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关于递归数列通项公式的求法摘要：数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,每年都有一个大题, 既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,而且数列问题背景新颖,综合性强,能力要求高,思维力度大,内在联系密切,思维方法灵活,致使很多考生在数列题当中失分较多,特别是已知条件以递推形式给出的数列递归数列,求其通项公式就显得更加困难. 本文对几类常见的递归数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.关键字：递归数列 递推公式 通项公式 求法一、定义：对任意的自然数n,有递推关系 确定的数列,其中为初始值，r为递归数列的阶数。二、通项公式的求法类型1.若数列例1.（07年北京考卷15题）数列.(1)求c的值 （2）求的通项公式.分析：有条件（1）易知则=点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法。类型2. 若数列=·例2：在数列中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。分析：由(n+1)·=n·得，=··= 所以点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法；称之为叠乘法.类型3. 若数列p=1为等差，q=0时为等比.当构造1：，转化类型1，可求其通式构造2：设存在，即可求其通式例3.（07年全国试卷22题）已知数列(1) 求的通项公式；(2) 若数列分析：（1）利用构造2:由，,可求其通式公式.利用构造1：，同样可求得其通项公式.类型4. 若数列分析：可在式子的两边同除以，化为类型3构造1，可求其通项公式.例4.（07年天津21题）在数列中，（1） 求数列的通项公式；（2） 求数列的前n项和；（3） 证明存在分析：由题意得： 所以是首项为0，公差为1的等差数列，即类型5. 若数列p,q为常数.分析：若能找到-，令 ，则为等比数列，且，由此可化为类型4.下面主要探讨如何来确定：可化为，比较得，此方程称的特征方程.于是有所以，转化为类型4可求其通式. 分析：上式可化为， ，转化为类型1,可求其通式.已知数列的递推关系求数列的通项公式，都可转化化归为以上五中类型之一进行求解，等差数列和等比数列是最为常见较为简单的递归数列，熟悉以上几种类型，明确其中的原理，渗透其中的构造思想，对我们解决数列方面的问题大有帮助.三、应用1.若数列求其通项公式解：原式可变为首项，4为公差的等差数列，则，由类型1；可得.2.设，求此数列的通项公式.解：可把递推公式化为，可见是常数列，于是=,即，进而可变形为：，所以是等差数列，由等差数列的通项公式可得.3(02年高考). 某城市01年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？分析：本题主要考查数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型，运用所学知识解决实际问题的能力。解：设01年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车x万辆，则对于，有递推关系，数列是以为首项，以0.94为公比的等比数列，故当，即时，当，即时，因为数列单调增加，且，所以可以任意靠近，但不会超过。因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即，则，即（万辆）综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。4. “Hanni塔谜”。有n个外径不等的圆环，套在尖端朝上的木钉上，最大的圆环在最底层，成为一个上小下大的塔形（如图），另外还有两钉子竖直钉在木板上，现将塔形移到第二个钉子上，而每次只能移动一个圆环，但在每次移动中都不能将大圆环置于小圆环之上，这些当然要第三个钉子的作用，试问必须搬动多少次？分析：用递归数列思想建立与的递归关系是解题的关键所在。解：设为搬完这n个圆环所需搬动的次数，易知，首先将第一个钉子最上的个圆环移到第三个钉子上，需搬动次，将底部最大圆环搬到第二个钉子上，需1次，然后将第三个钉子上的圆环搬到第二个钉子上，需要次搬动，于是有关系式，即，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，故，即在数列中，已知，利用类型3构造2，令，与对比，得，由数列是等比数列，可得，即.总结：数列是初等数学与高等数学的衔接点,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系因而在历年的高考试题中占有较大的比重,求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法，对学生的能力要求较高所以，数列问题成为历年高考的热点内容在这类问题中，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，本文以高考题为实例，根据教学实践,谈谈求解高考数列题的常用策略:化归转化策略数列问题常可化归为等差（等比）数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解，就数列通项公式的几种初等求法作一总结，供参考参考文献：1.J数学教学研究; 1996年06期;李康海;27-302.J中学数学教学参考；1999年07期；方逢安；44-453.J数理天地（高中版）；陈庆华 黎土2003年09期； 16-174.J内江师范学院；刘联文；2003年04期；117-1195.M数学方方法论简明教程 南京大学出版社 章士藻 6.M中学代数研究 张奠宙 张广祥 5
