圆中的比例线段.doc

圆中的比例线段圆中的比例线段是由直线和圆的位置关系反映出线段间的数量关系所形成的一类几何问题，由于直线和圆的多种不同位置关系，因此就导致了形式多样的线段间数量关系。尽管如此，圆中比例线段的证明问题仍是有规律可循的，只要掌握正确的解题方法，就可以化难为易，使问题迎刃而解。一、 利用相似三角形当成比例的四条线段分别位于两个三角形中时，可以从求证的比例式中去寻找相似三角形。利用相似三角形证明线段成比例是解决这类问题的最基本的方法。例1、 已知如图，ABC内接于O，AD是直径，CFAD于E，交AB于F。求证：AC2ABAF例2、 已知如图，ABAC，AB是O的直径，DM是O的切线，M是DM与AC的交点。求证：DC:ACCM:DC例3、 已知如图， AB、CD是O的直径，且ABCD于O，过C点作弦CF交AB于E。求证：2CO2CECF二、 利用等积或等量代换当不能从所求证的比例式中找到两个相似三角形，可以根据已知条件或图形性质，寻求相等线段，替换比例式中线段，也可以寻找等积线段替换乘积中的相应线段，再利用相似三角形来证明。例4、 已知如图， AB是O的直径，CDAB于G，P是CD延长线上一点，PE切O于E，EB交CD于F。求证：PF2PDPC例5、 已知如图， O的弦ABCD，P是上一点，PA、PB交CD于E、F两点，O的切线AG交DC延长线于G。求证：例6、 已知如图， AB是O的直径，C切O于F，切AB于D，DC交O于E。求证：ED2ABCD例7、 已知如图， 点A在O上，A交O于E、F两点，O的弦AB交A于C，交EF于D。求证：AC2ABAD三、 利用恒等变形有的等积式形式比较复杂，式子中出现和差问题，我们可以将等积式变形，再通过等量代换证明。例8、 已知如图，O1与O2外切于点P，CD是O1的直径，CP、DP的延长线分别交O2于F、E，过C作O1的切线CH，交O2于A、H，交PE于B，交EF于G。求证：（1）AC2ABAD（2）BGBCAG2BG2例9、 已知如图，ABC内接于O，BAC的平分线交BC于D，交O于E。求证：AD2ABACBDCD例10、 已知如图，AB是O的直径，P为O外一点，PMAB，M为垂足，PM交O于N，PCD为O的割线，分别交O于C、D两点。求证：PCPD+ MAMBPM2例11、 已知如图，O1与O2相关于A、B两点，过点A作O2的切线CM，交O1于C，直线CB交O2于D，DA的延长线交O1于E，连结CE。求证：（1）CAE是等腰三角形（2）DADECD2 CE2例12、 已知如图，过O上一点A作A交O于B、C，过点A的直线交O于E、A，交A于D、G，交BC于F。求证：EFAFAD2 AF2四、 寻求隐含关系有些题目中所求证的比例线段（或等积线段）左右两边的方次不同，这往往是由于约去了相同的线段所造成的，因此，应该正确地寻找所约去的线段，才能进一步解决问题。例13、 已知如图，PA为O的切线，A为切点，PCBO的割线，与O交于B、C，M为AC的中点，PM的延长线交AB于D。求证：例14、 已知如图，AB、CD为O的两条平行弦，过点A作O的切线交DC延长线于E。求证：例15、 已知如图，ABC内接于O，过点A作O的切线交BC延长线于D。求证：DC:DBCA2:AB2例16、 已知如图，ABC内接于O，O的弦FGBC，且与AB、AC分别相交于D、E。求证：