x轴对称的点D的坐标； （2）求经过A、B、O三点的抛物线的解析式； （3）该抛物线上是否存在点P，使四边形PABO为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）ACO =ACB = 600 BOA =ABO = 600 ABO是等边三角形 直线AD的解析式为y =x2 OA = 2 点B的坐标为（1，） 点B关于x轴对称的点D的坐标 点P为（1，3）为（1，） 设直线OD的解析式为y = k/x （2）OA = 2 于是有：k/ = A（2，0） 直线OD的解析式为y = x 设经过A、B、O三点的抛物线的 解析式为y = ax2bxc 于是有： 点P为（1，3） 综合得：在该抛物线上存在点P， 所求抛物线的解析式为y = x22x 使四边形PABO为梯形，点P的坐标（3）存在满足条件的点 为（1，3）或（1，3）理由是：ABO是等边三角形，点B与点D关于x轴对称的 OA与BD互相垂直平分 四边形DABO是菱形 ADBO，BAOD 点P必在直线AD或OD与抛物线的另一交点处 设直线AD的解析式为y = kxb 于是有：13、如图，已知二次函数y =x2bxc的图象与x轴只有一个公共点M，与y轴的交点为A，过点A的直线y = xc与x轴交于点N，